12. Регрессия полиномами Чебышева

Если не удается подобрать элементарную функцию, адекватно описывающую экспериментальные данные, то нужно применять регрессию полиномами.

Любое уравнение регрессии может быть представлено в виде полинома степени k

,

где – полином Чебышева порядка i.

Полиномы Чебышева первых двух порядков имеют вид

.

Полином Чебышева произвольного порядка можно найти, зная полиномы двух предыдущих порядков и , по формуле

где

– значения полиномов Чебышева в точках .

Коэффициенты уравнения регрессии находятся по формуле

Оптимальное значение степени полинома k находится последовательным уточнением (увеличением значения k, начиная с величины ). Значение степени полинома оптимально, если оно обеспечивает наименьшее значение остаточной дисперсии (дисперсии, обусловленной разбросом экспериментальных точек вокруг линии регрессии). Иными словами, последовательное увеличение величины k обеспечивает приближение аппроксимирующей кривой к экспериментальным точкам (т.е. уменьшает остаточную дисперсию) до тех пор, пока не будет достигнуто оптимальное значение k, после которого его дальнейшее увеличение приводит к увеличению .

Остаточная дисперсия определяется по формуле

где

Таким образом, алгоритм поиска уравнения регрессии в виде следующий:

1. Принимается значение .

1.1. Определяются выражения для полиномов и .

1.2. Вычисляются значения полиномов и в экспериментальных точках .

1.3. Вычисляются коэффициенты и и составляется уравнение регрессии порядка 1.

1.4. Вычисляется значение остаточной дисперсии .

2. Принимается значение .

2.1. Определяется выражение для полинома .

2.2. Вычисляются значения в экспериментальных точках .

2.3. Вычисляется коэффициент и составляется уравнение регрессии порядка 2.

2.4. Вычисляется значение остаточной дисперсии .

3. Сравниваются значения и . Если , то в качестве модели выбирается уравнение регрессии порядка 1. Если , то переходят к следующему шагу.

4. Проводятся аналогичные вычисления для , затем для и т.д.

Вычисления заканчиваются, когда будет установлено, что для некоторого значения k справедливо . Таким образом, достигнуто наименьшее значение остаточной дисперсии и оптимальная степень полинома установлена.

13. Устранение грубых ошибок совместного измерения

Наличие грубых отклонений (промахов) в значениях , не связанных с естественным разбросом, может приводить к большим ошибкам при построении регрессии. Обнаружение промахов осуществляется проверкой статистической гипотезы. Наиболее простым является критерий Прескотта-Лунда. При этом вычисляются регрессионные остатки

,

где – результат i-ого измерения величины ,

– значение, вычисленное подстановкой i-ого наблюдения величины в уравнение регрессии.

Наблюдаемое значение критерия Прескотта-Лунда вычисляется по формуле

,

где – наибольшее значение модуля регрессионных остатков.

Критическое значение критерия при заданной доверительной вероятности р вычисляется по формуле

,

где – квантиль распределения Фишера со степенями свободы (Приложение 4, формула ).

Гипотеза о наличии в i-ом результате наблюдений промаха при заданном уровне доверительной вероятности р принимается, если

.

Этот результат должен быть исключен из экспериментальных данных, а оценки коэффициентов уравнения регрессии должны быть пересчитаны.