16. Прогнозирование по уравнению регрессии

Если найдено уравнение регрессии , адекватно описывающее экспериментальные данные, то можно с его помощью вычислить значение отклика Y при уровне Х, отличном от условий проведения эксперимента, т.е. сделать прогноз о возможном значении Y. Это важно, когда нужно узнать о поведении исследуемого объекта в условиях, воспроизведение которых по разным причинам невозможно.

Расчет прогнозируемого значения отклика производится подстановкой требуемого значения воздействия в уравнение регрессии. Поскольку значение оценивается по реализации случайных величин и (экспериментальные данные), то оно также случайно, поэтому необходимо определить доверительный интервал полученного значения .

Если уравнение регрессии получено с помощью аппроксимации элементарными функциями, то границы доверительного интервала для заданной доверительной вероятности р вычисляются по формуле

,

где , , , ,

– экспериментальные точки,

– коэффициенты уравнения регрессии,

– уровень воздействия, для которого ведется прогноз,

– квантиль распределения Стьюдента (Приложение 3, формула ).

Заметим, что формула справедлива для системы координат, в которой уравнение регрессии является линейной функцией, поэтому, прежде чем её применять, следует пересчитать в эту систему участвующие в формуле координаты (см. замену переменных в методе выравнивания (таблица перед формулой )). Для функций, которые предусматривают пересчет координаты y, ещё необходимо провести обратный перенос результата вычисления по формуле в исходную систему координат.

Если уравнение регрессии получено с помощью полиномов Чебышева по равноотстоящим значениям , то границы доверительного интервала для значения (r – глубина прогноза) вычисляются по формуле

,

где – величина остаточной дисперсии,

– квантиль распределения Стьюдента (Приложение 3, формула ),

– коэффициент, зависящий от количества точек n, по которым определялось уравнение регрессии и глубины прогноза.

Для линейной регрессии ( )

Для квадратичной регрессии ( )

,

где , .

Для вычисления и можно использовать следующие формулы

,

.

Приложение 1

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ГАУССА

Обозначение
Параметры
Плотность вероятности
Функция распределения
Среднее
Дисперсия
Стандартное отклонение
Коэффициент вариации
Коэффициент асимметрии	0
Коэффициент эксцесса	0

В практических задачах используется нормированная случайная величина , распределение которой называется нормированным нормальным распределением (или стандартным нормальным распределением) .

Значение дифференциальной функции стандартного нормального распределения определяется по формуле

.

Значение интегральной функции стандартного нормального распределения можно определить с помощью аппроксимации

Значение функции Лапласа вычисляется через значение

.

Значение р-квантиля стандартного нормального распределения можно определить по аппроксимации

Значение р-квантиля нормального распределения с параметрами и вычисляется через квантиль стандартного нормального распределения

.