6. Исключение прогрессирующей систематической погрешности

Наиболее часто встречающийся вид систематической погрешности – это прогрессирующая (дрейфовая) погрешность, которая может быть выявлена методами дисперсионного анализа. Однако для решения инженерных задач достаточно применить приближенный метод.

Пусть - результаты наблюдений, записанные в порядке их получения (статистический ряд), а - моменты времени получения результатов наблюдений (или порядковые номера результатов в случае равномерного во времени их получения).

Алгоритм устранения дрейфовой погрешности:

1. Выполняется линейная аппроксимация зависимости и определяется разность крайних значений и

,

где (аппроксимация методом наименьших квадратов).

2. Если , то дрейфовой погрешности нет. В противном случае для каждого результата наблюдения определяется величина систематической погрешности

,

которая округляется до точности представления результатов наблюдений.

3. Вносятся поправки на величину систематической погрешности

После исключения дрейфовой погрешности следует пересчитать оценки центра распределения и стандартных отклонений.

7. Критерии нормальности опытного распределения

Для того чтобы с определенной вероятностью утверждать о нормальности опытного распределения, следует использовать критерии согласия для нормального закона распределения (критерии нормальности).

Критерий Пирсона

Критерий Пирсона эффективен при большом объеме выборки (условно ). Идея критерия состоит в контроле отклонений гистограммы экспериментальных данных от гистограммы с таким же числом интервалов, построенной на основе нормального распределения.

Для использования критерия необходимо, чтобы в каждый интервал статистического распределения попадало не меньше 5 значений. В случае, если это не так, следует объединить несколько расположенных рядом интервалов в один.

Алгоритм проверки гипотезы по критерию Пирсона:

1. Выдвигается нулевая гипотеза: “генеральная совокупность распределена нормально”. Выбирается значение доверительной вероятности .

2. Рассчитывается для каждого интервала параметр

где – середина соответствующего интервала,

– несмещенная оценка стандартного отклонения результатов наблюдений,

– выборочное среднее арифметическое.

3. По значению определяется значение дифференциальной функции стандартного нормального распределения (Приложение 1, формула ) – вероятность попадания значений в интервал в случае, если распределение нормальное.

4. Вычисляются теоретические частоты попадания значений выборки в i-й интервал

,

где – длина интервала,

– объем выборки,

– несмещенная оценка стандартного отклонения результатов наблюдений.

5. Наблюдаемое значение критерия Пирсона определяется по формуле

где – частота попадания экспериментальных значений в i-й интервал,

– теоретические частоты, вычисленные в предположении нормально-распределенной генеральной совокупности (формула ),

k – количество интервалов статистического распределения.

6. Критическое значение критерия Пирсона определяется по формуле

,

где – р-квантиль распределения Пирсона с числом степеней свободы (Приложение 2, формулы и ),

k – количество интервалов статистического распределения.

7. Нулевая гипотеза о нормальности опытного распределения принимается с принятой вероятностью р, если

.

Критерий Шапиро-Уилка

Критерий Шапиро-Уилка является наиболее эффективным критерием проверки гипотезы о принадлежности выборки к нормальному закону распределения. Он работает одинаково эффективно и при малых и при больших объемах выборки. Критерий можно применять при объеме выборки .

Алгоритм проверки гипотезы по критерию Шапиро-Уилка:

1. Выдвигается нулевая гипотеза: “генеральная совокупность распределена нормально”. Выбирается значение доверительной вероятности .

2. Вычисляется коэффициент

где – результаты наблюдений, – среднее арифметическое выборки.

3. Вычисляется коэффициент

4. Вычисляется наблюдаемое значение критерия Шапиро-Уилка

,

где – константы, для которых существуют таблицы значений,

– элементы выборки, представленной в виде ранжированного ряда.

Для автоматизации применения W-критерия можно использовать аппроксимацию коэффициентов (метод Шапиро-Франчиа)

,

где – квантиль стандартного нормального распределения при (Приложение 1, формула ).

5. При выбранном значении доверительной вероятности р определяется критическое значение критерия из таблицы (Приложение 5.) для известного объема выборки n.

6. Нулевая гипотеза о нормальности закона распределения выборки принимается при заданной доверительной вероятности р, если

.

Для наиболее распространенного в технических измерениях значения доверительной вероятности можно применять модификацию - критерия, позволяющую обойтись без всяких таблиц.

Наблюдаемое значение критерия при этом определяется по формуле

,

где s и k – те же коэффициенты, что и в общем случае,

,

.

Нулевая гипотеза о нормальности распределения принимается, если

.