5.4.2. Одновыборочный критерий Вилкоксона

От ряда выборочных величин переходим к ряду величин , где - предполагаемый центр распределения. Значения упорядочим по абсолютной величине: . В полученном ряду каждому значению припишем ранг (от 1 до ), равный его порядковому номеру в упорядоченной последовательности.

Обозначим через ранги случайных величин , имеющих положительное значение.

Статистика критерия Вилкоксона задается формулой [106]:

(167)

Гипотеза симметричности отклоняется, если , где - критическое значение, приведенное в таблице 20.

Таблица 20. Критические значения одновыборочного критерия Вилкоксона

	0,90	0,95	0,99		0,90	0,95	0,99
3 4 5 6 7 8 9 10 11	6 8 12 17 21 27 33 40 47	6 9 14 18 23 29 36 43 51	6 10 15 20 27 34 41 49 58	12 13 14 15 16 17 18 19 20	55 64 73 82 93 103 115 127 139	60 69 78 89 99 111 123 136 149	67 77 88 100 111 124 137 151 166

При распределение удовлетворительно аппроксимируется нормальным с параметрами

(168)

(169)

т. е. критические значения могут быть вычислены по формуле

(170)

где - ближайшее целое число к .

Пример 34 Имеется ряд наблюдений : 1, 2, 4, 5, 9, 11, 18, 21, 29, 35, Необходимо проверить гипотезу симметричности распределения случайной величины относительно критерием Вилкоксона при доверительной вероятности . Решение Представим ряд в виде : -9, -8, -7, -5, -1, 1, 8, 11, 19, 25 Ранжированный ряд значений имеет вид: 1, 1, 5, 7, 8, 8, 9, 11, 19, 25 для которого имеем последовательность рангов (для одинаковых значений используются средние ранги): 1,5; 1,5; 3; 4; 5,5; 5,5; 7, 8, 9, 10 Отмечая в ряду значения (они выделены), приходим к последовательности рангов : 1,5; 5,5; 8, 9, 10 Тогда . Так как ,гипотеза симметричности не отклоняется. Для нормального приближения ( ) имеем ; что совпадает с табличным результатом (хотя аппроксимацию, строго говорю, применять нельзя).

6. Критерии однородности

6.1. Критерий -квадрат

Пусть имеется независимых выборок, содержащих соответственно независимых наблюдений , ,… . Гипотеза об однородности предполага­ет, что генеральные совокупности, из которых извлечены выборки, одинаковы (или все выборки произведены из одной генеральной совокупности), и им соответствуют одинаковые функции распре­деления, а именно нулевая гипотеза : , где - функция распределения -й генеральной совокупности.

Наиболее часто в приложениях встречается случай, когда . Пусть имеется два ряда наблюдений некоторого признака и каждый ряд разбит на групп по значениям этого признака. Сгруппирован­ный ряд имеет вид

:			…
:			…

Пусть и - количество выборочных значений в -й группе дляпервого и второго наблюдений соответственно. Тогда статисти­ческий критерий для проверки истинности нулевой гипотезы будет иметь вид

(171)

который в случае истинности основной гипотезы при имеет рас­пределение с степенями свободы. Следовательно, критичес­кими точками, соответствующими уровню значимости , будут и проверка гипотезы проводится по общей схеме, т.е. если и отвергается в противном случае.

Недостатки критерия:

• Разбиение области производится произвольно и не учитывает специфики функции распределения

• Для проверки гипотез требуются выборки большого объема.