- •Оглавление
- •Список используемых сокращений
- •Введение
- •Понятие и сущность статистических гипотез
- •1.1.Постановка проблемы
- •1.2. Статистический критерий
- •Классификация статистических критериев:
- •1.3. Функция потерь и критерий качества выбора решения
- •2. Проверка простой гипотезы против простой альтернативы
- •2.1. Вероятности правильных и ошибочных решений
- •Критерии принятия решений
- •Байесовское решение
- •Максимум апостериорной вероятности
- •Максимальное правдоподобие
- •Критерий Неймана-Пирсона
- •Минимаксное правило
- •Критерии значимости
- •3.1. Проверка гипотез для нормального распределения
- •3.1.1. Гипотезы о неизвестном среднем при известной дисперсии
- •3.1.2. Гипотезы о неизвестном среднем при неизвестной дисперсии
- •3.1.3. Гипотеза о неизвестной дисперсии
- •3.2. Сравнение средних нормального распределения
- •3.2.1. Проверка гипотез о равенстве средних для двух выборок
- •3.2.1.1. Гипотеза о равенстве средних при неизвестных равных дисперсиях
- •3.2.1.2. Гипотеза о равенстве средних при известных дисперсиях
- •3.2.1.3. Сравнение средних при неизвестных неравных дисперсиях
- •3.2.1.3.1. Критерий Кохрана-Кокса
- •3.2.1.3.2. Критерий Сатервайта
- •3.2.2. Проверка гипотез о равенстве средних для выборок
- •3.2.2.1. Критерий Полсона
- •3.2.2.2. Критерий Шеффе
- •3.3. Сравнение дисперсий нормального распределения
- •3.3.1. Проверка гипотез о равенстве дисперсий для двух выборок
- •3.3.1.1. Критерий Фишера
- •3.3.1.2. Критерий Романовского
- •3.3.2. Проверка гипотез о равенстве дисперсий для выборок
- •3.3.2.1. Критерии Бартлетта
- •3.3.2.2. Критерии Кохрена
- •3.3.2.3. Критерий Самиуддина
- •3.4. Проверка гипотез для экспоненциального распределения
- •3.4.1. Гипотеза о неизвестном параметре экспоненциального распределения
- •4. Общие критерии согласия
- •4.1.Критерии хи-квадрат Пирсона
- •4.2. Критерии хи-квадрат Фишера
- •4.3. Критерий согласия Колмогорова- Смирнова
- •4.4. Критерий Смирнова-Крамера-фон Мизеса
- •4.5. Критерий Андерсона-Дарлинга
- •4.6. Критерий согласим Дарбина
- •5. Частные критерии согласия
- •5.1. Критерии проверки нормальности распределения
- •5.1.1. Сравнительный анализ критериев нормальности
- •5.1.2. Критерий Шапиро-Уилка
- •5.1.3 Критерий
- •5.1.4 Критерий
- •5.1.5 Критерий
- •5.1.6. Критерий нормальности д'Агостино
- •5.1.7. Энтропийный критерий нормальности (критерий Васичека)
- •5.1.8. Критерий Дэвида-Хартли-Пирсона
- •5.2. Критерии проверки экспоненциальности распределения
- •5.2.1. Критерий Фроцини
- •5.2.2. Критерий Бартлетта-Морана
- •5.3. Критерии проверки равномерности распределения
- •5.3.1. Критерий Ченга – Спиринга
- •5.3.2. Критерий Саркади – Косика
- •5.4. Критерии симметрии
- •5.4.1. Критерий симметрии Смирнова
- •5.4.2. Одновыборочный критерий Вилкоксона
- •6. Критерии однородности
- •6.1. Критерий -квадрат
- •6.2. Критерий Колмогорова
- •6.3. Критерий Уилкоксона — Манна — Уитни
- •7. Подбор кривых распределения вероятностей по экспериментальным данным
- •7.1. Кривые Пирсона типа I
- •7.2. Кривые Пирсона типа II
- •7.3. Кривые Пирсона типа III
- •7.4. Кривые Пирсона типа IV
- •7.5. Кривые Пирсона типа V
- •7.6. Кривые Пирсона типа VI
- •7.7. Кривые Пирсона типа VII
- •Список используемой литературы
5.1.6. Критерий нормальности д'Агостино
Д'Агостино [57, 58] предложил в качестве статистики для проверки нормальности распределения использовать отношение оценки Даутона для стандартного отклонения [59] к выборочному стандартному отклонению, оцененному методом максимального правдоподобия,
(151)
где
, (152)
; определяется по формуле (125).
Очевидно, что
(153)
является несмещенной оценкой стандартного отклонения .
Показано, что
(154)
(155)
- коэффициент асимметрии;
- коэффициент эксцесса.
В качестве статистики критерия Д'Агостино используется величина
(156)
критические значения которой приведены в [57, 58] и частично воспроизведены втаблице 14. Гипотеза нормальности принимается, если , где и - критические значения статистики при уровне значимости .
Таблица 14. Критические значения критерия Д'Агостино
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 60 70 80 90 100 150 200 250 300 350 400 450 500 600 700 800 900 1000 |
-4,66 -4,63 -4,57 -4,52 -4,47 -4,41 -4,36 -4,32 -4,27 -4,23 -4,19 -4,16 -4,12 -4,09 -4,06 -4,03 -4,00 -3,98 -3,95 -3,93 -3,91 -3,81 -3,73 -3,67 -3,61 -3,57 -3,41 -3,30 -3,23 -3,17 -3,13 -3,09 -3,06 -3,04 -3,00 -2,97 -2,94 -2,92 -2,91 |
0,385 0,479 0,555 0,613 0,667 0,720 0,775 0,822 0,867 0,910 0,941 0,983 1,020 1,050 1,080 1,110 1,140 1,170 1,190 1,220 1,240 1,340 1,420 1,480 1,540 1,590 1,750 1,850 1,930 1,980 2,030 2,060 2,090 2,110 2,150 2,180 2,210 2,310 2,350 |
-3,25 -3,20 -3,16 -3,12 -3,08 -3,04 -3,01 -2,98 -2,96 -2,93 -2,91 -2,88 -2,86 -2,85 -2,83 -2,81 -2,80 -2,78 -2,77 -2,75 -2,74 -2,68 -2,64 -2,60 -2,57 -2,54 -2,45 -2,39 -2,35 -2,32 -2,29 -2,27 -2,25 -2,24 -2,21 -2,20 -2,18 -2,17 -2,16 |
0,299 0,381 0,460 0,526 0,574 0,628 0,677 0,720 0,760 0,797 0,830 0,862 0,891 0,917 0,941 0,964 0,986 1,010 1,020 1,040 1,060 1,130 1,190 1,240 1,280 1,310 1,420 1,500 1,540 1,570 1,610 1,630 1,650 1,676 1,690 1,710 1,730 1,740 1,750 |
-2,62 -2,58 -2,53 -2,50 -2,47 -2,44 -2,41 -2,39 -2,37 -2,35 -2,33 -2,32 -2,30 -2,29 -2,28 -2,26 -2,25 -2,24 -2,23 -2,22 -2,21 -2,17 -2,14 -2,11 -2,09 -2,07 -2,00 -1,96 -1,93 -1,91 -1,89 -1,87 -1,86 -1,85 -1,83 -1,82 -1,81 -1,80 -1,79 |
0,235 0,329 0,399 0,459 0,515 0,565 0,609 0,648 0,682 0,714 0,743 0,770 0,794 0,816 0,837 0,857 0,875 0,892 0,908 0,923 0,937 0,997 1,050 1,080 1,120 1,140 1,230 1,290 1,330 1,360 1,380 1,400 1,410 1,420 1,440 1,460 1,470 1,480 1,490 |
Критерий Д'Агостино следует применять, когда нет сведений об альтернативном распределении. Он показывает хорошую мощность против большого спектра альтернатив, по мощности немного уступая критерию Шапиро - Уилка.
Пример 26
По данной выборке проверить гипотезу нормальности распределения вероятностей случайных величин критерием Д’Агостино при : -1, 0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 15. Решение Вычисляем ; Далее получаем: ; ; . Изтаблицы 14 для и находим и . Так как , гипотеза нормальности распределения случайных величин не отклоняется. |