- •Оглавление
- •Список используемых сокращений
- •Введение
- •Понятие и сущность статистических гипотез
- •1.1.Постановка проблемы
- •1.2. Статистический критерий
- •Классификация статистических критериев:
- •1.3. Функция потерь и критерий качества выбора решения
- •2. Проверка простой гипотезы против простой альтернативы
- •2.1. Вероятности правильных и ошибочных решений
- •Критерии принятия решений
- •Байесовское решение
- •Максимум апостериорной вероятности
- •Максимальное правдоподобие
- •Критерий Неймана-Пирсона
- •Минимаксное правило
- •Критерии значимости
- •3.1. Проверка гипотез для нормального распределения
- •3.1.1. Гипотезы о неизвестном среднем при известной дисперсии
- •3.1.2. Гипотезы о неизвестном среднем при неизвестной дисперсии
- •3.1.3. Гипотеза о неизвестной дисперсии
- •3.2. Сравнение средних нормального распределения
- •3.2.1. Проверка гипотез о равенстве средних для двух выборок
- •3.2.1.1. Гипотеза о равенстве средних при неизвестных равных дисперсиях
- •3.2.1.2. Гипотеза о равенстве средних при известных дисперсиях
- •3.2.1.3. Сравнение средних при неизвестных неравных дисперсиях
- •3.2.1.3.1. Критерий Кохрана-Кокса
- •3.2.1.3.2. Критерий Сатервайта
- •3.2.2. Проверка гипотез о равенстве средних для выборок
- •3.2.2.1. Критерий Полсона
- •3.2.2.2. Критерий Шеффе
- •3.3. Сравнение дисперсий нормального распределения
- •3.3.1. Проверка гипотез о равенстве дисперсий для двух выборок
- •3.3.1.1. Критерий Фишера
- •3.3.1.2. Критерий Романовского
- •3.3.2. Проверка гипотез о равенстве дисперсий для выборок
- •3.3.2.1. Критерии Бартлетта
- •3.3.2.2. Критерии Кохрена
- •3.3.2.3. Критерий Самиуддина
- •3.4. Проверка гипотез для экспоненциального распределения
- •3.4.1. Гипотеза о неизвестном параметре экспоненциального распределения
- •4. Общие критерии согласия
- •4.1.Критерии хи-квадрат Пирсона
- •4.2. Критерии хи-квадрат Фишера
- •4.3. Критерий согласия Колмогорова- Смирнова
- •4.4. Критерий Смирнова-Крамера-фон Мизеса
- •4.5. Критерий Андерсона-Дарлинга
- •4.6. Критерий согласим Дарбина
- •5. Частные критерии согласия
- •5.1. Критерии проверки нормальности распределения
- •5.1.1. Сравнительный анализ критериев нормальности
- •5.1.2. Критерий Шапиро-Уилка
- •5.1.3 Критерий
- •5.1.4 Критерий
- •5.1.5 Критерий
- •5.1.6. Критерий нормальности д'Агостино
- •5.1.7. Энтропийный критерий нормальности (критерий Васичека)
- •5.1.8. Критерий Дэвида-Хартли-Пирсона
- •5.2. Критерии проверки экспоненциальности распределения
- •5.2.1. Критерий Фроцини
- •5.2.2. Критерий Бартлетта-Морана
- •5.3. Критерии проверки равномерности распределения
- •5.3.1. Критерий Ченга – Спиринга
- •5.3.2. Критерий Саркади – Косика
- •5.4. Критерии симметрии
- •5.4.1. Критерий симметрии Смирнова
- •5.4.2. Одновыборочный критерий Вилкоксона
- •6. Критерии однородности
- •6.1. Критерий -квадрат
- •6.2. Критерий Колмогорова
- •6.3. Критерий Уилкоксона — Манна — Уитни
- •7. Подбор кривых распределения вероятностей по экспериментальным данным
- •7.1. Кривые Пирсона типа I
- •7.2. Кривые Пирсона типа II
- •7.3. Кривые Пирсона типа III
- •7.4. Кривые Пирсона типа IV
- •7.5. Кривые Пирсона типа V
- •7.6. Кривые Пирсона типа VI
- •7.7. Кривые Пирсона типа VII
- •Список используемой литературы
4.4. Критерий Смирнова-Крамера-фон Мизеса
Согласно этому критерию количественной мерой соответствия служит для заданного размера выборки среднее значение квадрата отклонения эмпирического распределения от гипотетического
(109)
где - гипотетическая плотность вероятности случайной величины. Учитывая, что и интегрируя, можно получить предельное соотношение следующего вида [32]:
для (110)
для (111)
Нетрудно показать [33], что
(112)
(113)
Если полученная величина критерия омега-квадрат больше табличной, что гипотеза на данном уровне значимости откланяется.
Как и критерий Колмогорова, критерий Мизеса, в отличие от , не связан с группированием выборочных данных, и его распределение достаточно быстро при увеличении размера выборки приближается к предельному. Важно, что теоретическая функция распределения должна быть известна с точностью до параметров. Оценивание параметров по выборке приведёт к уменьшению величины критического значения статистики, т. е. к увеличению количества ошибок второго рода.
В таблице 7 приведено несколько процентных точек этого предельного распределения:
Таблица 7. Процентные точки распределения Смирнова-Крамера-фон Мизеса
|
0,5 |
0,4 |
0,3 |
0,2 |
0,1 |
0,05 |
0,03 |
0,02 |
0,01 |
0,001 |
|
0,1184 |
0,1467 |
0,1843 |
0,2414 |
0,3473 |
0,4614 |
0,5489 |
0,6198 |
0,7435 |
1,168 |
Известна аппроксимация распределения с помощью распределения [34] , где - случайная величина, имеющая распределение -квадрат с степенями свободы;
(114)
(115)
(116)
Исследования авторов работы [35] позволяют сделать вывод о том, что на уровне значимости квантили точной и предельной функций распределения практически неразличимы уже при объеме выборки . При таких уровнях значимости использование преобразования вместо не дает существенных преимуществ.
Пример20
Проверить на уровне значимости нормальность распределения выборки : 4, 7, 8, 12, 18, 19, 21, 25, 30 критерием при условии, что (т. е. гипотетическим распределением является нормальное распределение с параметрами и ). Решение Вычисления сводим в таблицу:
Из формулы для (110)имеем . При критическое значение равно . Так как , гипотеза нормальности отклоняется. Вычислим более точный критерий(111):
Видим, что результат тот же - отклоняется. Теперь найдем аппроксимацию критерия и оценим ее точность. Вычисляем ; ;
Из таблицы 4 имеем и . Видим, что это значение близко к предельной квантили , т.е. аппроксимация удовлетворительна. |