3.2. Сравнение средних нормального распределения

3.2.1. Проверка гипотез о равенстве средних для двух выборок

Проверяем гипотезу : _. Альтернативная гипотеза может быть трех видов: а) , б) , в) . Однако случай в) сводится к случаю б) перестановкой и ,поэтому не будет рас­сматриваться отдельно.

3.2.1.1. Гипотеза о равенстве средних при неизвестных равных дисперсиях

Гипотеза справедлива для любого , такого, что , т. е. гипотеза является сложной и может быть сведена к простой, если рассматривать разность средних . В этом случае естественно рассматривать и разность оценок , распределение которой нор­мальное, поскольку нормальны и . Для того чтобы нормировать разность оценок, найдем ее дисперсию:

.

Тогда случайная величина .

Для оценки неизвестной дисперсии рассмотрим величины

,

которые распределены по закону с и степенями свободы соответственно. Следовательно, случайная величина - распределена по закону с степенями свободы. Поскольку , получаем

т. е. случайная величина является несмещенной оценкой для . Поэтому величина

(60)

где

(61)

- не зависит от неизвестных , и и распределена по закону Стьюдента с степенями свободы.

Эту же формулу можно представить в виде

Величина является объединенной оценкой дисперсии (общей для выборок).

Во всех случаях вычисляют статистику критерия:

, где

Для проверки берутся критические точки распределения Стьюдента с степенью свободы и уровнем значимости , причем в случае а) - для двусторонней критической области, а в слу­чае б) — для односторонней критической области.

В случае а), если , то гипотеза принимается, если - отвергается.

В случае б), если , то гипотеза принимается, если - отвергается.

Замечание:Поскольку для проверки гипотезы требуется равен­ство дисперсий для двух выборок, то вначале необходимо проверить это равенство. В противном случае данный метод применять нельзя.

Пример6 Имеются два ряда выборочных данных: 1, 2, 3, 5, 7, 12, 14, 16, 16, 17, 19, 22; 12, 16, 19, 22, 24, 26, 32, 34, 36, 44. Необходимо проверить гипотезу равенства средних в обеих выборках : против альтернативы : при доверительной вероятности . Решение По формуле (39) находим: , По формуле (52) оценка дисперсии: , тогда используя формулу (61), получим: . Окончательно, наблюдаемое значение статистики определяемое формулой (60) имеет значение: Из табл. 3 для числа степеней свободы и находим . Так как , нулевая гипотеза равенства средних должна быть отклонена.

3.2.1.2. Гипотеза о равенстве средних при известных дисперсиях

Проверяем гипотезу : _. Альтернативная гипотеза может быть трех видов: а) , б) , в) , однако случай в) сводится к случаю б) перестановкой и и не будет рассматриваться отдельно. Во всех случаях вычисляют статистику критерия:

(62)

В случае а) критическая точка выбирается из условия . Если , гипотеза принимается, если - отвергается. В случаях б) критическая точка выбирается из условия . Если , то гипотеза принимается, если же - отвергается.

Замечание:Гипотеза о средних проверяется таким образом обычно в случае больших выборок (объемом порядка сотен), когда оценки дисперсий можно принять за их точные значения.

Пример7 Имеются две выборки случайных величин: 1,2; 2,1; 3,2; 3,6; 3,8; 4,4; 6,1; 7,1; 9; 10,2; 2,4; 2,8; 4,1; 4,4; 6,8; 7,2; 8,9 с известными дисперсиями и . Проверить гипотезу равенства средних значений : в двух выборках при доверительной вероятности против альтернативы : . Решение Вычисляем оценки средних, по формуле (39): ; и статистику проверки нулевой гипотезы (62): Для имеем (табл. 2) . Так как , нулевая гипотеза равенства средних не отклоняется.