Евклидово пространство. Линейный оператор. Матрица линейного оператора. Собственные векторы и собственные значения линейных операторов. Квадратичные формы.

Раздел 3. Функция одной переменной.

Тема 3.1

Понятие множества. Операции над множествами. Определение функции одной переменной. Способы задания графика функции. Характеристики поведения функции (монотонность, ограниченность, четность). Обратная функция. Сложная функция. Основные элементарные функции: график, область определения, характеристики поведения. Применение функций в экономике (функция спроса, предложения, издержек …)

Тема 3.2

Определение числовой последовательности, обозначение, способы задания. Монотонная, ограниченная и неограниченная последовательности. Бесконечно большая и бесконечно малая последовательности.

Теоремы о бесконечно малых последовательностях.

Тема 3.3

. Предел числовой последовательности. Геометрическая интерпретация предела. Предел функции в бесконечности и в точке. Основные теоремы о пределах.

Тема 3.4.

Предельная точка множества. Предел функции действительного переменного. .. Геометрическая интерпретация предела. Предел функции в бесконечности и в точке Основные теоремы о пределах. Вычисление пределов. Признаки существования предела. Первый и второй замечательные пределы. Эквивалентные бесконечно малые.

Тема 3.5

Непрерывность функции.

Односторонние пределы. Непрерывность функции в точке и на множестве. Точки разрыва и их классификация. Свойства функций непрерывных на отрезке.

Раздел 4. Дифференциальное исчисление.

Тема 4.1

Понятие производной, ее геометрический и экономический смысл. Непрерывность дифференцируемой функции. Правила дифференцирования. Производная сложной функции. Производные высших порядков. Использование понятия производной в экономике.

Тема 4.2

Основные теоремы дифференциального исчисления. Дифференциал функции. Производные высших порядков.

Тема 4.3

Монотонность функции и экстремум.

Необходимое и достаточное условие монотонности. Достаточные условия экстремума (первое и второе).

Выпуклость функции. Точки перегиба. Асимптоты. Схема исследования функций и построения графиков.

Второй семестр

Самостоятельная работа 72

Раздел 5. Функции нескольких переменных. Приложения в экономике.

Тема 5.1

Основные определения. Функция двух переменных. Графики функции двух переменных. Линии уровня в экономической теории (кривые безразличия, изокванты). Предел и непрерывность функции двух переменных. Частные приращения. Частные производные. Дифференциал функции.

Тема 5.2

Экстремум функции двух переменных. Метод наименьших квадратов. Градиент функции. Понятие о градиентных методах оптимизационных задач.

Раздел 6. Интегральное исчисление.

Тема 6.1

Первообразная, неопределенный интеграл и его свойства. Методы интегрирования: замена переменной, интегрирование по частям. Интегрирование рациональных дробей, некоторых иррациональных, тригонометрических выражений.

Тема 6.2

Определенный интеграл.

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определение и свойства определенного интеграла. Формула НьютонаЛейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определённом интеграле.

Тема 6.3

Приложения определенного интеграла.

Геометрические приложения интеграла: вычисление площади плоской фигуры. Приложения интеграла в экономике.

Тема 6.4

Несобственный интеграл.

Понятие о несобственных интегралах с бесконечными пределами интегрирования, несобственные интегралы от неограниченных функций.

.

Раздел 7. Дифференциальные уравнения.

Тема 7.1

Дифференциальные уравнения первого порядка. Понятие дифференциального уравнения и его решения, общее и частное решения дифференциального уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными, однородные, линейные.

Тема 7.2

Дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Однородное уравнение. Уравнение с правой частью.

Раздел 8. Ряды.

Тема 8.1

Понятие числового ряда, его сходимости. Теоремы о сходящихся рядах. Необходимое и достаточные условия сходимости для знакопостоянного ряда.

Тема 8.2

Знакопеременный ряд . Абсолютная и условная сходимости. Теоремф Коши и Лейбница.

Тема 8.3

Степенной ряд. Теорема Абеля. Интервал сходимости ряда. Разложение функции в степенной ряд. Приближенное вычисление с помощью рядов.

Раздел 9. Случайные события.

Тема 9.1

Математическая модель эксперимента – вероятностное пространство. Классическое и статистическое определение вероятности. Исчисление вероятностей: теорема сложения, условная вероятность, независимость событий, теорема умножения вероятностей, формулы полной вероятности и Байеса.

Тема 9.2

Схема независимых испытаний. Формула Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. Теорема Пуассона. Вероятность отклонения относительной частоты появления события от вероятности этого события.

Раздел 10. Случайные величины.

Тема 10.1

Дискретные и непрерывные случайные величины. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. Числовые характеристики дискретной случайные величины: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение момента, их свойства.

Тема 10.2

Непрерывные случайные величины.

Функция распределения случайной величины. Плотность распределения вероятности непрерывной случайной величины. Математическое ожидание, дисперсия.

Тема 10.3

Важнейшие теоретические распределения и их числовые характеристики. Биномиальное распределение, геометрическое, гипергеометрическое, распределение Пуассона. Равномерное, непрерывное, показательное, нормальное.

Тема 10.4

Закон больших чисел.

Неравенство Чебышева. Закон больших чисел Понятие о центральной предельной теореме .

Тема 10.5

Марковский случайный процесс. Уравнения Колмогорова Простейший поток событий. Системы дбслуживания: система без очереди, с ограниченной и неограниченной очередями. Системы однокональные, многоканальные.

Раздел 11. Математическая статистика.

Тема 11.1

Выборочный метод.

Генеральная и выборочная совокупности. Вариационный ряд и его характеристики. Статистическое оценивание.

Точечные оценки и их свойства. Несмещенность, состоятельность, эффективность. Методы нахождения точечных оценок. Генеральные оценки параметров нормального распределения.

Тема 11.2

Проверка статистических гипотез.

Статистическая гипотеза. Нулевая и альтернативная гипотезы, простые и сложные гипотезы. Ошибки первого и второго рода. Статистический критерий. Мощность критерия.

Проверка гипотез: D(X) = D(Y) Р(А)= р. Проверка гипотез о виде закона распределения неизвестной случайной величины.

Тема 11.3

Элементы теории корреляции.

Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости. Линейная и нелинейная корреляция. Проверка значимости коэффициента корреляции. Построение уравнений прямых регрессий.

Четвертый семестр .

Самостоятельная работа 80

Раздел 12. Линейные задачи оптимизации. Основные методы решения.

Тема 12.1

Ведение и постановка задач линейного программирования.

Место математического программирования в системе оптимального планирования и управления экономикой. Примеры моделей задач линейного программирования. Математическая постановка задач линейного программирования (общая, основная и стандартная задачи). Целевая функция. Допустимый план, оптимальный план. Преобразование

системы ограничений. Теорема о соответствии между решениями неравенств и уравнений.

Тема 12.2

Геометрическая характеристика задач линейного программирования и подготовительные теоремы.

n – мерное пространство. Гиперплоскость. Выпуклые множества, уравнение отрезка. Граничные и крайние точки, выпуклый n-мерный многогранник. Системы уравнений и системы неравенств. Теорема о множестве допустимых решений систем линейных уравнений и линейных неравенств. Теорема о связи опорных решений и крайних точек. Теоремы об экстремуме линейной функции и об альтернативном оптимуме. Основная теорема линейного программирования.

Тема 12.3

Основные теоремы и методы решения задач линейного программирования.

Графический метод. Симплексные таблицы. Основные теоремы сим- плекс-метода. Алгоритм симплекс-метода. Альтернативный оптимум.

Тема 12.4

Метод искусственного базиса. Постановка М – задачи, соответствующие решения. Теорема о разрешимости исходной задачи. Теорема о неразрешимости исходной задачи. Алгоритм метода искусственного базиса.

Раздел 13. Элементы теории двойственности.

Тема 13.1

Двойственные задачи линейного программирования.

Задачи, приводящие к двойственным. Основные теоремы двойственности.

Тема 13.2

Экономический смысл двойственных переменных.

Раздел 14. Транспортная задача.

Тема 14.1

Постановка транспортной задачи. Модель задачи. Теорема о числе базисных переменных в транспортной задаче. Методы построения начального допустимого плана. Теорема о потенциалах. Алгоритм метода потенциалов.

Тема 14.2

Открытая модель транспортной задачи. Модификации транспортной задачи. Задача о назначениях.

Раздел 15. Нелинейное и целочисленное программирование

Экономические задачи, приводящие к задачам целочисленного программирования. Метод Гомори, его геометрическая интерпретация алгоритм. Метод ветвей и границ.

Раздел15. Статистические методы принятия решения.

15.1 Понятие о математической модели и моделировании. Этапы эко- номико-математического моделирования. Классификация экономикоматематических моделей, применяемых в экономике труда. Основные направления применения анализа и математического моделирования в экономике труда.

Раздел 16. Модели динамического программирования.

16.1 Общая постановка задачи динамического программирования. Принцип оптимальности Беллмана. Уравнения Беллмана. Задача о распределении средств между предприятиями. Задача о замене оборудования.

Пятый семестр.

Самостоятельная работа 60

Раздел 17. Статистические методы и модели.

17.1 Статистическая проверка гипотез.

Проверка гипотез, уровень значимости, ошибки первого и второго рода. Проверка гипотез в случае одно- и двустороннего критерия, в случае большой и малой выборки, в случае известного и неизвестного стандартного отношения. Связь между интервальной оценкой и проверкой гипотез. Использование р-величины при проверке гипотез. Двумерные группировки, кростабуляция. Проверка гипотез на согласие и независимость по критерию хи-квадрат. Поправка на непрерывность. Проверка гипотезы относительно дисперсии генеральной совокупности; сравнение дисперсии двух совокупностей. Проверка гипотезы о законе распределения; подбор кривой распределения.

17.2 Дисперсионный анализ.

Предпосылки дисперсионного анализа. Оценка генеральной дисперсии на основе межгрупповых и внутригрупповых отклонений. Сравнение этих оценок по критерию Фишера. Таблица дисперсионного анализа. Разложение общей дисперсии на составляющие. Несбалансированные и рандомизированные планы. Процедура дисперсионного анализа для случая блочных планов. Сравнение индивидуальных, групповых средних. Линейные множественные контрасты. Многофакторный дисперсионный анализ. Главные эффекты, эффекты пересечения; их графическое отображение. Таблица дисперсионного анализа для многофакторных экспериментов; процедура принятия решения. Множественные сравнения.

17.3 Корреляционно-регрессионный анализ.

Функциональная и корреляционная зависимость. Коэффициент корреляции, его интерпретация и оценка надежности. Анализ матрицы парных коэффициентов корреляции. Оценка параметров уравнения регрессии: предпосылки методы наименьших квадратов и регрессионно-

го анализа. Анализ точности уравнения регрессии: стандартная ошибка оценки по регрессии; коэффициент множественной детерминации, исправленный коэффициент множественной детерминации; оценка значимости уравнения регрессии в целом и его множеств в отдельности. Проблемы мультиколлинеарности и автокорреляции остатков. Статистика Дарбина-Уотсона. Методы устранения мультиколлинеарности автокорреляции остатков. Коэффициенты эластичности. Виды регрессии: общая, иерархическая, пошаговая.

Раздел 18. Анализ временных рядов и прогнозирование.

18.1 Временный ряд и его представление в виде компонент: трендовая, циклическая, сезонная и случайная. Разложение временного ряда на составляющие в аддитивном и мультипликативном представлении. Методы сглаживания временных рядов, используемые в прогнозировании. Подбор константы сглаживания при вычислении экспоненциальной взвешенной средней. Подбор вида тренда, прогнозирование временных рядов на основе тренда. Сезонная деколтозиция временных рядов; индекс сезонности; удаление сезонной компоненты. Прогнозирование временных рядов с поправкой на сезонность. Особенности использования корреляции и регрессии при анализе и прогнозировании временных рядов.

Тематический план и распределение часов по дисциплине. Первый семестр