Модуль 1. Матричная алгебра

Пример 1. Указать элемент матрицы

.

Выяснить размерность этой матрицы.

Решение. Элементы матрицы обычно обозначаются . При этом индекс i означает номер строки, в которой находится этот элемент, а j − номер столбца. По условию

найти квадратную матрицу. Указать её порядок.

Решение. Квадратной называют матрицу, у которой m = n, т.е. число строк равно числу столбцов. Иногда такую матрицу записывают в виде . Такой будет третья из выписанных матриц. Так как m = 3 и n = 3, то её размерность есть . Тогда говорят, что эта матрица есть матрица третьего порядка.

Ответ: Такой матрицей является матрица третьего порядка за номером 3).

Пример 3. Среди квадратных матриц выявить диагональную

Решение. Диагональной называют любую квадратную матрицу n-го порядка, все элементы которой вне главной диагонали (недиагональные элементы) , , …, равны нулю. При этом не обязательно, что все элементы главной диагонали отличны от нуля (среди них могут быть и равные нулю). У матрицы за номером 4) = 2, =0,

20

=4, =5 (выписаны диагональные элементы), а остальные элементы равны нулю. Следовательно, она и является диагональной.

Ответ: Такой матрицей является квадратная матрица четвёртого порядка под номером 4).

Пример 4. Требуется выписать единичную матрицу третьего порядка.

Решение. Единичной матрицей называют диагональную матрицу n-го порядка, у которой все элементы главной диагонали равны единице (=1, …, =1).

Ответ: = .

Решение: Квадратная матрица называется треугольной, если все её элементы, расположенные по одну (любую) сторону от главной диагонали, равны нулю. Из выписанных такой матрицей является матрица под номером 4).

Ответ: 4).

Пример 6. Указать элемент матрицы , являющейся транспонированной по

Решение. Транспонированная матрица получается из произвольной матрицы путём размещения строк последней в соответствующие по номеру столбцы. Операция перехода от к называется транспонированием матрицы Итак, транспонируя

заданной . Элемент матрицы расположен в её четвёртой строке и втором столбце. Очевидно, что = 7. Отметим, что матрица имеет размерность , а её транспонированная имеет размерность .

Ответ: = 7.

21

У симметричной матрицы элементы, расположенные симметрично относительно

возможно умножение матрицы А на матрицу В.

Решение. Умножение матрицы А на В возможно (тогда существует произведение А, важен порядок умножения), если число n столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Так как размерность матрицы А есть , то у неё три столбца (n = 3). Следовательно, среди матриц В надо искать ту, у которой число строк равно трём. Это есть третья матрица из 4 заданных.

Ответ: 3), т.е. .

Пример 10. Выяснить размерность матрицы АВ, если , .

Решение. По условию матрица А имеет размерность , т.е. у неё четыре строки и три столбца. (m = 4, n = 3); у матрицы В размерность (у неё три строки и два

22

столбца). Произведение АВ этих матриц возможно, т.к. число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В (об этих матрицах говорилось в примере 9). Размерность

Решение. Как отмечено при решении примера 9, умножение матриц возможно, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы, на которую первую умножают. Очевидно, что к таким ситуациям относят случаи: 2), 4), 5).

При умножении применялось правило указанное при решении примера 11. Получим

23

Решение. Произведение АВ существует, т.к. А имеет размерность , а В . Применяем правило, которое было указанно в примере 11.

.

Получилась матрица размерности , т.к. , а , то произведение ВА также

ВА имеет размерность , т.е. есть квадратная матрица первого порядка.

Пример 15. Найти матрицы и , если А= и единичная

матрица третьего порядка.

Решение. Непосредственно по определению умножения матриц легко установить, что = А и = А.

Ответ: =А.

Пример 16. Пусть существует произведение АВ блочных матриц.

В этой записи, элементы отмечены точками, блоки разделены (размерности блоков указаны в задаче). Очевидно, что матрица А имеет 5 столбцов. Т.к. АВ существует, то у матрицы В должно быть 5 строк. Т.к. блоки , расположены один под другим, то из предложенных вариантов этому условию (5 строк у матрицы В) удовлетворяет только вариант 4. Конечно, число строк в блоках может быть другим, но общее их число 5 (количество столбцов во всех блоках) не играет роли).

Ответ: Из предложенных вариантов подходит вариант 4).

24

Пример 17. Выяснить, в какую точку преобразуется точка М (5,1) двумерного арифметического пространства с помощью линейного преобразования У=АХ с

Решение. В подробной записи линейное преобразование имеет вид:

Подставив координаты , точки М в эти равенства, получим , . Таким образом точка м(5,1) перейдёт в точку (13,10) в декартовой системе координат 0.

Ответ: (13,10).

Пример 18. Вычислить определитель матрицы. А = .

Решение. Заданная матрица есть квадратная матрица второго порядка.

от произведения диагональных элементов надо вычесть произведение элементов второй (лобочной) диагонали матрицы. В формуле слева даны различные обозначения определителей. В рассматриваемом примере , , , . Тогда

= 1∙6 ( 2)∙3 = 12.

Решение. Вычислим определитель матрицы А по правилу, указанному при решении примера 18. Получим:

Т.к. по условию ∆ (А) = 3, то элемент находится из равенства или . Следовательно, . Легко проверить, что при будет

Ответ: .

Пример 20. Вычислить определитель

25

третьего порядка методом разложения по какой нибудь его строке или какомунибудь его столбцу 9 по правилу Лапласа).

Решение. Этот определитель можно вычислить и другими способами ( например, по правилу треугольника или методам Гаусса). Правило Лапласа можно применять для определителей любого порядка . При этом определитель можно вычислять разложением по любой строке (любому столбцу). Если разлагаем по первой строке, то формула вычисления определителя n-го порядка имеет вид

.

В случае определителей второго порядка справа в этой формуле будут два слагаемых, а в случае определителей третьего порядка три слагаемых. Аналогичные

(n 1) – го порядка, полученные из элементов матрицы А, оставшихся после вычёркивания i-й строки и j-го столбца (без изменения порядка элементов). Из

Проведём вычисления алгебраических дополнений в случае матрицы данного

Такой же результат получим при разложении по двум другим строкам. Вычислим этот же определитель разложением по первому столбцу:

.

Тот же результат получим при разложении этого определителя по двум другим столбцам.

Ответ: .

26

Пример 21. Вычислить определитель

.

Решение. Воспользуемся правилом Лапласа. Для уменьшения вычислительной работы разлагать надо по той строке (тому столбцу), где имеется больше всего нулей. Следовательно, надо разлагать по третьему столбцу. Тогда:

.

Ответ: .

Пример 22. Определитель

Вычисляется разложением по второй строке. Выяснить, какой из вариантов ответов

1)

2)

3)

является правильным.

Решение. Разложение по второй строке имеет вид:

.

Вычисли участвующие здесь алгебраические дополнения:

,

,

.

Тогда

,

т.е. правильный ответ – это вариант 3). Ответ: Вариант 3), при этом .

27

Решение. Если матрица n-го порядка является матрицей треугольного вида, то её

Решение: Будем преобразовывать этот определитель, пока не получим определитель с матрицей треугольного вида, который, как отмечено выше, равен произведению диагональных элементов. При этом каждый раз будем помечать разрешающий элемент . Описание метода Гаусса см., например, в [6, 8, 10].

Метод основан на следующем свойстве: определитель не изменится, если к элементам какой-нибудь строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число. Свойство относится и к столбцам определителя. На первом этапе преобразования элементы разрешающей строки S остаются неизменными.

.

Новый определитель надо вычислит путем разложения по элементам разрешающего столбца. Придётся вычислить минор элемента , который будет определителем меньшего (n-1)-го порядка. С этим определителем проводится аналогичная процедура и т.д. При этом на последующих шагах (этапах) разрешающие строки остаются неизменными. В результате таких действий с данным определителем имеем:

.

Ответ: .

28

Пример 25. Определитель

вычисляется методом Гаусса. Выяснить, в каком из случаев

,

преобразования приведены правильно. Указать значение определителя.

Решение. За разрешающий элемент взят элемент . В следующей записи первая строка остаётся неизменной, а первый столбец, кроме элемента , дополняется нулями. Это сделано правильно в каждом случае. Остальные элементы вычисляются по правилу прямоугольника. Это сделано правильно во втором случае. При этом определитель свёлся к определителю с матрицей треугольного вида. Следовательно

Ответ: Преобразования проведены верно в случае 2, при этом ∆ = 24.

Пример 26. Установить, при какой λ выполняется равенство

Решение. Очевидно, что указанное равенство выполняется при При таком λ третья строка будет пропорциональна второй. Известно свойство: определитель, у которого какие-нибудь две строки пропорциональны, равен нулю.

Ответ: λ=10.

Решение. Для квадратной матрицы существует единственная обратная матрица если , т.е. определитель матрицы отличен от нуля. Очевидно, что в случаях 1), 2) и 4) . В случае 3) . Действительно,

Таким образом, в случае 3) существует

29

Пример 28. Установить, при каком λ матрица

не имеет обратной.

Решение. Матрица не имеет обратной, если она является вырожденной (особенной), т.е. в случае (см. предыдущий пример). Тогда должно выполняться равенство

т.е. 2 λ – 12 = 0. Тогда λ = 6.

Ответ: при λ = 6 данная матрица не имеет обратной.

Пример 29. Указать, какая из матриц

,

Е – единичная матрица того же порядка, что и квадратная матрица А. Таким образом, надо проверить эти равенства. Согласно правилу умножения матриц, это будет только в случае 3). Действительно,

Остальные случаи читатель может проверить самостоятельно. Ответ: матрица случая 3).

Пример 30. Найти обратную матрицу к матрице

.

30

Решение. Если , то существует единственная обратная матрица в матрице A, которая имеет вид

Заметим, что алгебраические дополнения строк матрицы А являются её обратной матрицей. Вычислим определитель матрицы А:

.

В этих равенствах участвовали определители первого порядка, которые равны самим элементам символ означает определитель матрицы , а не модуль числа ). Согласно указанной формуле имеем

Легко проверить, что равенство выполняется. Например,

Ответ: .

Пример 31. Опираясь на определение ранга матрицы с помощь понятия её миноров, найти ранги следующих матриц:

Решение. Определитель k-го порядка, составленный из элементов матрицы А размерности расположенных на пересечении любых выделенных k строк и k столбцов, называется минором k-го порядка этой матрицы и обозначается .

31

Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров, порождённых этой матрицей.

Ранг нулевой матрицы любо размерности, по определению, полагается равным нулю.

Ранг матрицы А обозначается или просто r. Из сказанного ранее следует, что ранг любой ненулевой матрицы удовлетворяет неравенством

Только нулевая матрица имеет ранг, равный нулю.

Все матрицы этого примера не являются нулевыми. Поэтому их ранги удовлетворяют неравенству Минорами высшего порядка первых двух матриц являются миноры второго порядка. Поэтому их ранги удовлетворяют неравенству Следовательно, ранги этих матриц равны либо единице, либо двум.

матрицы имеют по три минора второго порядка. У матрицы они таковы:

Так как имеются отличные от нуля миноры второго (высшего) порядка, отличные от нуля, то . У матрицы миноры второго порядка таковы:

т.е. все равны нулю. Тогда и её ранг либо 0, либо 1. Так как она ненулевая, то

Минорами высшего порядка матриц и являются миноры третьего порядка. Тогда ранги этих матриц удовлетворяют неравенству Единственный минор третьего порядка матрицы

Тогда нужно обратиться к минорам второго порядка этой матрицы. Например, её

невырожденная). Это утверждение состоит из прямого и обратного. Оно очевидно образом следует из определения ранга матрицы. Тогда справедливы и утверждения:

простыми утверждениями. Этим замечанием можно было воспользоваться при

утверждение было сделано на основании определения ранга матрицы.

Пример 32. Найти ранги квадратных матриц

Решение. Очевидно, что ,

Согласно замечанию .

Ответы: .

Пример 33. Найти ранги матриц

с помощью элементарных преобразований.

33

Решение. По поводу определения элементарных преобразований матрицы надо обратиться, например, к [6, 8, 10].

Справедлива теорема: при элементарных преобразованиях матрицы её ранг не изменяется.

Матрицы, полученные одна из другой с помощью элементарных преобразований, называются эквивалентными. Эквивалентность двух матриц А и В записывают так: . Эквивалентные матрицы имеют равные ранги.

На элементарных преобразованиях основан способ вычисления ранга матрицы. Именно данную матрицу преобразуют к эквивалентной, у которой без труда можно заметить так называемый ранговый минор . Обычно, отбрасывая нулевые строки и столбцы, матрицу приводят к трапецеидальной или треугольной форме. Этот способ особенно полезен в случае больших размерностей матриц. Преобразования над матрицей будут напоминать действия, проводившиеся при вычислении определителей методом Гаусса (см. примеры 24, 25). При этом будет применяться упоминавшееся там правило прямоугольника для пересчёта элементов.

В результате действий над матрицей А получим следующие эквивалентности:

Матрица преобразовалась к эквивалентной матрице трапецеидальной формы размерности . За ранговый минор последней матрицы можно взять минор

, отличный от нуля. Следовательно, её ранг равен двум, тогда и

( в силу теоремы о сохранении ранга при элементарных преобразованиях). Проведём элементраные преобразования над матрицей В:

Очевидно, что последняя матрица имеет треугольную форму. Её единственный минор высшего (четвёртого) порядка

отличен от нуля. Ранг этой матрицы равен четырём. Тогда .

Ответы: , .

34

Пример 34. Выяснить, какая из матриц

является расширенной матрицей соответствующей из систем

линейных алгебраических уравнений.

Решение. Если линейная система имеет вид

матрицей системы, а матрица =

называется расширенной матрицей этой системы. Матрица по сравнению с А имеет один дополнительный столбец, элементами которого являются правые части системы.

Расширенная матрица имеет размерность .

Согласно сказанному, системе 1) соответствует её расширенная матрица

,

которая в условии примера выписана под номером 2).

Очевидно, что у система 2) расширенной матрицей является матрица под номером 4). Выписанные матрицы 1) и 3) к данным системам не имеют никакого отношения.

Ответы: Системе 1) соответствует её расширенная матрица под номером 2), а системе 2) – матрица под номером 4).

Пример 35. Установить, какой из векторов

1) (1, –2, 5), 2) (2,4), 3) (2, –2, 3), 4) (–2, 1, 3, 5)

является решением системы

линейных алгебраических уравнений.

35

Решение. Решением линейной системы алгебраических уравнений с неизвестными называется такая упорядоченная совокупность из n чисел , что каждое из уравнений системы обращается в тождество после замены неизвестных соответствующими числами . Вектор ( ), координатами которого

является n-мерным вектором. Его можно рассматривать, как матрицу – строку

решениями могут быть только трехмерные векторы. Ответы 2) и 4) отпадают, т.к. один вектор является двумерным, а второй – четырёхмерным. Остаётся проверить векторы 1)

и 3).

При подстановке координат первого вектора (1; –2; 5) в первое уравнение системы получится тождество 3 = 3, а при их подстановке во второе и третье уравнения системы получаются противоречивые равенства. Таким образом, вектор (1; –2; 5) не есть

Следовательно, решением системы является вектор (2;−2; 3).

Ответ: Вектор 3), т.е. вектор (2; –2; 3).

Замечание. Важнейшей задачей линейной алгебры является исследование систем линейных алгебраических уравнений. (см.[2, 6, 8, 10]).

Она состоит в том, чтобы установить, совместна система или нет, а в случае совместимости указать число решений и методы их нахождения.

При это возможна одна из следующих ситуаций:

1)система несовместна или противоречива, т.е. решений нет;

2)система совместна и определена, т.е. имеет единственное решение;

3)система совместна, но является неопределенной, т.е. имеет бесчисленное множество решений.

Исследование на совместность можно провести двумя способами:

36

1)методом последовательного исключения неизвестных (методом Гаусса) или методом полного исключения неизвестных (методом Гаусса-Жордана);

2)методом сравнения рангов матрицы системы и её расширенной матрицы.

При методе Гаусса применяются элементарные преобразования системы. Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются

следующие преобразования:

1)перестановка местами любых двух уравнений системы;

2)умножение любого уравнения системы на отличное от нуля число;

3)прибавление к любому уравнению системы всякого её другого уравнения, умноженного на некоторое число.

Отметим следующее. Преобразование третьего вида применялось при вычислении определителей методом Гаусса. Элементарным преобразованиями системы линейных уравнений соответствуют элементарные преобразования строк расширенной матрицы этой системы. Элементарные преобразования матриц (к ним относятся ещё аналогичные преобразования над столбцами матрицы) применялись в примере 33 при вычислении рангов матриц.

Справедлива теорема: при элементарных преобразованиях система линейных уравнений переходит в равносильную ей систему.

Напомним, что две системы линейных алгебраических уравнений с одними и теми же неизвестными называются равносильными (эквивалентными), если они либо обе несовместны, либо обе совместны и обладают одними и теми же решениями.

При элементарных преобразованиях с системой в новой системе может появиться

система. При свободном члене b = 0 такие уравнения из системы исключаются (в новой системе будет меньше уравнений).

С помощью элементарных преобразований (методом Гаусса) исходную систему можно привести к треугольному или трапецеидальному виду (возможно, после перестановки местами некоторых уравнений или (и) соответствующей перенумерации неизвестных (см. примеры в [6, 8]).

В случае треугольного вида новой системы решение будет только одно, а в случае трапецеидального вида − бесчисленное множество.

При исследовании систем с помощью ранга применяются следующие теоремы (критерии совместности и определенности системы).

Теорема 1 (Кронекера − Капелли). Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда выполняется равенство

.

Последнее равенство означает, что ранг матрицы А системы равен рангу расширенной

В последнем случае система противоречива.

утверждения:

1.Если r = n, то система имеет единственное решение (определена).

2.Если r n, то система имеет бесчисленное множество решений.

Теоремы 1 и 2 позволяют исследовать систему. Само же решение таким путём не получим.

Проиллюстрируем примерами все положения и выводы этого замечания.

Пример 36. Выяснить, является ли совместной система линейных уравнений с тремя переменными, если при её исследовании методом Гаусса получилось уравнение

.

Решение. Полученное уравнение противоречиво, т.к. при любом наборе неизвестных его левая часть обращается в нуль, а правая часть нулю не равна. Преобразованная система будет противоречивой и по равносильности систем заключаем, что и исходная система противоречива.

Ответ: система противоречива (решение нет).

Пример 37. Исследовать систему которая с помощью метода Гаусса привилась к виду

Решение. Переставив в этой системе местами второе и третье уравнения, получим следующую систему треугольного вида:

Последняя система имеет только одно решение, которое находится обратным ходом

Единственное решение системы можно записать в виде (−3; 4; −2), т.е. в виде трёхмерного вектора.

Ответ: Единственное решение таково: ( 3; 4; 2).

Сделаем замечание к примеру. Расширенная матрица полученной треугольной системы имеет вид

38

.

Матрица А системы (её элементы расположены левее вертикальной черты) является треугольной. Тогда ∆(А) = 2∙4∙(−5) = −40 0. Единственный минор третьего (высшего) порядка этой матрицы совпадает с её определителем: . Следовательно, r(A). Этот же минор будет одним из четырёх миноров третьего (высшего) порядка матрицы . Тогда r( = 3. Получилось, что r(A) = r(. Выполнено условие по теореме Кронекера − Капелли, система совместна. Число n неизвестных системы также равно трём, т.е. r = n. Из приведённой в замечании теоремы 2 вытекает, что решение треугольной системы единственно. Решение используемой исходной системы также будет единственным. Исследование проведено, но оно само таким путём не получено. Метод же Гаусса позволяет не только исследовать систему, но и получить её решения.

Пример 38. Исследовать методом Гаусса систему

с тремя уравнениями и четырьмя неизвестными.

Решение. Заполняем таблицу Гаусса и проводим итерации (этапы, шаги).

За разрешающий элемент взяли элемент , отмеченный в исходной таблице. Первая (разрешающая) строка в новую таблицу переносится без изменений. Разрешающий первый столбец преобразуется. В первом столбце новой таблицы разрешающий элемент сохраняется, а остальные элементы заполняются нулями. Это означает, что в последующих после первого уравнениях преобразованной системы исключена переменная x1. Остальные элементы второй таблицы вычислялись по правилу прямоугольника, уже применявшемся при вычислении определителей методом Гаусса и при нахождении рангов матриц методом элементарных преобразований (см.

примеры 24, 25, 33).

Выполнена только одна итерация, и уже можно сделать вывод. Из второй таблицы видно, что третье уравнение преобразованной системы имеет вид

.

39

Оно возможно при любых значениях этих четырёх неизвестных и его надо исключить из системы. Останется следующая система из двух уравнений:

которая имеет трапецеидальный вид. Следовательно, эта и исходная системы имеют бесконечное множество решений.

Покажем ещё, как найти все решения системы. Для этого в последней системе из двух уравнений члены с неизвестными и перенесём в первую часть системы; получим

Из второго уравнения этой системы переменная выразится через и . Это выражение для подставим в первое уравнение и после этого найдём, как выражается через и . В результате таких действий имеем

Это получено так называемое общее решение системы. Из него можно получить любые частные решения из бесконечного множества решений. Для этого каждый раз свободным (параметрическим) переменным и надо придать произвольные, но фиксированные значения. После этого найдутся свои конкретные значения основных (базисных) неизвестных Например, если , , то из системы получим

,

В этом случае частное решения таково: (; − ; 0; 0). Последнее есть так называемое

базисное решение системы.

Ответ: Система совместна и неопределенна, т.е. имеет бесконечное множество решений.

Рекомендуем провести исследование системы из примера 38 с помощью теорем 1 и 2. Для этого проще всего обратиться к полученной при решении этого примера таблице, провести сравнение рангов матриц системы, сравнить ранг с числом неизвестных (при условии совместности системы). Напоминаем, что ответ должен получиться прежним.

Пример 39. Исследовать методом Гаусса систему уравнений.

40

Решение. Заполняем таблицу Гаусса и проводим итерации.

является системой трапецеидального вида. Для приведения к таковой надо сделать лишь следующую замену переменных:

, , .

Относительно новых переменных система примет вид

который является трапецеидальным. Согласно сказанному в замечании, получаем, что система совместна, но неопределённа. Это можно было бы выяснить и с помощью теорем 1, 2 (по третьей таблице решения легко найти ранги матриц системы).

Ответ: Система совместна и неопределённа (бесчисленные множества решений).

Пример 40. Исследовать систему

методом элементарных преобразований.

Решение. Вычисления становятся более простыми, если за разрешающие элементы выбирать коэффициенты, равные единицам. Тогда разрешающие элементы могут быть в произвольных местах таблицы, что сейчас и увидим. Заполняем исходную таблицу Гаусса и проводим итерацию, отмечая размещающие элементы на каждом этапе.

41

систему уравнений:

Эта система не является ни треугольной, ни трапецеидальной (хотя из её вида одно решение очевидно). Для её преобразования к одному из указанных видов сначала поменяем местами второе и третье уравнения:

Теперь сделаем следующую замену переменных:

, .

Относительно этих новых переменных система примет вид

который является треугольным. Таким образом, исходная система имеет единственное решение. Его можно найти следующим образом. Из последней системы обратным ходом метода Гаусса находится соответствующие Совершив это действие, получим

Возвратившись к замене переменных, находим исходные неизвестные:

Легко проверить, что это решение (2, 2, 3) удовлетворяет расширенной системе. Заметим ещё, что для самого нахождения этого решения (но не для доказательства его существования и единственности) перестановки уравнений и замены переменных проводить не нужно. Это решение сразу наблюдается при рассмотрении третьей таблицы «проведённых» преобразований.

42

Ответ: Система совместна и определённа, единственное решение имеет вид (2, 2, 3). Рекомендуем исследовать эту систему с помощью теорем 1 и 2. Примерами 37 − 40 продемонстрирован метод Гаусса исследования систем. При этом указаны и способы нахождения решений.

Перейдём к более простым примерам, возможным при тестировании. Если решение не нужно находить, то надо применять теоремы 1 и 2.

Пример 41. Исследовать систему

с двумя переменными (x, y и т.д. – обычное обозначение переменных в заданиях при тестировании с небольшим числом неизвестных).

Решение. Выпишем обе матрицы данной системы:

Миноры второго порядка есть миноры высшего порядка этих матриц. Для обеих матриц можно рассмотреть минор

который отличен от нуля. Тогда r (А) = 2 и r () = 2. По теореме Кронекера − Капелли делаем вывод, что система совместна. Так как n = 2, то выполняется условие r = n. Следовательно, по теореме 2 решение единственно. Его легко найти каким-нибудь из методов исключения неизвестных (такие приёмы рассматривались в средней школе). В дальнейшем будут указаны и другие методы. Рекомендуем сразу применить к этой системе уже изложенный метод Гаусса.

Ответ: Система совместна и определённа, т.е. решение только одно.

Пример 42. Исследовать систему

Решение. Матрица А и расширенная матрица этой системы таковы:

Минорами высшего порядка этих матриц являются миноры второго порядка. Единственный минор второго порядка матрицы А есть минор, который равен нулю

следовательно, r(A)2. Так как имеются её миноры первого порядка,

отличные от нуля, то r (A) = 1. У матрицы имеются миноры второго порядка,

43

r(A) r (, то по теореме Кронекера − Капелли данная система противоречива. Ответ: Система противоречива (решений нет).

Пример 43. Исследовать систему

Решение. Очевидно, что минорами высшего порядка обеих матриц А и являются миноры второго порядка. У них есть общий минор

отличный от нуля. Следовательно, по определению ранга имеем, что r(A) = 2 и r ( = 2; тогда по теореме 1 эта система совместна. Так как число неизвестных системы равно трём (n = 3), то r n. По теореме 2 система неопределённа.

Ответ: Система совместна и неопределённа (имеет бесконечное множество решений).

Пример 44. Выяснить, при каком числе система линейных уравнений

несовместна.

Решение. Расширенная матрица системы имеет вид

Слева (до вертикальной черты) выписана матрица А системы. Вычислим минор второго (высшего) порядка расширенной матрицы, не содержащий элемент :

По определению ранга r ( = 2. Тогда по теореме Кронекера − Капелли для несовместности системы ранг матрицы А должен быть равен единице. Это значит, что

(определитель матрицы А) должен быть равен нулю. Из этого условия

находим :

=2

Отсюда следует, что

Ответ: При система не имеет решений.

44

Пример 45. Выяснить, при каком однородная система

имеет ненулевые (нетривиальные) решения.

Решение. Однородная система совместных уравнений всегда совместна, так как она имеет нулевое (тривиальные) решение. В данном примере таким решением будет двумерный вектор (0,0). Для существования ненулевых решений необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (если , то нулевое решение

Предлагаем читателю показать, как можно получать все частные решения данной системы.

Ответ: При система имеет бесконечное множество ненулевых решений.

Пример 46. Требуется систему линейных уравнений

записать в матричном виде и указать матрицы этого вида.

Решение. Матричная запись системы линейных уравнений имеет вид

A =B,

где А − матрица из коэффициентов при неизвестных; В – матрица − столбец из правых частей системы, а X – матрица − столбец из неизвестных. Ясно, что в этом примере

Решение. Матрица-столбец системы A = B с квадратной матрицей А находится по формуле . Таким образом, надо найти матрицу , т.е. произведение матриц на матрицу В. Согласно данным задачи и правил из умножения матриц получим

как вектор имеет вид

45

Ответ: =

Пример 48. Система линейных уравнений

решалась по формулам Крамера. Выяснить, какой из трёх указанных ниже ответов

является правильным.

Решение. Формулы Крамера для этой системы с двумя неизвестными x, y имеют

вид

правых частей системы (другой столбец − такой же, как у ). В этом примере, согласно сказанному и виду системы

Замечание: Вычислим три определителя данного ответа:

, , .

1. Легко проверить, что эти числа обращают равенства

Пример 49. Выписать матрицу линейного преобразования координат

и указать её размерность.

Решение. Этим преобразованием трёхмерного вектора

46

размерность − , т.е. она имеет две строки и три столбца.

Пример 50. Записать линейные преобразования переменных, заданное матрицей

Решение. Данное преобразование имеет вид

Очевидно, что оно преобразует векторы из в векторы из

.

Ответ:

Пример 51. Найти собственные числа и соответствующие им собственные векторы линейного преобразования

Матрица X размерности , элементами которой являются координаты вектора , также будем называть векторами.

Собственным вектором данного линейного преобразования с квадратной матрицей А (собственным вектором матрицы А) называется всякий ненулевой вектор X (X), удовлетворяющий условию

,

где − некоторое число. При этом число называется собственным значение линейного преобразования или собственным значением задающей это преобразование матрицы А. Если есть собственный вектор, принадлежащий собственному значению

, то при любом вектор также является собственным вектором.

Собственные значения находятся как решения характеристического (векового)

уравнения матриц А т.е. уравнения . Для квадратной матрицы А

второго порядка оно имеет вид

47

В данном примере это уравнение таково:

второй степени относительно неизвестной . Его корнями (характеристическими

Выяснить, какие из этих чисел являются собственными значениями матрицы

.

48

Решение. Характеристическое уравнение этой матрицы имеет вид

Пример 53. Выписать матрицу А следующей квадратичной формы двух переменных

.

Решение: Квадратичная форма двух переменных имеет вид

.

Матрицей этой квадратичной формы называется квадратная матрица

,

причём предполагается, что эта матрица симметрична, т.е. . Тогда исходную квадратичную формулу можно записать в виде

.

Из данных примера имеем, что , , (). Следовательно, матрица квадратичной формы имеет вид

Ответ:

Пример 54. Выписать матрицу А квадратичной формы

трёх переменных .

Решение.Квадратичная форма трёх переменных имеет вид

;

при этом предполагается, что её матрица

симметрична, т.е. Тогда она приводится к виду

49

.

Согласно вышеизложенному, для данной квадратичной формы

Следовательно, её матрица имеет вид

.

Пример 55. Записать квадратичную формулу, если её матрица имеет вид

Пример 56. Записать квадратичную форму по её матрице

.

Решение. Данная матрица является симметричной матрицей третьего порядка, при этом

Тогда квадратичная форма есть форма трёх переменных и имеет вид (см. пример 54)

+

Ответ:

Пример 57. Найти ранги следующих квадратичных форм.

1) ,

50

Решение. Рангом квадратичной формы называется ранг, задающий эту форму матрицы.

Матрицей первой формы f двух переменных является матрица (см. пример 53)

Единственный её минор высшего (второго) порядка совпадает с определителем этой матрицы. Очевидно, что . Тогда и, следовательно, ранг квадратичной матрицы будет равен двум (будем писать ).

Матрицей второй заданной формы является матрица (см. пример 55).

Так как , то ; тогда и .

Третья заданная квадратичная форма определяется матрицей третьего порядка (см. пример 54)