Задание 28. Линейное пространство образует множество… Варианты ответов: 1) натуральных чисел; 2) положительных чисел; 3)

положительных целых чисел; 4) действительных (вещественных) чисел.

Тестовые задания с решениями

Задание 1. Если транспонированная матрица матрицы имеет вид

тогда . Можно рассуждать ещё так. Элемент матрицы будет элементом транспонированной матрицы , из вида которой следует, что

Задание 2. Если матрица имеет размерность , а В, то их произведение имеет размерность…

Варианты ответов:

Решение. Размерность матрицы при заданных размерностях А и В выражается символической схемой

9

есть матрица …

Варианты ответов: 1)

Решение: Так как размерность матрицы должна быть (см. предыдущий пример), то варианты ответов 1) и 2) отпадают. Тогда возможны ответы 3) и 4), так как обе эти матрицы имеют размерность Очевидно, что 4) отпадает ввиду того, что эта матрица нулевая (по виду А и В этого быть не может). Правильным ответом является ответ 3). Это легко и проверить по правилу умножения матриц.

,

т.е. он равен произведению элементов главной диагонали минус произведение элементов второй (побочной) диагонали. Для получения ответа проще всего и применить это правило. Тогда Так как по условию дано, что , то приходим к равенству , т.е. Ответом является ответ 4). Отметим следующее. Достаточно быстро получим ответ, если вместо будем брать указанные в вариантах ответов числа ( и вычислять определитель по произведённому правилу. Очевидно, что подходит вариант 2), т.е.

.

10

Задание 5. Разложение определителя

по третьей строке имеет вид…

Варианты ответов:

1)

2)

3)

4)

Решение. Правило Лапласа (разложение определителя по какой-нибудь строке или какому-нибудь столбцу) в данном задании будет иметь вид

,

т.к. разложение ведётся по третьей строке. Тогда в ответах надо искать случаи, где находятся элементы Это случаи 3) и 4), а случаи 1) и 2) не годны. Так как дополнения вычисляются по формуле , то алгебраическое дополнение элемента таково:

Это означает, что правильным ответом является ответ 3).

Задание 7. Для матрицы А существует обратная, если А имеет вид…

есть единичная матрица второго порядка.

11

Очевидно, что эти равенства выполняются только для матрицы 3). Например,

Опишем другой путь. Обратная матрица имеет вид

Тогда по указанному виду получаем, что

т.е. ответ 3).

Задание 9. Решение системы линейных уравнений

методом Крамера указано правильно в ответе …

Варианты ответов:

Решение. Если система линейных уравнений с двумя неизвестными имеет вид

Крамера

.

Из этих формул, очевидно, что решение даётся ответом 2).

12

при этом только у нулевой матрицы ранг равен нулю. Следовательно, ответы 2) и 4) отпадают. Ранг равен наивысшему порядку отличных от нуля миноров, порождённых этой матрицей. В данном примере миноров третьего и высшего порядков нет, тогда отпадает и ответ 3). Остаётся ответ 1), т.е. Это действительно так: первый

нулю.

Задание 11. Система линейных уравнений

Варианты ответов: 1) не имеет решений; 2) имеет два решения; 3) имеет единственное решение; 4) имеет бесконечное множество решений.

Решение. Матрица системы и расширенная матрица этой системы таковы:

Очевидно, что ранги этих матриц совпадают и равным двум (, т.к. у них имеются миноры высшего (второго) порядка, отличные от нуля. Например, у обеих

Кронекера-Капелли) такая система совместна, т.е. имеет решения. Так как общий ранг , а число неизвестных , то выполняется условие . Тогда из критерия определённости следует, что система имеет бесконечное множество решений. Таким образом, справедлив ответ 4). К нему можно прийти иначе, с помощью знаний из аналитической геометрии. Каждое уравнение системы задаёт в трёхмерном пространстве некоторую плоскость. Координаты нормальных векторов, и этих плоскостей не пропорциональны. Следовательно, эти плоскости непараллельны и не совпадают. Тогда они пересекаются по некоторой прямой в пространстве. Координаты точек этой прямой и являются решением системы, множество решений бесконечно.

Задание 12. Система линейных уравнений

несовместна, если равно …

13

Вычисляем её минор высшего (третьего) порядка, не содержащий элемент :

.

Так как он отличен от нуля, то ранг этой матрицы равен трём. (. Для несовместимости системы по теореме Кронекера − Капелли ранг матрицы системы должен быть равен трём (. Это значит, что определитель матрицы системы должен быть равен нулю:

Отсюда следует, что Правильным ответом является ответ 1).

Задание 13. Собственные значения и линейного преобразования

указаны правильно в ответе …

Варианты ответов: 1) 2) ; 3) , 4)

Решение. Матрица этого преобразования такова:

Характеристическое уравнение этой матрицы (данного линейного преобразования) имеет вид

Вычислив этот определитель второго порядка, получим уравнение второй степени относительно , а именно уравнение Его действительные корни и будут собственными значениями заданного линейного

преобразования. Правильным ответом является только ответ 3).

Задание 14. Квадратичная форма

будет положительной определённой при k …

Варианты ответов: 1) 2) ; 3) ; 4) .

14

Решение. Матрица квадратичной формы имеет вид . По критерию

Сильвестра данная квадратичная форма будет положительно определённой только при условии положительности всех её главных (угловых) миноров, которыми являются

ответом является ответ 3). Отметим следующее: ответы 1) и 2) сразу отпадают, т.к.

произведение равно сумме попарных произведений соответствующих координат этих

15

являются координатами нормального вектора , то варианты ответов 3) и 4) негодны. Ответ может быть либо 1), либо 2). Для выбора окончательного ответа надо

Решение. Условием перпендикулярности прямых является равенство или , где угловые коэффициенты этих прямых. По условию задачи

, . Тогда т.е. случай 1).

4)

Решение. Очевидно, что заданная прямая имеет угловой коэффициент Любая параллельная ей прямая имеет тот же угловой коэффициент. Тогда воспользуемся уравнением

и тем, что точка задана. Получим или Следовательно, такой прямой является прямая 1). Можно рассуждать иначе. Так как ответы даны, то среди этих прямых надо искать уравнения с угловым коэффициентом . Или являются прямые 1) и 2). Теперь надо учесть, что искомая прямая проходит через точку Подставляя координаты этой точки в уравнения 1) и 2), убедимся, что такой прямой является прямая 1), т.е. , .

16

Задание 21. Через начало координат проходят прямые …

Варианты ответов: 1) 2) 3) 4)

Решение. Очевидно, что такими прямыми являются 2) и 4). Это проверяется путём подстановки координат точки в эти уравнения.

Задание 22. Точка пересечения прямой и плоскости имеет координаты …

Варианты ответов: 1) (1; ; 5); 2) (1; 1; 4); 3) ( 4) (1, 2, 3).

Решение. Так как в ответах даны координаты предполагаемой точки, то проще всего установить нужную проверкой, т.е. подставлением координат этих точек в оба уравнения. Очевидно, что такой точкой является только точка 3). Если бы ответ был неизвестен, то следует действовать так. Получим параметрические уравнения заданной пространственной прямой:

Для нахождения координат точки пересечения надо решать систему уравнений

В данном примере , т.е. r=4. Поэтому возможны ответы 1) и 2). Очевидно, что правильным ответом является 2).

Задание 24. Алгебраическое уравнение второй степени задаёт на плоскости …

Варианты ответов: 1) параболу; 2) гиперболу; 3) эллипс; 4) окружность.

17

Решение. В уравнении присутствуют члены с и , такое уравнение не может задавать параболу. Коэффициент A при равен единице (A=1), а коэффициент B при равен четырём (B = 4). Так как AB, то это не окружность. Так как коэффициенты A и B одного знака, то эта кривая не является гиперболой. Следовательно, кривой является эллипс (правильным ответом является ответ 3)). Этот ответ можно получить следующим образом. Сгруппируем члены с соответствующими переменными и выделим полные квадраты:

Разделив последнее равенство на 16, получим уравнение

Это уравнение определяет на плоскости эллипс с центром в точке С (3, 1) и полуосями

Задание 25. Каноническое уравнение параболы есть уравнение …

Варианты ответов: 1) 2) 3) 4)

Решение. Таким уравнением является уравнение 4). Первое задаёт эллипс, второе − окружность, третье − гиперболу.

18

характеристических корней называется спектром линейного преобразования (спектром

чисел и есть спектр данного линейного преобразования, т.е. множество 3).

19