Y A K |
1 |
L 1 |
A K |
0 |
L 0 |
A1 |
K |
1 0 |
L 1 0 |
A K |
0 |
L 0 |
e 1 ; |
|
|
||||||||||||||
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
A0 |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
…
если t=n–1,
Y |
A |
K |
( n 1 ) |
L ( n 1 ) |
A K |
0 |
L 0 |
e ( n 1 ) . |
( n 1 ) |
( n 1 ) |
|
( n 1 ) |
( n 1 ) |
0 |
( n 1 ) |
( n 1 ) |
|
Таким образом, процесс оценивания параметров А0, α0 и β0 степенной производственной функции состоит в переходе от производственной функции (4.1) с переменными параметрами Аt, αt и βt к производственной функции с постоянными параметрами А0, α0 и β0 и переменным годовым темпом прироста продукции за счёт технического прогресса и других неучтённых факторов:
Y |
A |
K |
0 |
L 0 |
e t , |
(4.2) |
t |
0 |
|
t |
t |
|
|
где
|
A |
K |
t |
L t |
|
|||
e t |
t |
|
t |
t |
|
. |
(4.3) |
|
A |
K |
0 |
L |
0 |
||||
|
|
|
||||||
|
0 |
|
t |
t |
|
|||
Из (4.3) следует:
t =ln |
At |
Kt |
t |
Lt |
t |
. |
(4.4) |
|
A0 |
Kt |
0 |
Lt |
0 |
||||
|
|
|
Числитель правой части (4.3) характеризует фактический объём продукции в
момент времени t, а знаменатель Ytбаз(0)= A0 
Kt 0 
Lt 0 – объём продукции, кото-
рый был бы получен в году t при сохранении эффективности производства на
уровне базового года t=0. Тогда величина e t характеризует базовый темп роста эффективности производства в момент времени t относительно эффективности производства года t=0.
С учётом обозначения Ytбаз(0)= A0 
Kt 0 
Lt 0 выражение (4.2) примет вид:
96
|
Yt= Ytбаз(0) |
e t . |
|
|
|
Следовательно, при неизменности |
|
эффективности производства, |
|
e |
t =1, фактический объём продукции Y |
t |
будет совпадать с величиной Y |
t |
|
|
|
||
Соотношение (4.4) позволяет определить переменную величину t вольные моменты времени t. В частности, при t=0 имеем:
0 = 0.
т.е. при
баз(0).
впроиз-
(4.5)
Это условие равносильно тому, что в момент времени t=0 эффективность
производства равна единице, т.е. e 0 =1. Эффективность же производства в произвольные моменты времени t изменяется относительно «единичной» эффектив-
ности базового года t=0. Например, e t =1,5 означает, что эффективность производства в момент времени t увеличилась в 1,5 раза относительно эффективности базового года t=0.
Соотношение (4.5) |
для базового года позволяет представить величину t в |
||||||||
виде суммы годовых приростов |
t: |
|
|
|
|
||||
|
t |
1 |
2 |
|
3 |
t |
t 1 |
t . |
(4.6) |
Величина |
t в |
общем |
|
виде |
определяется |
|
суммарным |
воздействием |
|
t(учтённых) учтённых и |
t(неучтённых) неучтённых факторов: |
|
|||||||
t= t(учтённых)+ t(неучтённых),
Тогда справедливо соотношение:
e t = e t ( учтённых ) e |
t ( неучтённых ) , |
где e t ( учтённых ) характеризует эффект от |
совместного воздействия на рост |
производства продукции учтённых факторов K и L, а e t ( неучтённых ) характеризует эффект, обусловленный воздействием неучтённых факторов.
С учётом соотношения (4.6) имеем:
97
e t = e t 1 t = e t 1 e t ( учтённых ) |
e |
t ( неучтённых ) . |
Таким образом, эффективность производства e |
t |
в момент времени t зависит |
от e t 1 сложившейся эффективности производства в году (t-1) и от e
t изменений в эффективности производства, которые произойдут за год t под воздействием учтённых и неучтённых факторов.
Продифференцировав (4.2) по времени и преобразовав, получим: |
|
|||||||
|
Y t |
= 0 |
Kt |
+ 0 |
Lt |
+ |
t . |
(4.7) |
|
|
|
|
|||||
|
Y t 1 |
Kt 1 |
Lt 1 |
|
|
|
||
Из этого соотношения следует экономический смысл величины прироста t = t t-1: величина t отражает ту часть относительного прироста результата производства в году t, которая не зависит прямо от основного капитала и численности занятых в материальном производстве, а является результатом влияния технического прогресса, погодных условий и других неучтённых факторов. Прологарифмировав (4.2) и просуммировав обе части (4.7), получим с
учётом соотношения (4.5) следующие выражения:
lnYt = lnA0 + 0 ln Kt + 0 lnLt + |
t , |
(4.8) |
|||||||||
y(1,t) = |
0 k(1,t) |
+ |
0 l(1,t) + |
t , |
(4.9) |
||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y(1,t) = t |
Y i |
, |
k(1,t) = |
t |
Ki |
, l(1,t) = t |
Li |
. |
(4.10) |
||
|
|
|
|
|
|||||||
i 1 Y i 1 |
|
i 1 Ki 1 |
i 1 Li 1 |
|
|||||||
Показатели y(1,t), k(1,t) и l(1,t) характеризуют соответственно суммарные величины темпов прироста результата производства, основного капитала и чис-
ленности занятых в материальном производстве за t лет. |
|
|
Исключив из (4.8) и (4.9) величину |
t, имеем: |
|
ln(Yt e y(1,t)) = lnA0 + 0 ln(Kt e |
k(1,t))+ 0 ln (Lt e l(1,t)) + t. |
(4.11) |
|
98 |
|
В выражении (4.11) учтена случайная составляющая
t, поскольку производственная функция описывает статистическую зависимость.
Следовательно, оценка методом наименьших квадратов параметров A0,
, 
производственной функции (4.2) возможна только после проведённых преобразований из (4.11). Аналогичным образом можно оценить переменные параметры At, t , t производственной функции (4.1). Данный метод позволяет уменьшить число оцениваемых параметров и тем самым повысить устойчивость получаемых оценок. Из уравнения (4.9), связывающего суммарные величины за t лет темпов прироста результата производства, основного капитала, численности занятых в материальном производстве и величины t, виден экономический смысл
накопленной за t лет величины |
t влияния технического прогресса, погодных |
условий и других неучтённых факторов на результаты производства. |
|
Таким образом, величина t |
характеризует ту суммарную часть относитель- |
ного прироста результата производства за t лет, которая не зависит прямо от основного капитала и численности занятых в материальном производстве, а является результатом влияния технического прогресса, погодных условий и других неучтённых факторов.
После оценивания переменных параметров ПФ (4.1) для определения t необходимо воспользоваться формулой (4.4). В исследованиях в качестве величины влияния неучтённых факторов можно принять величину t из (4.9):
t* = t(учтённых)+ t(неучтённых)=y(1,t) – ( k(1,t)+ l(1,t)). |
(4.12) |
|
Следовательно, знак величины |
t* определяется соотношением между тем- |
|
пами прироста продукции и учтённых производственных факторов K и L: при опережении темпов прироста учтённых производственных факторов над темпами прироста продукции указанная величина будет отрицательной.
Подставив в (4.2) значение |
t* вместо |
|
t , определим расчётное значение |
||
Yt* |
|
|
|
* |
(4.13) |
A0 Kt |
0 |
Lt |
0 e t . |
||
Алгоритм оценивания параметров A0,
, 
степенной производственной функции с переменным техническим прогрессом состоит из вычислений:
99