Исследуем отдачу от расширения масштабов производства и взаимосвязь между эластичностью производства и коэффициентами эластичности выпуска по производственным факторам.

Производственная функция, как уже отмечалось ранее, обладает свойством однородности, которое математически выражает отдачу производственной системы от расширения масштабов производства. Пропорциональное увеличение всех факторов производства в раз не изменяет структуру производства, а приводит к равному для всех факторов изменению средних и предельных продуктов.

Для случая двух переменных K и L однородность производственной функции F(K, L) определяется соотношением (1.4):

F( K, L) =F(K, L).

В общем случае для любой однородной дифференцируемой производственной функции со степенью однородности справедлива теорема Эйлера, согласно которой выполняется равенство

Сумма коэффициентов эластичности продукта по факторам называется эластичностью производства E

Из теоремы Эйлера следует, что для производственной функции, удовлетворяющей условию однородности, эластичность производства равна степени однородности производственной функции:

Производственные системы, в случае коэффициента эластичности масштаба производства E , большего единицы, имеют более высокую эффективность при

19

увеличении масштабов производства. Укрупнение производства при этом даёт положительный эффект.

При коэффициенте эластичности масштаба производства E , меньшего единицы, увеличение размеров производства приводит к уменьшению его эффективности. В этом случае уменьшение размеров предприятия влечёт положительный результат и увеличивает производительность системы.

При равенстве единице коэффициента эластичности масштаба производства (E ) производственная функция является неоклассической производственной функцией и называется линейно-однородной функцией. В этом случае производство инвариантно к изменению масштаба системы, и изменение потребляемых факторов приводит к пропорциональному изменению производства продукции.

Перейдём к анализу важной проблемы оценки взаимного замещения факторов в производственных функциях, удовлетворяющих условиях (1.1) – (1.4).

Доступность множества технологий позволяет производителю изменять наборы факторов при производстве продукта. Изменение набора факторов приводит в общем случае к изменению количества производимого продукта. Однако существует бесконечное множество различных наборов факторов, которым соответствует одинаковое количество произведённого продукта. Это множество называют изоквантами.

В общем случае множество изоквант образует гиперповерхность равного выпуска продукта. В частном случае набора факторов капитал-труд изокванта образует линию равного выпуска.

Таким образом, изокванта – это геометрическое поле точек, которым соответствует одинаковый уровень выпуска продукции.

По определению изокванты значение производственной функции на изокванте есть постоянная величина. Каждая изокванта характеризуется определённым количеством произведённого продукта. Другими словами, количество выпускаемого продукта не изменяется при перемещении точки набора факторов по гиперповерхности равного выпуска продукта.

Таким образом, возможность взаимного замещения ресурсов означает, что одно и то же количество продукта Y0 может быть произведено при различных сочетаниях ресурсов.

Изокванты в теории производства аналогичны кривым безразличия в теории поведения потребителя. Однако в отличие от кривых безразличия, где суммарное удовлетворение потребителя точно измерить нельзя, изокванты показывают

20

реальные уровни производства. Они обладают теми же свойствами, что и кривые безразличия:

1)изокванты не пересекаются друг с другом, то есть через любую точку на графике можно провести только одну изокванту;

2)изокванта Y0 = F(K, L) = const разбивает неотрицательный ортант пространства ресурсов на два множества, в одном из которых Y < Y0, в другом Y >

Y0, причём граница между этими множествами проходит по изокванте

Y0 = F(K, L) = const;

3)большему выпуску продукции соответствует в пространстве ресурсов изокванта, лежащая выше и правее другой изокванты, а на плоскости – изокванта, более удаленная от начала координат;

4)в экономической области изокванты имеют отрицательный наклон;

5)абсолютные значения наклона изокванты при движении по ней вправо уменьшаются, она становится более пологой;

6)изокванты не имеют общих точек с осями координат.

Последнее свойство вытекает из первого предположения о свойствах производственной функции.

В случае двухфакторной производственной функции Y=F(K, L) изокванты представляют непрерывные линии на плоскости KL (рисунок 1.1).

dK

0 dL

Рисунок 1.1 – Изокванта и предельная норма замещения труда капиталом hLK

Уравнение изокванты определяет связь между затратами труда и капитала,

21

которые необходимы для производства заданного количества продукта. Математически эта связь выражается уравнением

K = f(L,Y).

Величина произведённого продукта Y является постоянной для фиксированной изокванты и даёт параметрическую зависимость положения изокванты в семействе изоквант.

Перемещение точки затрат вдоль изокванты сопровождается непрерывным замещением фактора L фактором K при постоянном уровне производства продукта Y. Это приводит к необходимости введения нового понятия – предельной нормы замещения факторов производства.

Рассмотрим перемещение точки затрат факторов вдоль изокванты при непрерывном замещении фактора L фактором K. В случае многофакторной производственной функции предполагается, что все остальные факторы производства удерживаются на постоянном уровне. На изокванте выполняется равенство объёмов производства в точках (K, L) и (K+dK, L+dL):

F(K, L) = F(K+dK, L+dL).

Продифференцировав функцию F(K, L) вдоль изокванты, получаем

Экономически это соотношение означает, что если производитель при выборе иного сочетания факторов производства остаётся на одной и той же изокванте, то прирост объёма производства от увеличения L равен уменьшению объёма производства от уменьшения затрат K:

Таким образом, вдоль изокванты выполняется соотношение

22

K

Из условия (1.2) получаем, что h 0, а при строгой положительности предельных эффективностей производственных факторов h > 0. Величина h называется предельной нормой замещения фактора L фактором K.

Предельная норма замещения имеет простую графическую интерпретацию, которая дана на рисунке 1.1. Величина предельной нормы замещения труда капиталом равна по модулю отношению приращения капитала dK к приращению труда dL. В экономической области изокванты имеют отрицательный наклон изза отрицательного углового коэффициента касательной к изокванте.

Следовательно, предельная норма замещения по модулю равна угловому коэффициенту касательной к изокванте

hLK = | tg |.

В случае перехода от старой технологии к новой знаки приращений затрат факторов производства различны (dK > 0 и dL < 0). Новая технология характеризуется более высокой капиталовооружённостью по сравнению со старой технологией. Перевооружение производственной системы и переход к новой технологии графически соответствует перемещению из точки B в точку A на рисунке 1.1. Этот переход из точки B в точку A вызовет уменьшение затрат труда dL при росте затрат капитала dK. Обратный переход от точки A к точке B приводит к уменьшению капитала dK при увеличении затрат труда dL.

Предельная норма замещения труда капиталом hLK показывает, сколько основного капитала может быть высвобождено при увеличении затрат труда на единицу (и, наоборот, сколько основного капитала необходимо дополнительно ввести при уменьшении затрат труда на единицу), если выпуск продукции необходимо оставить на прежнем уровне.

Абсолютное значение наклона изокванты на разных её участках выражает предельную норму замены фактора L фактором K, поэтому изокванту можно назвать также кривой взаимозаменяемости.

Поскольку в двухфакторной производственной функции предельная норма замещения h совпадает по модулю с тангенсом угла между касательной к

23

изокванте и соответствующей осью координат (рисунок 1.1), при движении вдоль изокванты предельная норма замещения не остаётся постоянной, а зависит от точки, в которой рассматривается производная.

Из графика (рисунок 1.1) видно, что при движении по изокванте сверху вниз и слева направо величина h уменьшается, так как тангенс угла наклона касательных уменьшается. Уменьшение h объясняется тем, что, как правило, факторы производства не являются абсолютно взаимозаменяемыми. Каждый фактор выполняет свойственную ему функцию, которую другой фактор может выполнять хуже или совсем не выполнять.

Степень взаимозаменяемости факторов различна для разных отраслей. К примеру, на фабрике по производству стульев относительно просто заменить работу машин ручным трудом, но это практически невозможно в химической промышленности. Трудности, возникающие при замене одного фактора другим в рамках данного объёма производства, отражает кривизна изоквант.

Предельная норма замещения труда капиталом может быть выражена как отношение предельных эффективностей

а также через отношение коэффициентов эластичности и факторов производства:

где k капиталовооружённость труда равна количеству затрачиваемых единиц капитала, приходящихся на одну затраченную единицу труда:

k = KL .

Точки на плоскости KL, имеющие одинаковое отношение загруженного капитала к труду (капиталовооружённость), лежат на луче, выходящем из начала координат.

Полученная формула показывает существование прямо пропорциональной зависимости между предельной нормой замещения труда капиталом и величиной капиталовооружённости при условии постоянного отношения коэффициентов эластичности факторов.

24

На рисунке 1.1 представлена типичная изокванта, отражающая частичную взаимозаменямость ресурсов1.

Из формулы (1.17) следует, что предельная норма замещения производственных факторов равна обратному отношению предельных эффективностей факторов.

Следовательно, зная предельные эффективности факторов, легко определить норму замены факторов. Например, если предельная эффективность фактора L в два раза превышает предельную эффективность фактора K, то h = 2. Это соответствует замещению единицы затрат труда в среднем двумя единицами основного капитала при условии сохранения выпуска продукции на прежнем уровне.

Симметричность замещения труда и капитала даёт связь между двумя предельными нормами замещения hLK и hKL:

hLK = 1 .

hKL

Введём понятие изоклинали (изоклины), или линии постоянной предельной постоянной предельной нормы замещения производственных факторов.

Изоклиналью называется множество точек экономической области, в которых предельная норма замещения одного фактора другим постоянна. Каждая изоклиналь характеризуется предельной нормой замещения, и при перемещении вдоль изоклинали предельная норма замещения h остаётся постоянной (рисунок 1.2).

Изоклинали производственной функции F(K, L) определяются как линии на плоскости KL, в любой точке которых предельная норма замещения труда капиталом hLK остаётся постоянной. Поэтому взаимозаменяемость ресурсов в производстве можно представить как переход от одной изоклинали к другой.

Изоклинали однородных производственных функций являются лучами, выходящими из начала координат (рисунок 1.2).

Перейдём к исследованию характеристики производственной функции – эластичности замещения производственных факторов, которая характеризует скорость изменения предельной нормы замещения при движении вдоль изокванты.

Каждая точка изокванты характеризуется затратами капитала K и труда L. С другой стороны, каждая точка на изокванте характеризуется предельной нормой замещения труда капиталом hLK и капиталовооружённостью k.

1Климов С. М., Селин А. П., Федорова Т. А. Микроэкономика : учеб. пособие. СПб. : ИВЭСЭП;

Знание, 2003. С. 103 – 165.

25