производственной функции:

6. Расчёт продукции Y1950 .

Подставив известные значения параметров A, ,и производственных факторов K1950, L1950 в степенную производственную функцию Yt = A .Kt .Lt , получим расчётное значение величины ВНП США для 1950 года.

Y1950=1,978. (310,42)0,849. (125,12)0,151=535,2 (млрд дол.).

7. Исследование эффективности производственных факторов

При исследовании эффективности производственных факторов можно воспользоваться формулами (1.33) – (1.36) расчёта средних производительностей AyK и AyL и предельных производительностей MyK и MyL факторов K и L, подставив соответствующие значения параметров и факторов (для первого года анализируемого периода) 1950 года.

Средние эффективности производственных факторов K и L и их экономический смысл.

Средняя эффективность производственного фактора определяется как соотношение объёма продукции к объёму соответствующего производственного фактора. Отношение продукции к основному капиталу называется средней капиталоотдачей и вычисляется по формуле (1.33):

= 1,72 (млрд дол./ млрд дол.) =1,72 (дол./дол.).

Следовательно, отдача с одного долара основного капитала составляет в среднем 1,72 дол. выпускаемой продукции.

Аналогично определяется средняя производительность труда, которая вычисляется по формуле (1.34):

= 4,27 (млрд дол./ млрд ч.) = 4,27(дол./ч.).

51

Таким образом, выработка на одного работника за один отработанный час составляет в среднем 4,27 дол. выпускаемой продукции.

Предельные эффективности производственных факторов K и L и их экономический смысл.

Вычислим предельные эффективности производственных факторов степенной производственной функции формулам (1.35) – (1.36):

Рассмотрим экономический смысл предельных эффективностей производственных факторов на примере фактора K. Поскольку для этого фактора предельная эффективность оказалась равной 1,46 (дол./дол.), это свидетельствует о том, что дополнительный долар основного капитала даёт в среднем 1,46 дол. дополнительной продукции.

Соотношение между средней и предельной эффективностью производственных факторов.

Если величины K и L будут положительными, то, согласно формулам расчёта MyK и MyL, положительными будут и величины предельных эффективностей производственных факторов. В степенной ПФ (1.21) предельные эффективности факторов всегда ниже их средних эффективностей, так как параметры и удовлетворяют условию:

0 < < 1; 0 < < 1.

Например, для фактора K справедливо соотношение:

Таким образом, подставив найденные значения средних и предельных производительностей в соотношения

MyK ≤ 1 (MyK ≤ AyK),

AyK

MyL ≤ 1 (MyL ≤ AyL),

AyL

убеждаемся в справедливости утверждений для степенных производственных функций, что предельные продукты производственных факторов всегда меньше соответствующих средних продуктов производственных факторов.

Коэффициенты эластичности выпуска по факторам K и L в степенных производственных функциях и их экономический смысл.

Для расчёта коэффициентов эластичности выпуска по производственным факторам K и L в степенных производственных функциях воспользуемся форму-

лами (1.39) – (1.40):

Эти коэффициенты показывают, на сколько процентов изменится в среднем выпуск продукции при изменении затрат соответствующего фактора на один процент.

Поскольку в рассматриваемом случае = 0,849 и = 0,151, это означает, что при изменении затрат фактора K на 1 % выпуск продукции изменится в среднем на 0,849 %, а при изменении затрат фактора L на 1 % выпуск продукции изменится в среднем на 0,151 %.

8. Проверка выполнения трёх предположений о свойствах производ-

ственной функции Y=F(K,L) (1.1) – (1.3):

F(0, L) = 0 , F(K, 0) = 0;

53

Рассмотрим проверку выполнения первого предположения (1.1). Экономически это предположение указывает на то, что производство невозможно при от-

сутствии хотя бы одного производственного фактора

F(0,L)=0 , F(K,0)=0.

Это предположение означает, что каждый из факторов необходим хотя бы в малых количествах. Полное его отсутствие не может быть компенсировано другими факторами.

Подставив нулевые значения производственных факторов K и L в степенную производственную функцию, убеждаемся в выполнении для степенной производственной функции первого предположения:

Y=A .0 .L=A.K .0= 0.

Рассмотрим проверку выполнения второго предположения (1.2) о свойствах степенной производственной функции. Экономически это предположение указывает на то, что при увеличении затрат производственных факторов K и L выпуск продукции не уменьшается, то есть в случае дифференцируемых ПФ справедливо соотношение:

310 ,42

и

54

(больше нуля), то второе предположение о свойствах производственных функций также выполняется.

Рассмотрим проверку выполнения третьего предположения (1.3) о свойствах степенной производственной функции. Экономически это предположение ука-

зывает на то, что по мере увеличения количества одного производственного фактора при постоянных количествах других предельная эффективность этого фактора не возрастает, то есть справедливо соотношение

Этот факт имеет вполне разумное объяснение. Поскольку каждая последующая единица производственного фактора, количество которого возрастает, должна соединяться с меньшим, приходящимся на неё количеством других факторов, эффективность использования растущего фактора уменьшается. Необходимо отметить, что эта закономерность наблюдается лишь при отсутствии качественных изменений в производстве.

Из предположения (1.2) следует, что в точке (K0,L0) вторые частные производные отрицательны:

55

Таким образом, для степенной производственной функции предположение (1.3) выполняется.

9. Исследование отдачи от расширения масштабов производства

Однородность производственных функций.

Рассмотрим проверку выполнения четвертого предположения (1.4) о свойствах степенной производственной функции. Математически четвёртое предположение состоит в требовании однородности производственной функции.

Производственная функция F(K,L) называется однородной функцией степени , если для произвольных значений K, L и она удовлетворяет соотношению

F( K, L) =F(K,L).

Если >1, то говорят, что производственная функция характеризуется возрастающей отдачей от расширения масштабов производства; если =1 – посто-

ном случае нарушалось бы третье предположения (1.3) о свойствах степенной производственной функции во всех точках положительного квадранта.

среднем в 2v раз, то есть более чем в два раза, при =1 – в среднем в 2 раза, а при <1 – менее чем в два раза.

Поскольку в нашем примере = 0,849, = 0,151, то = + = 1. Это соответствует постоянной отдаче от расширения масштабов производства, т.е. если объём основного капитала и численности занятых в материальном производстве увеличатся в «m» раз, то выпуск продукции возрастёт в среднем также в «m» раз. Таким образом, однородность производственной функции означает, что при увеличении затрат производственных факторов в раз объём производства возрастает в среднем в v раз.

Определите степень однородности производственной функции:

Y=1,978·K , ·L ,

Для выполнения остальных пунктов этого раздела воспользуйтесь формулами

(1.14) – (1.16):

56

E EK EL;

E EK EL = .

Таким образом, эластичность производства для степенной производственной функции равна степени однородности производственной функции при всех зна-

чениях (K,L) и не зависит от комбинации затрат.

10. Исследование взаимного замещения производственных факторов

сочетаниях ресурсов. Изокванта – геометрическое поле точек, которым соот-

ветствует одинаковый уровень выпуска продукции. Для степенной производ-

ственной функции линии постоянного уровня выпуска Y=Y0 образуют семейство изоквант, уравнение которых можно получить из уравнения степенной произ-

водственной функции, принимая, например, K как функцию L:

координат. Величина K(L), определяемая изоквантой (1.64), характеризует объём основного капитала, необходимый для получения заданного выпуска продукции

Y0 в зависимости от численности занятых в производстве. Функция K(L) являет-

ся монотонно убывающей функцией. Необходимо отметить, что это свойство не определяется конкретным видом функции, а присуще всем производственным функциям с двумя производственными факторами.

Для построения изокванты степенной производственной функции постоянно-

го выпуска Y0=535,2 млрд дол. определим по формуле (1.64) расчётные значения

57