Линейная производственная функция имеет нулевую «кривизну» и соответственно бесконечную эластичность замещения LK1.

Заканчивая рассмотрение производственных функций, отметим, что степенные производственной функции используются чаще производственных функций CES, поскольку параметры степенных производственных функций оценить значительно легче и работать со степенными функциями проще. А неправдоподобность поведения степенных производственный функций в области малых количеств факторов не так уж важна, поскольку в исследованиях представляют интерес значения факторов, достаточно близкие к уже использующимся в производстве в данный момент2.

1.4. Методы соизмерения характеристик статических производственных функций

Несовершенство традиционных методов выбора и оценивания производственных функций сдерживает их широкое применение в экономических исследованиях. В зависимости от выбранного вида производственной функции будут получены различные числовые характеристики одного и того же экономического процесса. Так, у линейной производственной функции, как показано ранее, предельная эффективность постоянная, эластичность выпуска переменная, а эластичность замещения производственных факторов равна бесконечности. В случае же степенной производственной функции эти характеристики соответственно являются переменной, постоянной и равной единице. Что касается средних эффективностей факторов, то они совпадают для всех видов производственных функций. Всё сказанное справедливо для производственных функций с постоянными параметрами.

В действительности все перечисленные числовые характеристики в результате влияния технического прогресса и неучтённых факторов являются переменными. Поэтому переменными будут и все оцениваемые параметры в производственных функциях. Поскольку производственные функции описывают один экономический процесс, соответствующие характеристики этих производственных функций должны совпадать, независимо от вида производственных функций. Для сравнения характеристик статических производственных функций приведём разработанные автором методы преобразования производственных функций.

Параметры в традиционных линейной производственной функции (1.20):

1Замков О. О., Толстопятенко А. В., Черемных Ю. Н. Математические методы в экономике : учебник. М. : МГУ им. М.В. Ломоносова, 1997. С. 157 – 173.

2 Лотов А. В. Введение в экономико-математическое моделирование. М. : Наука, 1984. С. 67 –96.

37

предполагаются постоянными в течение исследуемого периода. Непосредственное сравнение параметров производственных функций (1.20) и (1.21) невозможно, поскольку предельные производительности факторов a и b линейной производственной функции являются величинами размерными, а эластичности и степенной производственной функции – относительными, то есть безразмерными. Для соизмеримости оценок производственных функций (1.20) и (1.21) следует по известным оценкам a и b линейной производственной функции оценить коэффициенты эластичности и масштабности по формулам:

38

где Y , K , L – средние значения показателей Y, K и L для исследуемого периода. Соотношение для оценки параметра A* линейной производственной функции

(1.20) следует из нормального уравнения метода наименьших квадратов (МНК):

или

Y =A*+ ·Y .

Если степень однородности производственной функции равна единице

то

Следовательно, производственные функции (1.20) и (1.21) с учётом (1.50) и (1.51) преобразуются к виду:

39

Коэффициенты эластичности факторов линейных однородных производственных функций (1.52), (1.54) и (1.55) определяются по формулам:

*= b· YL =1- *.

В действительности в результате влияния технического прогресса и неучтённых факторов параметры в производственных функциях являются переменными. При исследовании динамических производственных функций будет показана возможность преобразования степенной производственной функции с переменными параметрами так же, как и в случае степенной производственной функции с постоянными параметрами, в линейную производственную функцию с переменными параметрами.

Поэтому благодаря гипотезе о переменности параметров в производственных функциях будет преодолена методологическая проблема ограниченности традиционных производственных функций с постоянными параметрами, заключающаяся в постоянстве эластичности замещения производственных факторов.

ГЛАВА 2 ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ И ВЫБОР СТАТИЧЕСКИХ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ

Экспериментальное оценивание и выбор статических производственных функций покажем на примере моделирования экономического развития США

1950 – 1960 годов.

Статистические данные экономики США приведены в таблице 2.1.

В качестве конечного результата производства выбран валовой национальный продукт (ВНП) Yt, а в качестве факторов производства – объём загруженного основного капитала Kt и количество отработанных часов в производстве Lt.

По данным валового национального продукта Yt, объёма загруженного ос-

40

новного капитала Kt и количества отработанных часов в производстве Lt эконо-

мики США 1950 – 1960 гг. (таблица 2.1) необходимо:

1.Оценить методом наименьших квадратов параметры линейной и степенной производственных функций.

2.Выбрать из оцененных производственных функций ту функцию, которая точнее описывает экономический процесс.

3.Сравнить характеристики линейной и степенной производственных функций.

4.Исследовать свойства и характеристики статической степенной производственной функции.

Таблица 2.1 – Динамика основных показателей экономики США1

1 Sources of the USA: Council of Economic Advisers (1981a, p. 281); (1981b, pp. 228, 271); (1981c, pp. 2, 55); (1981d, p. 60).

41

2.1 Статистическая оценка и выбор производственных функций

По экспериментальным данным валового национального продукта Yt, объёма загруженного основного капитала Kt и количества отработанных часов в произ-

водстве Lt экономики США (таблица 2.1) за период 1950 –1960 гг. после оцени-

вания методом наименьших квадратов параметров линейной и степенной произ-

водственных функций выберем из них ту функцию, которая точнее описывает экономический процесс.

Рисунок 2.1 – Диалоговое окно Сервис/Анализ данных/Регрессия

Для оценивания методом наименьших квадратов параметров линейной и сте-

пенной производственных функций воспользуемся пакетом прикладных про-

грамм (ППП) EXCEL. Для выбора линейной регрессии необходимо выполнить последовательный выбор из меню: Сервис/Анализ данных/Регрессия. В ре-

зультате имеем диалоговое окно (рисунок 2.1).

Заполнив все требуемые ячейки диалогового окна для экономики США за пе-

риод 1950 – 1960 гг., получаем таблицу 2.2 «Вывод итогов оценивания пара-

метров статической линейной производственной функции Y=A*+a·K+b·L произ-

вольной степени однородности».

42

Таблица 2.2 – Вывод итогов оценивания параметров статической линейной производственной функции Y=A*+a·K+b·L

Для оценивания степенной производственной функции необходимо преобразовать исходные статистические данные валового национального продукта Yt, объёма загруженного основного капитала Kt и количества отработанных часов в производстве Lt экономики США в логарифмы соответствующих показателей lnYt, lnKt, lnLt (таблица 2.3).

Таблица 2.3 – Расчёт логарифмических показателей lnYt, lnKt, lnLt экономики США

Для оценивания методом наименьших квадратов параметров степенной производственной функции необходимо снова воспользоваться пакетом прикладных программ (ППП) EXCEL и осуществить последовательный выбор из меню: Сервис/Анализ данных/Регрессия. Следует обратить внимание на то, что в этом случае при заполнении диалогового окна вместо исходных данных валового национального продукта Yt, объёма загруженного основного капитала Kt и количества отработанных часов в производстве Lt экономики США необходимо использование логарифмов соответствующих показателей lnYt, lnKt, lnLt (таблица 2.3). Для статической степенной производственной функции Y=A·K ·L вывод итогов аналогичен виду вывода итогов линейной производственной функции (таблица 2.2).

Из полученных итогов выпишем результаты оценивания параметров линейной и степенной производственных функций произвольной степени однородности и значения коэффициентов детерминации R2:

Ŷ=417,1+1,6*K - 2,8*L, R2 = 0,942;

Ŷ= 40,65·K0,936·L-0,573, R2 = 0,947,

где Ŷ – расчётное значение ВНП США.

По значению коэффициента детерминации R2 и другим характеристикам можно сделать вывод о точности построенной модели. Так, чем ближе значение коэффициента детерминации R2 к единице, тем выше точность построенной модели. Результаты оценивания параметров статических производственных функций США приведены в таблице 2.4.

Таблица 2.4 – Параметры статических ПФ (1.20) и (1.21)

44

Отрицательность параметров статических производственных функций (1.20) и (1.21) указывает на неадекватность описания этими функциями экономики США. Таким образом, несмотря на очень высокие значения коэффициентов детерминации, статические производственные функции (1.20) и (1.21) не пригодны для моделирования экономики США.

Следует заметить, что отрицательность параметров линейной и степенной производственных функций произвольной степени однородности часто имеет место и для других экономических объектов. Это может быть обусловлено как спецификацией модели, так и статистическими проблемами.

Поэтому для исследования экономики США воспользуемся статическими линейными однородными производственными функциями с постоянными параметрами, то есть производственными функциями, у которых сумма коэффициен-

Для оценивания методом наименьших квадратов параметров линейных однородных производственных функций с постоянными параметрами снова воспользуемся пакетом прикладных программ (ППП) EXCEL (таблица 2.6) с данными

YL , KL , ln YL и ln KL , приведёнными в таблице 2.5.

Таблица 2.6 – Параметры статических производственных функций (1.52), (1.54) и (1.55) ( = =1)

Положительность полученных оценок параметров линейных однородных производственных функций указывают на возможность исследования экономики США с помощью названных производственных функций.

Исследуем точность расчётов построенных моделей. Результаты сравнения расчётных значений с фактическими значениями ВНП США для периода 1950 – 1960 гг. приведены в таблице 2.7.

Таблица 2.7 – Сравнение фактических величин ВНП США с расчётными величинами Y*, оцененными по функциям (1.54) и (1.55)

46

Если выбор производственных функций осуществлять по коэффициенту детерминации, то, согласно классическому моделированию, выбор следует сделать в пользу степенной производственной функции, обладающей большим значением коэффициента R2. Так, для линейной производственной функции значение коэффициента детерминации R2=0,901, а для степенной производственной функции значение этого показателя равно 0,907.

Близость в экспериментальных расчётах соответствующих коэффициентов детерминации указывает на то, что точность расчётов с помощью линейной и степенной производственных функций фактически совпадает.

2.2 Сравнение характеристик линейной и степенной производственных функций

Непосредственное сравнение параметров линейной и степенной производственных функций невозможно. Это связано с тем, что предельные производительности производственных факторов a и b линейной производственной функции являются величинами размерными, а эластичности и степенной производственной функции – относительными, то есть безразмерными.

Для соизмеримости оценок линейной и степенной производственных функций следует, как показано ранее, по известным оценкам a и b линейной производственной функции оценить коэффициенты эластичности и масштабности по формулам (1.48):

=

A* = (1 )·Y

47

Коэффициенты эластичности факторов линейных однородных производственных функций (1.52), (1.54) и (1.55) определяются по формулам (1.56):

*= a·KY ;

*= b· YL =1- *.

Сравнение соответствующих факторных коэффициентов эластичности производ-

ственных функций (1.20) и (1.21), а также (1.52), (1.54), (1.55) по формулам (1.48) и (1.56) указывает на их близость. Например, параметры =0,939 и =-0,585 производственной функции (1.20) США близки аналогичным параметрам =0,936 и =- 0,573 производственной функции (1.21) (таблица 1.4). Близость характеристик линейной и степенной производственных функций усиливается в случае линейных однородных производственных функций (1.54) и (1.55) (таблица 2.6):

0,856; 0,145;

0,849; 0,151.

Кроме близости соответствующих характеристик линейной и степенной производственных функций на эквивалентность указанных производственных функций указывает также и близость в экспериментальных расчётах соответ-

48