0
Рисунок 1.4 – Изокванты линейной производственной функции
Несмотря на указанные недостатки линейной производственной функции, они получили широкое распространение при моделировании крупномасштабных производственных систем, таких как отрасли промышленности и национальная экономика, когда производство агрегированного продукта обеспечивается одновременным функционированием огромного множества разнообразных технологических процессов.
Перейдём к рассмотрению основных свойств и характеристик степенной производственной функции (1.21). Эта функция предложена П. Дугласом и Ч. Коббом в 1928 году1. Степенная производственная функция применяется для решения разнообразных теоретических и прикладных задач, благодаря своей структурной простоте. Степенная производственная функция относится к классу мультипликативных производственных функций. Логарифмируя производственную функцию (1.21), получаем линейное соотношение
lnYt=lnA+ ln Kt+ lnLt. |
(1.32) |
Преимущество этой формы записи состоит в том, что для оценки неизвестных параметров A, , по эмпирическим данным можно применять классические методы
1 Cobb, Charles W. and Paul H. Douglas (1928) A theory of production. American Economic Review 18: p. 139 – 165.
31
линейной множественной регрессии и использовать широко распространённые программные продукты для реализации методов наименьших квадратов.
При использовании классической степенной производственной функции предполагается выполнение следующих условий:
1)допускается возможность замещения одним фактором производства другого;
2)неизменность эффективности единиц труда и капитала;
3)неизменность эффективности использования факторов производства (условие отсутствия технического прогресса).
Для степенной производственной функции (1.21) все свойства 1 – 4 выполняются. Определим основные характеристики степенной производственной функции по формулам (1.5) – (1.11), (1.18) и (1.19):
AyK = |
|
Y |
= |
|
|
|
F( K ,L ) |
= |
|
|
|
|
A |
K |
L |
|
= A·K |
·L ; |
||||||||||||||||||||||||
|
K |
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
AyL = |
Y |
|
= |
|
|
|
F( K ,L ) |
= |
|
|
A |
K |
L |
= A·K |
·L |
|
||||||||||||||||||||||||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
MyK= |
|
Y |
= |
|
|
|
F( K ,L ) |
= A K |
1 L |
|
Y |
; |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
K |
|
|
|
|
|
K |
|
|
|
K |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
My = |
|
Y |
= |
|
|
F( K ,L ) |
= |
|
|
Y |
; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
L |
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
L |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
MyK |
|
|
≤ 1 (MyK ≤ AyK); |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AyK |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
MyL |
|
≤ 1 (MyL ≤ AyL); |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AyL |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
EK |
|
|
|
|
|
|
Y |
|
Y |
|
|
|
Y |
|
|
|
K |
|
MyK |
= |
; |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
K |
|
K |
|
|
K |
|
|
|
Y |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AyK |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
Y |
|
|
L |
|
|
|
|
MyL |
= |
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
L |
|
Y |
|
|
|
|
|
|
AyL |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(1.33)
(1.34)
(1.35)
(1.36)
(1.37)
(1.38)
(1.39)
(1.40)
|
|
|
hLK |
|
M yL |
= |
|
|
|
K |
; |
|
|
|
|||||
|
|
|
M yK |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
||||||
|
|
d( K / L ) |
|
|
|
|
|
d( K / L ) |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= |
|
( K / L ) |
= |
|
|
|
|
( K / L ) |
1. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
dh |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
( |
/ |
|
|
) d( K / L ) |
|
|||||||||||
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
( |
/ |
|
) ( K / L ) |
|
||||||||||||
(1.41)
(1.42)
Из формул (1.33) – (1.36) следует, что с увеличением затрат производственного фактора средняя и предельная производительность для степенной производственной функции монотонно уменьшается при фиксированном значении дополнительного фактора производства. Кроме того, выполнение неравенств (1.37) и (1.38) указывает на то, что и для степенной производственной функции предельный продукт фактора меньше среднего продукта при фиксированных величинах затрат факторов.
Для степенных производственных функций эластичности выпуска продукции по факторам K и L являются соответственно постоянные параметры и . Это следует из соотношений (1.39) и (1.40).
Из соотношений (1.39) и (1.40) следует, что постоянные параметры
и степенной производственной функции совпадают с соответствующими коэф-
фициентами эластичности выпуска продукции по факторам K и L:
EK = ;
EL = .
Для степенной производственной функции (1.21) линии постоянного уровня выпуска Y=Y0 образуют семейство изоквант, уравнение которых можно получить из (1.21), принимая, например, K как функцию L:
|
|
Y0 |
1 / |
|
K( L ) |
|
. |
(1.43) |
|
|
A L |
|||
|
|
|
|
|
Из этого уравнения видно, |
что изокванты |
имеют асимптотами оси |
||
координат. Величина K(L), определяемая изоквантой (1.43), характеризует объём основного капитала, необходимый для получения заданного выпуска продукции
33
Y0 в зависимости от численности занятых в производстве. Функция K(L) является монотонно убывающей функцией. Необходимо отметить, что это свойство не определяется конкретным видом производственной функции (1.21), а присуще всем производственным функциям с двумя производственными факторами.
Согласно соотношению (1.41), предельные нормы замещения производственных факторов для степенной производственной функции являются линейными функциями отношения объёмов производственных факторов. При пропорциональном росте объёмов производственных факторов предельная норма замещения не изменяется. Из (1.41) получаем уравнения изоклиналей для степенной производственной функции
K = hLK |
|
L . |
(1.44) |
|
Следовательно, изоклинали степенной производственной функции представляют собой лучи, исходящие из начала координат.
Графики изоквант и изоклиналей степенной производственной функции в общем случае совпадают с видом изоквант и изоклиналей, представленных на
рисунках 1.1 – 1.3.
Величина эластичности замещения труда капиталом для степенной производственной функции, как следует из (1.42), всегда равна единице:
= 1.
Это означает, что в случае степенной производственной функции при увеличении капиталовооружённости труда на 1 %, предельная норма замещения труда капиталом также увеличится на 1 %.
Для степенной производственной функции эластичность замещения факторов имеет особенно простую геометрическую интерпретацию: поскольку изоклинали этой производственной функции – прямые линии, то отношение K/L характеризуется тангенсом угла 
наклона изоклинали (рисунок 1.3). Поэтому величина показывает, на сколько процентов необходимо повернуть изоклиналь (то есть
изменить tg ), чтобы tg |
изменился на 1 %. |
Подчеркнём ещё |
раз, что в определении эластичности замещения |
(K, L) производная берётся вдоль изокванты, проходящей через точку (K, L).
34
Постоянство эластичности замещения производственных факторов многих производственных функций позволяет охарактеризовать с её помощью возможность замещения факторов в целом (а не при каком-то конкретном соотношении факторов, как это удаётся на основе предельной нормы замещения h). Чем больше величина , тем в более широких пределах производственные ресурсы могут замещать друг друга.
Равенство единице эластичности замещения факторов в степенных производственных функциях вне зависимости от коэффициентов A, , 
является одним из важнейших свойств производственных функций этого вида. Оно показывает, что характеристика замещения одного фактора другим при выборе степенной производственной функции задана заранее вне зависимости от желания исследователя. Это является одним из недостатков степенной производственной функции.
Возможность замещения одного производственного фактора другим (равенство единице эластичности замещения производственных факторов и неограниченная компенсация недостатка одних факторов другими) часто вступает в противоречие со свойствами моделируемого объекта исследования. В связи с этим в моделировании используется обобщённая производственная функция с постоянной эластичностью замещения производственных факторов, которая получила название производственной функции с постоянной эластичностью замещения факторов (функция ПЭЗ), или производственная функция CES (от англ. Constant Elasticity of Substitution). Такая производственная функция характеризуется показателем эластичности замещения производственных факторов, не равным единице. Впервые производственная функция CES была введена К. Эрроу и Р. Соллоу в 1961 году1.
Производственная функция CES имеет следующий вид:
Y A 1 K |
( 1 1 ) L |
|
|
(1.45) |
|
. |
|||||
|
|||||
Вкратце отметим, что A есть параметр масштаба, обозначающий эффективность технологии; β1 – означает степень капиталоёмкости технологии и определяется в интервале 0< β1<1; > 0 – представляет степень однородности производственной функции или отдачу на масштаб производства; 
-1.
Производственная функция CES удовлетворяет всем четырём свойствам
(1.1) – (1.4).
1 Экономико-математическое моделирование : учебник для студентов вузов / под общ. ред. И. Н. Дрогобыцкого. М. : Экзамен, 2004. С. 618 – 667.
35
Рассмотрим вопрос о замещении факторов. Предельная норма замещения со-
гласно (1.17) имеет вид:
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
( 1 |
1 |
) K |
|
|
|
(1.46) |
|||
h1 |
|
1 |
|
|
L |
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, предельная норма замещения производственных факторов зави-
сит от отношения факторов, причём так же, как и в случае степенных производ-
ственных функций, изоклинали являются прямыми, а при пропорциональном увели-
чении количеств обоих факторов предельная норма замещения не изменяется.
Можно показать, что для производственной функции CES эластичность за-
мещения труда капиталом имеет вид:
LK = |
1 |
. |
(1.47) |
|
|
||||
1 |
||||
|
|
|
Таким образом, хотя производственная функция CES по-прежнему имеет по-
стоянную эластичность замещения производственных факторов, эта эластич-
ность замещения, в отличие от степенных производственных функций, не равна единице и меняется при изменении параметра от единицы (при = 0) до нуля
(при → +∞). Эластичность замещения труда капиталом LK – это мера «кри-
визны» изоквант (линий уровня) производственной функции. Точнее, «кривиз-
ну» измеряет величина 1 .
Обратим внимание на тот факт, что при → 0 все характеристики производ-
ственной функции CES (имеются в виду EK, EL, hLK, ) стремятся к соответству-
ющим характеристикам степенной производственной функции.
Производственная функция CES при = 1 и → -1 стремится к линейной производственной функции (1.20):
Y=A*+a·K+b·L.
36