5531

Министерство образования и науки Российской федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования «Хабаровская государственная академия экономики и права»

Кафедра математики и математических методов в экономике

Е. А. Мясников

М. Ф. Тиунчик

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Учебное пособие

Часть 1

Хабаровск 2013

1

УДК 519. 95

ББК В 1

М 99

Мясников Е. А. Численные методы. Часть 1 : учеб. пособие / Е. А. Мясников, М. Ф. Тиунчик. – Хабаровск : РИЦ ХГАЭП, 2013. − 80 с.

Учебное пособие предназначено для бакалаврантов и магистрантов экономических вузов всех направлений и профилей подготовки, изучающих отдельными дисциплинами линейную алгебру и математический анализ. В нём рассматриваются только численные методы решения математических и прикладных задач указанных дисциплин. Настоящая первая часть посвящена методам линейной алгебры. Кроме того, приведены основные требования к численным методам, их роли и назначению; кратко описаны действия с приближёнными величинами.

Рецензенты:

Р. В. Намм, доктор физ.-мат. наук, профессор, гл. научный сотрудник ВЦ ДВО РАН

С. В. Соловьёв, доктор физ.-мат. наук, профессор кафедры прикладной математики ТОГУ

Утверждено издательско-библиотечным советом академии в качестве учебного пособия

©Мясников Е. А., Тиунчик М. Ф., 2013

©Хабаровская государственная академия экономики и права, 2013

2

§ 1. Основные сведения о численных методах 1.1 . Приближённые методы и их назначение

Методы решения математических задач можно условно разделить на точные (аналитические) и приближенные (численные). При решении точными методами ответом обычно служит формула для вычисления неиз-

правая часть которой представляет собой элементарную функцию пара-

Решение называют точным (аналитическим), если формула, его выражающая, есть элементарная функция. Однако понятие точности здесь достаточно условно. Даже в теоретической задаче элементарные функции в произвольной точке, как правило, можно найти лишь приближённо. Так, 41, ln10 , arcsin0,8 − бесконечные непериодические дроби. Любая попытка записать их в виде чисел приводит к округлению и, следовательно, к потере точности.

Если же математическая задача служит моделью реального процесса, входные данные модели всегда измеряются неточно и подстановка их в точную формулу погрешность не исправит.

Кроме того, не каждую математическую задачу можно решить точно. Например, нет общей формулы для корней уравнения ln x kx b при b 0 , поскольку эти корни нельзя выразить через элементарные функции от параметров k и b. Корни можно найти графически или постепенным уточнением, причём параметры k, b должны быть заранее известны.

3

формуле Ньютона-Лейбница, так как первообразная для функции sin(x2 ) не выражается в виде элементарной функции. Эта задача также допускает лишь приближённое решение.

При численном (приближённом) решении выполняется конечная последовательность арифметических операций с числами, а непрерывные переменные заменяются дискретными, принимающими значения с некоторым шагом. Так, приближённое вычисление определённого интеграла сводится к выполнению операций над значениями функции в различных точках отрезка.

Ответом при численном решении служит или число, найденное путём приближений с необходимой точностью, или таблица чисел − значений искомой функции в разных точках, и лишь иногда – формула для вычисления функции. Причём в любом случае и значения, и формулы приближённые.

Широкое применение численных методов объясняется не только отсутствием или сложностью точных формул для решения некоторых математических задач, но еще и особенностями постановки и решения прикладных задач. Работу с любой задачей, имеющей отношение к действительности, можно разделить на несколько этапов.

1-й этап − построение предметной модели. Задача ставится в терминах проблемной области (экономики, космонавтики, управления и т.п.). Выясняются объекты исследования, связи между ними, факторы, влияющие на эти связи.

2-й этап − построение математической модели. Связи описываются математически − формулами, уравнениями, системами.

3-й этап − составление алгоритма решения. Математическая модель сводится к строгой последовательности задач, и решение каждой задачи служит входными данными для другой.

4

4-й этап − реализация алгоритма, обычно в виде компьютерной программы; тестирование и отладка.

5-й этап − решение задачи при помощи полученной программы и анализ результатов.

На каждом этапе возможен, а фактически всегда происходит, возврат к предыдущим шагам, необходимость которого очевидна из описания этапов.

Уже на 1-м этапе в решении задачи появляются погрешности, связанные с отбрасыванием многочисленных факторов. Не все факторы, влияющие на решение, могут быть известны, а учёт известных может весьма усложнить задачу. Иногда учёт фактора почти не отражается на результатах, иногда многое меняет, причём что именно произойдёт в конкретном случае, предсказать трудно.

Математическая модель (на 2-м этапе) ещё более отдаляет задачу от реальности, так как формулы упрощают зависимость.

Допускает ли задача математическое решение по точным формулам выясняется именно на 3-м этапе. Однако погрешности, возникшие на 1-м и 2-м этапах, делают бессмысленным такое решение, поскольку точность приближённого метода обычно намного выше, чем точность модели и точность входных данных. В прикладной задаче входные данные – это или результаты измерений, или ограниченная выборка сведений. Кроме того, точное решение часто не оправдывает себя как очень длинное и громоздкое (например, вычисление интегралов), а быстрота решения важна в режиме реального времени (управление полетом, обслуживание и т.д.).

На 4-м этапе возникают и накапливаются ошибки округления, связанные с конечностью разрядной сетки компьютера. Для многих практических задач эти ошибки несущественны, но там, где происходит до нескольких трлн операций (в метеорологии, астрономии, космонавтике и т.п.) и при этом нужна высокая точность, возможность работать с большим числом точных цифр очень важна.

Наконец, если результат решения задачи − значение, используемое в практических целях (например, объём средств, распределяемых между объектами), то на 5-м этапе также возникнут погрешности, поскольку большинство реальных величин, даже непрерывных теоретически, в жизни

5

меняется дискретно (зарплата начисляется с каким-то шагом, продукты пакуются в ящики и т.п.)

Таким образом, решение любой прикладной задачи связано с многочисленными упрощениями, округлениями, погрешностями, на фоне которых ошибки приближённого решения математической части не так существенны.

С точки зрения численных методов, при решении математической задачи погрешности бывают трёх типов:

1)неточности входных данных;

2)погрешности приближённого метода;

3)ошибки округления.

Уточнение входных данных − задача специалистов проблемной области, но теория ЧМ (численных методов) указывает, как ошибки в данных отражаются на результатах. Подробно изучены погрешности 2-го типа, известны формулы их оценки при решении математических задач. Правильное округление результатов − также важный практический вопрос, знание которого ускоряет решение.

1.2. Общие требования к численным методам решения задач

Основное требование, предъявляемое к вычислительному методу или алгоритму − требование точности, что никак не противоречит идее ЧМ. Требование означает, что метод должен давать решение задачи с любой заранее указанной точностью за конечное число действий. Так, для специалиста по ЧМ нет смысла в формуле

поскольку для её применения надо выполнить бесконечное число действий. Однако запись

вполне законна, поскольку указывает, что для достижения точности

Во избежание недоразумений заметим, что в ЧМ под возрастанием (повышением) точности понимают уменьшение погрешности вычислений,

6

а бесконечная точность равносильна нулевой погрешности (и то, и другое теоретически недостижимо). Повысить точность в 10 раз − значит в 10 раз уменьшить погрешность, то есть ещё одну цифру в записи ответа сделать заслуживающей внимания ("верной"). Подробнее этот момент изложен в § 2.

Понятие точности означает принципиальную возможность получить решение с любой точностью, но в силу ограниченных, хотя и постоянно растущих возможностей компьютера, завышенные требования могут привести к недопустимо большому времени счёта. Отсюда возникает требова-

ние реализуемости алгоритма.

Так, решение системы уравнений по формулам Крамера − хороший тренировочный пример при обучении программиста, но соответствующий алгоритм не подходит для реальной экономической задачи с пятизначным числом уравнений и тем более для задачи, решаемой в режиме реального времени.

С реализуемостью связано понятие экономичности, когда из нескольких алгоритмов предпочтительнее тот, что позволяет достичь необходимой точности за меньшее число действий. Так, метод Гаусса универсален и позволяет решить систему 1000-го порядка примерно за 8 млрд операций, но для распространённых в экономике систем с разреженными матрицами (когда большинство коэффициентов равны 0 или близки к 0) лучше подойдёт метод прогонки, решающий ту же систему с той же точностью примерно за 20 тыс операций.

Безаварийность алгоритма связано с конечностью чисел, обрабатываемых компьютером, и относится скорее к области программирования. При умножении больших чисел может произойти переполнение, и результат с точки зрения компьютера станет бесконечным. Наоборот, произведение слишком малых чисел часто обращается в 0 и происходит полная потеря результатов, заметить которую очень сложно.

Пусть, например, компьютер может работать с числами от 10 50 до 1050 , а надо перемножить 10 30 ,10 40 ,1035 и 1060 . Попытка умножения в указанном порядке приведёт к получению 0, поскольку 10 3010 40 10 70 . Умножение в обратном порядке ведёт к переполнению: 10351060 1095 . Допусти-

мый порядок: 10 30103510 401060 1025 или 10 30106010 401035 1025 .

7

Алгоритм устойчив, если погрешности округления не накапливаются в процессе вычислений, неустойчив при их неограниченном возрастании, и условно устойчив, если погрешность нарастает по степенному закону, т.е. получается устойчивость при некоторых ограничениях на объём вычислений. Например, вычисление последовательности yi 1 ayi устойчиво при a 1 и неустойчиво при a 1. Приведение определителей к треугольному виду условно устойчиво, и для повышения точности проводят вычисления с несколькими запасными цифрами. Условно устойчивы некоторые методы решения систем уравнений.

Требования предъявляются не только к методам решения, но и к самим задачам. Основное из них − требование корректности. Задача поставлена корректно, если:

1)она разрешима при любых допустимых входных данных;

2)решение единственно;

3)малое изменение входных данных ведёт к малому изменению ре-

шения.

Последнее условие означает непрерывность решения по входным данным, т.е. устойчивость задачи. Например, приближённое интегрирование корректно для любой ограниченной функции. Система уравнений некорректна, если её определитель близок к 0, что следует хотя бы из формул Крамера. Некорректно также численное дифференцирование, особенно при большой погрешности аргументов.

Почти все численные методы решения задач можно условно разде-

лить на сеточные и итерационные.

Первые методы или дают решение в виде таблично заданной функции, как, например, при численном решении задачи Коши на отрезке; или используют такую таблицу для получения результата, как при интегрировании по квадратурным формулам.

Вторая группа методов сводится к подбору некоторого начального решения с последующим уточнением. Так решают нелинейные уравнения или системы, находят корни из чисел.

Несколько в стороне стоят задачи приближения функции и родственные им, когда решением служат коэффициенты полинома, получае-

8

мые по точным формулам. Однако при поиске полиномов возникают вспомогательные задачи, решаемые указанными методами − системы уравнений, интегралы и т.д.

Отметим важнейшие типы задач, решаемых в курсе ЧМ:

1)нелинейные функциональные уравнения с одним неизвестным;

2)системы линейных алгебраических уравнений;

3)системы нелинейных уравнений (необязательно алгебраических);

4)приближение функций;

5)интегрирование и дифференцирование функций;

6)интегрирование дифференциальных уравнений и систем Повышение точности, уменьшение числа действий, сокращение за-

нимаемой памяти и связанная с этими противоречащими друг другу задачами оптимизация алгоритмов многие годы были важнейшими вопросами в ЧМ, особенно во время первых ЭВМ. Сейчас появилось множество пакетов прикладных программ (ППП), позволяющих быстро решать многие задачи, не думая о возникающих вычислительных сложностях и даже о самих алгоритмах (в приложении указаны некоторые возможности распространённого пакета EXCEL по решению типовых задач и вопросы, остающиеся открытыми).

Решение практических задач стало доступно не только профессиона- лу-математику, но и специалисту в проблемной области. Тем не менее, знание основных методов решения задач, представление о достигаемой при этом точности и способах её оценки позволяют создавать собственные программы с высокими возможностями и оценивать результаты их работы.

Утверждение же, что ЧМ наряду с методами оптимизации устарели, бессмысленно, поскольку именно на этих дисциплинах основаны все прикладные пакеты.

В пособии принята следующая схема изложения:

1) задача, её смысл и актуальность указаны с точки зрения математи-

ки;

2)приводится общая схема действий и формулы решения;

3)приведён пример с комментариями;

4)предложен удобный способ записи решения.

9

При изучении примеров следует помнить, что почти все результаты вычислений приближённые, поэтому равенства выполнены с точностью до приведённых десятичных знаков.

§ 2. Действия с приближёнными величинами 2.1. Погрешности приближений

Пусть х – точное значение некоторой величины, а а – её приближённое значение. Запись х ≈ а означает, что число х приближённо равно числу

а.

Если а < х, то а называют приближённым значением числа х с недостатком, если a > x, то a называют приближенным значением числа x с избытком.

Разность

а = х – а

между точным и приближённым значениями величины называют погрешностью приближения. Число а может быть как положительным, так и отрицательным. Модуль разности точного и приближённого значений ве-

личины называется абсолютной погрешностью приближения и обозна-

чается Δ, т.е.

х а .

Абсолютная погрешность и есть характеристика приближения к неизвестной величине х. Если точное значение величины неизвестно, то эта характеристика представляет лишь теоретический интерес. Поэтому целесообразно ввести оценку абсолютной погрешности.

Предельной абсолютной погрешностью приближения называется

Это значит, что а – а будет приближённым значением х с недостатком, а а + а – приближённым значением х с избытком. При этом применяют запись

х = а ± а

и говорят, что а есть приближённое значение х с точностью до а.

10