5531

Шаг 6. Находим

Это новая матрица U .

Приближение 3

Шаг 1. Максимальный по модулю элемент верхней части матрицы A – a12 0,3224.

Шаг 2. Прекращение действий позволит указать ответ с ошибкой, не превышающей примерно 0,32. Имеет смысл уменьшить ошибку. Действия продолжаются.

Шаг 5. Новая матрица A :

Приближение 4

Шаг 1. Максимальный по модулю элемент верхней части матрицы A – a13 0,1507.

61

Шаг 2. Ошибка уменьшилась примерно в два раза. Также замечаем, что два числа на главной диагонали матрицы A изменились на 0,05, 3-е число и соответствующий ему собственный вектор (3-й столбец U ) не изменились. Другие два столбца матрицы U еще меняются. Если нас не устраивает точность около 0,1, продолжим действия.

Шаг 3. Находим a11 6,0802, a33 0.7067 и угол

2 0,1507

0,5arctg 6,0802 0.7067 0,028

Шаг 4. Находим cos 0,028 1 и sin 0,028 0,023. Матрицы поворота

запятой. Изменения в матрице U не превышают 0,02. Дальнейшие действия не должны существенно изменить результат, и в силу их трудоемкости будем считать решение найденным.

62

§8. Решение некоторых задач алгебры в пакете EXCEL

Впакете EXCEL предусмотрена возможность решения систем линейных алгебраических уравнений – как точными, так и приближёнными методами. Из точных методов удобнее всего метод обратной матрицы, поскольку функции поиска обратной матрицы и умножения матриц встроены

вEXCEL.

8.1. Решение систем методом обратной матрицы

Пусть дана система AX F , надо найти столбец X. Для решения необходимо, чтобы матрица A была квадратной и её определитель не равнялся нулю.

1.Заносим коэффициенты матрицы A в том же порядке, в каком они расположены в системе. Если в каком-либо уравнении отсутствует одно или несколько неизвестных то, в соответствующих местах указываем число 0.

2.Заносим правый (свободный) столбец F – также в виде столбца.

3.Обводим свободное место той же размерности, что и матрица си-

стемы.

4.Набираем на этом месте формулу =МОБР(A), где вместо A указываем ссылку на матрицу (можно обвести матрицу мышью).

5.Нажимаем одновременно Ctrl – Shift – Enter. Появляется матрица, обратная к A, т.е. матрица A 1.

6.Обводим свободный столбец той же высоты, что и F.

7.Набираем формулу =МУМНОЖ( A 1;F), где вместо A 1 указываем ссылку на обратную матрицу (можно обвести её мышью), а вместо F – ссылку на F.

8.Нажав Ctrl – Shift – Enter, получаем решение системы – столбец X.

9.Чтобы проверить решение, можно обвести свободный столбец той же высоты, что и F, набрать формулу =МУМНОЖ(A; X) с соответствую-

63

щими ссылками, и нажать Ctrl – Shift – Enter. Появится столбец, совпадающий с F.

Если A 0 , на 5-м шаге появится указание на невозможность его выполнения (текст «ЗНАЧ!»). Такие системы решаются только методом Гаусса или Гаусса – Жордана и имеют множество решений (либо не имеют их вовсе).

Замечание. Enter нажимается, когда Ctrl и Shift уже нажаты. Если результат не получился (появилось только одно число), следует заново обвести место для произведения (не удаляя формулу), поместить курсор в строку формул и нажать кнопки снова.

Пример 1. Решим систему

Получаем обратную матрицу и решение системы:

64

Пусть теперь выяснилось, что 2-е уравнение на самом деле должно выглядеть как 2x 4 y 2. Достаточно исправить 2 ячейки: в B2 занести число 4, а в C2 – число 0. Обратная матрица и решение мгновенно поменяются:

Таким же образом можно вносить в систему любые изменения (разумеется, не меняя её порядок) и тут же получать решение.

Несмотря на возможность легко решить систему методом обратной матрицы, решение приближёнными методами в EXCEL также представляет интерес, позволяя без лишней траты сил посмотреть, как работают эти методы.

8.2. Решение систем целой размерности методом простых итераций

Пусть по-прежнему дана система AX F и надо найти столбец X. Для решения необходимо, чтобы A была квадратной матрицей с диагональным преобладанием (см. § 3).

1. Выразим по правилам арифметики из 1-го уравнения 1-е неизвестное, из 2-го 2-е, и т.д. Получим набор формул.

2.Занесём (для определённости – в виде строки) друг за другом произвольные числа – по числу неизвестных. Обычно заносят 0, 1 или свободные коэффициенты (правый столбец). Эти числа будут соответствовать 1-й, 2-й и следующим переменным (неизвестным).

3.Ниже под каждым числом занесём формулу для соответствующей переменной, полученную на 1-м шаге. При этом ссылка на каждую переменную – это ссылка на ячейку из предыдущей строки.

4.Появится 2-е приближение решения – новый набор значений.

5.Обведём 2-ю строку и скопируем («протянем») мышью на 10 – 12 строк вниз. Увидим, что значения практически перестают меняться.

6.Числа в последней строке – это и есть приближённое решение методом простых итераций.

Естественно, начальное приближение можно записать и в виде столбца, тогда формулы на 3-м шаге надо занести не в строку ниже, а в столбец правее.

65

Замечание. Распространённая ошибка – на 3-м шаге пропустить строку (или столбец). Тогда получаются две последовательности для разных начальных приближений – одна для выбранного нами, другая для нулевого.

Здесь А и В – обозначения столбцов, цифры слева – номера строк. В 8-й строке с точностью 0,001 получим решение системы – числа 2 и 1.

x 2 y 4z 9.

Решение. Замечаем, что диагональное преобладание не выполнено, но появится, если переставить 1-е и 2-е уравнения:

Дальнейшие действия показаны в таблице 2.

Таблица 2 – Решение примера 3

66

В 7-й строке с точностью 0,001 получим решение системы – числа 1, 0 и 2. Меняя числа в 1-й строке, можно убедиться, что начальное приближение

никак не влияет на результат и мало сказывается на скорости сходимости.

Более сложный способ, позволяющий достаточно компактно решать системы высокого порядка, основан на работе с матрицами и выходит за рамки пособия. Кроме того, можно занести коэффициенты системы и в формулах 2-й строки ссылаться на ячейки, а не записывать конкретные числа, однако для разового решения такой способ нерационален.

8.3. Решение систем малой размерности методом Зейделя

Дана система AX F с диагональным преобладанием (см. § 3).

1.Выразим по правилам арифметики из 1-го уравнения 1-е неизвестное, из 2-го 2-е, и т.д. Получим набор формул.

2.Занесём строку из произвольных чисел. Тем самым 1-й и 2-й шаги – те же, что при решении методом простых итераций.

3.Под каждым числом занесём формулу для соответствующей переменной, полученную на 1-м шаге. Отличие – в том, что переменная с меньшим номером берётся не из предыдущей, а из очередной строки.

4.Дальнейшие шаги – те же, что в методе простых итераций.

Решение. Сравните таблицу 1 и ниже приведённую таблицу 3.

Таблица 3 – Решение системы из примера 2 методом Зейделя

Как видно, в ячейке В2 вместо ссылки на А1 появилась ссылка на А2. В самом деле, очередное приближение переменной x только что найдено, и его можно использовать при вычислении переменной y.

Решение с точностью 0,001 получим уже не в 8-й строке, а в 5-й. Метод Зейделя ведёт к решению заметно быстрее.

Для сравнения приведём таблицу для решения примера 3 методом Зейде-

ля.

67

Таблица 4 – Решение примера 3 методом Зейделя

Решение с точностью 0,001 получим в 6-й строке. Скорость сходимости возросла незначительно из-за того, что диагональное преобладание выражено слабо.

8.4. Решение систем методом прогонки

Приведём пример, поскольку все формулы и алгоритм даны в §4. Пример 5. Решим систему 4-го порядка

10x 2 y 10,

3x 5 y z 1,

4 y 10z t 19,

5z 20t 30.

Решение. Диагональное преобладание имеет место, но необходимо разделить каждое уравнение на диагональный коэффициент. Это также сделаем средствами EXCEL.

1. Запишем матрицу системы и правый столбец:

Если же занести эти данные в ячейки, после решения сможем сделать проверку. 2. Занесём коэффициенты, несущие информацию о системе, таким обра-

зом:

Заголовки в строке 1 указывают, откуда взяты числа. Значение 0 в ячейках A2 и C5 нигде не используется и заносится, чтобы проще выполнить следующий шаг.

3. В таблице 5 делим элементы каждой строки на соответствующий элемент из столбца В. В столбцах A, C и D получим коэффициенты, к которым уже

68

можно применять метод прогонки. В столбце E указаны номера коэффициентов и параметров. Их названия даны в строке 7. Для удобства 6-я строка пропущена.

Формулы, набираемые в соответствующих ячейках, выглядят так:

Ф1: =–B9/(F9*A9+1);

Ф2: =(D9–A9*G9)/(F9*A9+1);

Ф3: =(D11–A11*G11)/(F11*A11+1);

Ф4: =F11*H11+G11 (знак «;» к формулам не относится).

Таблица 5 – Решение примера 5 методом прогонки

В столбце H получим решение системы – значения x, y, z, t (числа 1, 0, 2 и –1). Формула Ф3 всегда набирается в последней строке и ссылается на ячейки

в этой же строке. Формула Ф4 всегда набирается над ней и ссылается на ячейки из последней строки.

Умножив матрицу, упомянутую на 1-м шаге, на числа из столбца H, получим правый столбец исходной системы.

Для сравнения покажем, как решить методом прогонки систему 5-го по-

рядка.

Пример 6. Решим систему

Решение. 1. Запишем матрицу системы и правый столбец:

2. Занесём коэффициенты:

69

Значение 0 заносится с той же целью, что в примере 5.

3. Делим элементы каждой строки на соответствующий элемент из столбца В, протягивая формулу из ячейки А8 вправо и вниз до ячейки D12 включительно. Затем набираем формулы для вычисления α, β и x:

Формулы выглядят так:

Ф1: =–B9/(F9*A9+1);

Ф2: =(D9–A9*G9)/(F9*A9+1);

Ф3: =(D12–A12*G12)/(F12*A12+1); Ф4: =F12*H12+G12.

В столбце H получим значения x, y, z, t, s (числа 2, 0, 1, –1 и 0).

Замечание. Метод L-U разложения намного удобнее реализуется в структурных языках программирования, например, в Pascal. В пакете EXCEL придётся практически в каждой ячейке набирать новую формулу.

Если не остановиться перед данной трудностью, можно увидеть, как при изменении входных данных меняются все результаты – матрицы L и U, вспомогательный столбец Z и само решение X.

8.5. Поиск собственного вектора методом простых итераций

Дана матрица An n . Надо найти для неё любой собственный вектор.

1. Занесём элементы матрицы А.

70