5531

2.Составим из любых чисел (хотя бы одно из них должно отличаться от 0) столбец той же высоты, что и матрица А. Обозначим его буквой X.

3.Справа от столбца обведём свободное место той же высоты и наберём в нём формулу =МУМНОЖ(A; X), где вместо А и Х укажем ссылки на эти объекты, причём ссылку на А зафиксируем.

4.Нажмём Сtrl – Shift – Enter. Появится новое приближение для собственного вектора.

5.Обведём столбец, полученный на 4-м шаге, и протянем мышью вправо на 8–10 столбцов. Получим следующие приближения для собственного вектора.

6.Внизу под каждым приближением найдём вектор (столбец), полученный делением соответствующего вектора на его же 1-ю координату. Теперь все приближения нормированы – у них 1-я координата равна 1, и можно посмотреть, не перестали ли векторы меняться.

7.Если нормированные приближения стали совпадать, и точность совпадения нас устраивает, собственный вектор получен.

8.Собственное число равно отношению одинаковых (например, 1-х) координат последнего и предпоследнего ненормированного вектора.

Пример 7. Найдём собственные числа матрицы

2 1 0 А= 1 2 0 .

0 0 6

Решение: 1. Заполняем ячейки A1–C3 элементами матрицы А.

2.Заносим в ячейки E1–E3 1-е приближение – числа 1, 0 и 0.

3.Обводим ячейки F1–F3 и набираем формулу умножения А на Х:

4.Нажав Ctrl – Shift – Enter, получаем столбец из чисел 2, 1 и 0.

5.Обведём столбец F1–F3 и протянем мышью на 6 столбцов вправо. Получим следующие столбцы:

Это – новые приближения для собственных векторов.

71

6.В ячейке E5 (4-ю строку пропустили для удобства) набираем формулу

=E1/E$1. Нажимаем Enter, затем протягиваем до ячейки Е7: 1-й вектор нормирован по 1-й координате. Обводим ячейки Е5–Е7 и протягиваем до столбца L:

Это – нормированные приближения для собственных векторов.

7.Видно, что и 1-я, и 2-я координаты стремятся к числу 1, а в поведении 3-й нет никакой закономерности. Это означает, что собственный вектор имеет вид U 1;1; t , где t – любое число.

8.Собственное число можно найти как отношение =L1/K1 или как =L2/K2. Получится число 3. Отношение =L3/K3 в силу особенностей вектора U не имеет смысла.

Ответ: одно из собственных чисел равно 3, соответствующий собственный вектор имеет вид U 1;1; t , где t – любое действительное число.

Замечание. Если менять начальное приближение, иногда удаётся обнаружить и другие собственные числа и векторы.

Так, взяв приближение 1; 1;0 , сразу обнаружим, что собственный вектор U 1; 1; s– собственный для числа 1. Другой собственный вектор U 0; 0; zсоответствует числу 6, однако обнаружить его случайным образом невозможно.

8.6. Поиск собственного вектора методом вращений

Из-за того что местонахождение максимального по модулю элемента, используемого при вычислениях, заранее неизвестно, полностью автоматизировать метод Якоби в EXCEL достаточно трудно – для этого необходимо умение работать с адресами ячеек. Тем не менее на пользовательском уровне можно находить произведения матриц и необходимые вспомогательные величины, например, угол поворота и функции от него, а место максимального элемента в матрице определять визуально.

Следует помнить, что метод вращений сходится довольно медленно, а посколькукаждый шаг достаточно трудоёмок, это впечатление усиливается.

Схема реализации метода в EXCEL во многом повторяет схемуиз §7.

72

Пусть дана симметричная матрица A и необходимо найти собственные числа и векторы с точностью .

1.Заносим элементы матрицы A.

2.В начальном приближении собственные векторы – это столбцы единичной матрицы, поэтому заносим единичную матрицу того же порядка, что и A. Проще всего занести в какую-то ячейку 0, скопировать его мышью до образования матрицы, а затем вручную на главной диагонали проставить единицы. Далее эта матрица обозначена буквой U.

3.Находим aij – максимальный по модулю элемент в верхней части матрицы.

6.При помощи функции ТРАНСП находим матрицу H T .

7.При помощи функции МУМНОЖ находим матрицу H T A , а затем умножаем её на матрицу H. Получаем матрицу Anew .

8.При помощи функции МУМНОЖ находим произведение UH. Перехо-

дим к 3-му шагу, считая, что Anew – это новая матрица A.

9. На главной диагонали матрицы A стоят её собственные числа, а каждый столбец матрицы U – это собственный вектор исходной матрицы. Номер столбца соответствует номеру собственного значения.

73

Упражнения

1. Указать первые четыре приближения с недостатком и с избытком для

Сравнить абсолютные погрешности соответствующих приближений с недостатком и с избытком. Округлить данные числа со следующими точ-

ностями: 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001.

2. Для следующих чисел провести их округления с точностью 0,01:

74

5. Решить систему уравнений с точностью 0,001 методом простых итераций и методом Зейделя, взяв одно и то же начальное приближение. Сравнить скорость сходимости. Сделать проверку.

75

7. Решить систему методами верхней и нижней прогонки.

5x y 4, 3x y 7, 6x 3y 3,

8. Решить систему уравнений с точностью 0,001 методом простых итераций и методом Зейделя, выразив каждую переменную через остальные и взяв одно и то же начальное приближение. Сравнить скорость сходимости.

76

9. Найти с точностью 0,001 любой собственный вектор для указанной матрицы методом простых итераций. Указать какому собственному числу он соответствует.

10. Найти с точностью 0,01 собственные числа и собственные векторы симметричных матриц методом вращений. Проверить результат.

77

78

Содержание

§1. Основные сведения о численных методах……………………………….3

§2. Действия с приближёнными величинами………………………………10

§3. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений………………………………………………………………...18

§4. Метод прогонки…………………………………………………………..30

§5. Решение систем методом L- U разложения…………………….............33

§6. Метод простых итераций нахождения собственных векторов………..47

§7. Метод Якоби приближённого вычисления собственных чисел и собственных векто-

ров…………………………………………………............52

§8. Решение некоторых задач алгебры в пакете EXEL…………………….63

Упражнения……………………………………………………………….74

79

Учебное издание

Евгений Анатольевич Мясников Михаил Филиппович Тиунчик

Численные методы Учебное пособие

Часть 1

Редактор Г. С. Одинцова

______________________________________________________________________

Заказ №

___________________________________________________________________

680042, Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 134, ХГАЭП, РИЦ

80