5531

y1 0,3 0 1 1.

Продолжим подстановку, оставляя три знака после запятой.

x3 0,1 0,82 0,6 0,518;

б)

y3 0,3 0,5 1 0,85;

x4 0,1 0,85 0,6 0,515;

в)

y4 0,3 0,518 1 0,847;

21

Выражая x, y, z из соответствующих уравнений, получим равносильную систему

22

Заметим, что приближённое решение совпадает с точным, поэтому погрешность вообще равна 0. Но, поскольку точное решение нам неизвестно, точность определяется сравнением двух последних приближений, а не последнего приближения с точным решением.

3.3. Вариант метода простых итераций

Иногда в системах (3.2) с квадратной матрицей А на главной диагонали aii 1

правилам переноса.

Система приведена к виду X = CX + D. Выбираем начальное приближение и решаем систему методом простых итераций.

23

Пример. Решим с точностью 0,01 систему

Решение. Условие (3.3) сходимости выполнено: 0,8 0,3; 0,9 0,1 . Коэффициенты на главной диагонали можно представить как 0,8 = 1–0,2 и –0,4 = 0,6– 1, тогда

Второй способ записи удобнее при вычислениях вручную или на калькуляторе. Выбираем x0 0, y0 0 , тогда

Ответ. Решение системы с точностью 0,01 таково: x = 2,2 и y = 0,47.

З а м е ч а н и е. Продолжив действия с большим числом знаков, можно увидеть, что x = 2,2 и y = 0,4(6) – точное решение системы.

Указанный вариант метода предпочтительнее (быстрее приводит к решению) в системах с большим числом неизвестных, когда коэффициенты на главной диагонали близки к 1, но меньше 1. Если же коэффициенты немного превышают 1, оба варианта метода простой итерации приводят к цели примерно за одно и то же число шагов.

Как отмечалось выше, условие (3.3) диагонального преобладания достаточно для сходимости, но некоторые системы решаются методом простых ите-

24

раций и без его выполнения (подобное имело место для нелинейных уравнений с одной переменной). Однако если метод простых итераций привел к решению, то заведомо выполнялось необходимое условие, а именно справедлива следующая теорема.

Теорема. Последовательность X k 1 CX k D сходится тогда и только тогда, когда все собственные числа матрицы C (возможно, комплексные) по модулю меньше 1. При этом последовательность сходится к решению системы $

X CX D .

Напомним, что собственные числа матрицы C – это решения уравнения

относительно .

При условии (3.3) собственные числа всегда меньше единицы и метод сходится. Однако меньше единицы они могут быть и без диагонального преобладания.

К сожалению, поиск собственных чисел в матрице выше 2-го порядка сложен и сам по себе является задачей, обычно решаемой только приближенно.

Путём элементарных преобразований любую систему можно превратить в систему с диагональным преобладанием, но универсальным алгоритмом такого превращения служит только метод Гаусса. Но это неэкономично и фактически заставляет решать систему более громоздким способом, чем метод простых итераций. Любые другие способы превращения системы в систему с диагональным преобладанием зависят от конкретного примера.

3.4. Метод Зейделя

По-прежнему мы решаем систему уравнений

25

легко получить методом Крамера. Разумеется, системы 2-го порядка, в отличие от систем высокого порядка, быстрее и проще решать по точным формулам, чем итерационно. Здесь лишь демонстрируется идея решения.

Пример 2. Решим методом Зейделя с точностью 0,01 систему из пункта (3.3):

0,8x 0,3 y 1,9,

0,1x 0,9 y 0,2,

также заменив её на равносильную систему

27

y4 0,1 2,2 0,1 0,465 0,2 0,467.

На следующем шаге значения (с точностью 0,001) не изменятся:

x5 0,2 2,2 0,3 0,467 1,9 2,2

д)

y5 0,1 2,2 0,1 0,467 0,2 0,467.

Ответ. С точностью 0,001 решение системы – числа x = 2,2 и y = 0,467. Видно, что метод Зейделя сходится быстрее, чем метод простых итераций.

Это особенно заметно в системах с большим числом уравнений и неизвестных. Пример 3. Решим систему уравнений

с тремя неизвестными x,y,z.

Переставим уравнения, чтобы максимальные коэффициенты оказались на главной диагонали:

Теперь можно разделить уравнения на 15, 18 и 20 соответственно, чтобы затем выразить переменные x, y, z. Однако при вычислениях "вручную" 2-е уравнение лучше разделить на 20 и выразить y сам через себя.

записью индекса (номера) приближения внизу:

28

Тогда решение по методу Зейделя равносильно решению матричного уравнения

относительно столбца xk 1; yk 1; zk 1 T , поскольку столбец xk ; yk ; zk T на данном шаге уже известен. Однако по построению никакого уравнения здесь нет, и все элементы этого столбца находятся простым вычислением, подобно тому, как находятся переменные при обратном ходе в методе Гаусса.

§ 4. Метод прогонки

4.1.Описание метода

Вприложениях встречаются разрежённые системы уравнений, ко-

гда большинство элементов матрицы равны нулю. Так, при численном решении дифференциальных уравнений, описывающих рынок спроса и предложения или производство с нелинейными издержками, в системе остаются только диагональные коэффициенты и по два коэффициента слева и справа. Такие же ситуации часты для уравнений в естественнонаучных дисциплинах. В этом случае весьма экономичен метод прогонки. При его применении число действий пропорционально числу уравнений (а не кубу, как в методе Гаусса). Решение получается за один шаг, а не в результате итераций, и точность зависит только от точности входных данных

иот округлений.

Вуказанных случаях коэффициент на диагонали всегда отличен от

нуля, каждое уравнение можно разделить на aii 0 и получить на диаго-

нали единицы. Поэтому в дальнейшем считаем, что эта операция уже выполнена и все aii 1. Итак, пусть дана система уравнений AX = F (в мат-

ричном виде):

30