5404

Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего

профессионального образования

«ХАБАРОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ЭКОНОМИКИ И ПРАВА»

Бадюков В.Ф.

Серкин М. Ю.

Финансовая математика

для страховщиков, налоговиков, финансистов

Учебное пособие

Хабаровск 2009

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение……………………………………………………………………… 5

1. Простые проценты ……………………………………………………….. 6

1.1. Идея процента…………………………………………………………… 6

1.2. Определение простых процентов…………………………………… … 7

1.3. Текущая стоимость……………………………………………………… 9

2.2. Номинальные процентные ставки……………………………………. 17

2.3. Коэффициенты накопления…………………………………………… 19

3. Сила процента…………………………………………………………… 22

3.1. Определение силы процента………………………………………… 22

3.2.Связь между силой процента и коэффициентом накопления……… 23

3.3.Связь между номинальными процентными ставками и силой процента…………………………………………………………………… 26

3.4.Текущая стоимость…………………………………………………… 28

3.5.Формула Студли для силы процента………………………………… 30

4. Учёт инфляции и налогообложения…………………………………… 32

5. Потоки наличности……………………………………………………… 38

5.1. Понятие потоков наличности………………………………………… 38

5.2. Текущая стоимость потока наличности……………………………… 39

5.3. Оценка текущей стоимости потока наличности…………………….. 41

5.4. Процентный доход……………………………………………………. 43

6. Ренты…………………………………………………………………….. 46

6.1.Понятие ренты………………………………………………………… 46

6.2.Простая рента пренумерандо………………………………………… 47

6.3.Простая рента постнумерандо……………………………………….. 53

6.4.Общая рента…………………………………………………………… 57

3

7. Уравнение стоимости…………………………………………………… 59

4

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время при переходе к рыночной экономике всё возра-

стающую роль в экономической жизни государства играет страховое дело.

В странах с развитой экономикой западного типа страхование давно переросло рамки обычного дела, бизнеса и к настоящему времени представляет собой основу инфраструктуры, главный стабилизирующий фактор экономики. Действительно, страхование и перестрахование как отдельных граждан, так и всевозможных структурных единиц, банковского дела и бизнеса, приводит к абсолютному выравниванию риска между всеми членами общества и, следовательно, к исчезновению в конечном счёте риска как такого.

Существенную роль в страховом деле, финансах и бизнесе играют актуарии. Традиционно актуарии вовлекались главным образом в сферу страхования жизни и пенсий. В этих сферах присутствует долговременная перспектива, инвестиции играют главную роль, природа финансовых рисков такова, что математические модели могут дать о них ценные сведения. Благодаря глубокому пониманию финансовых механизмов страхования, актуарии играют доминирующую роль в управлении страховыми компаниями.

Актуарии также активно действуют в области финансов и инвестиций,

будь то управление инвестиционным портфелем, исследование и дублирование управления фондами и брокерами фондовой биржи, из-

мерение и мониторинг инвестиционного исполнения, управление вза-

имосвязью между доходами и расходами или анализ современных фи-

нансовых инструментов.

Актуарии применяются и в других областях, таких как персональное финансовое планирование, оценка персонального ущерба (включая потерю дохода или пенсионных прав) в случае судебных процессов, экспертиза планов размещения капитала, корпоративное планирование, оценка

5

промышленных рисков и управление.

Актуарная наука состоит из трёх основных разделов:

1.Финансовая математика или теория процентных ставок.

2.Демографическое прогнозирование.

3.Оценка рисков.

Финансовая математика является первоначальным звеном в изучении актуарного анализа. В настоящем пособии (темы 1 – 7) будут исследоваться методы исчисления процентов и расчёты, связанные с простыми, сложными и непрерывными процентными ставками. Будут рассматриваться задачи как для отдельных разовых платежей, так и их последовательностей (потоков наличности, финансовых рент).

В последнем разделе будут введены понятия уравнения стоимости и внутренней нормы прибыли, рассмотрены способы оценки существования внутренней нормы прибыли и её вычисления. Завершается пособие перечнем задач для самостоятельного решения, таблицами вычисления дисконтирующих множителей и коэффициентов приведения рент, а также библиографическим списком.

1.ПРОСТЫЕ ПРОЦЕНТЫ

1.1.Идея процента.

1.2.Определение простых процентов.

1.3.Текущая стоимость.

1.4.Простой дисконт.

1.1. Идея процента

Проценты можно рассматривать как вознаграждение, уплачиваемое одним лицом или организацией (заёмщиком) за использование некоторого имущества (капитала), принадлежащего другому лицу или организации

(кредитору).

6

При этом вид вознаграждения оговаривается в условиях сделки. Это может быть товар любой природы. Но, как правило, проценты исчисляются в денежных единицах. В настоящем пособии и капитал, и

проценты будут исчисляться в денежных единицах, причём в единицах одной и той же валюты у.д.е.

Величина процентов зависит, очевидно, от того, каким типом процентов пользуются в данной сделке. Но в любом случае величина процентов зависит от трёх основных факторов: (1) времени займа; (2) риска невозврата капитала; (3) изменения курса валюты, в которой заключается сделка.

Изучать операции с процентами удобнее всего на примере вкладов,

хранящихся на сберегательном счёте в банке или в другой аналогичной организации. Наиболее элементарным является понятие простых процентов.

1.2. Определение простых процентов

По определению, сумма простых процентов за использование капитала

Коэффициент i носит название простой процентной ставки. Из формулы

(1.1) следует, что сумма процентов не зависит от расположения интервала на временной оси, а зависит от длины этого интервала. Величина S

измеряется в денежных единицах, поэтому размерность i есть t –1 . Иногда i

задаётся в процентах. Например, если i = 7 %, то в формуле (1.1) вместо i

нужно подставить число 0,07. Этот факт мы договоримся отмечать следующим образом: i ~7% или i = 0,07.

Предположим, мы вложили на счёт в банк сумму Р в начальный момент времени t1 = 0 на время t2 = t. На момент времени t мы имеем сумму Р и сумму процентов

7

носит название накопленной стоимости начального капитала Р при про-

стых процентах. При использовании формулы простых процентов (1.3)

необходимо учитывать два следующих соображения.

Во-первых, в схеме простых процентов происходит непрерывное на-

копление капитала, то есть величина t в формуле (1.3) может принимать

любые положительные значения (не обязательно целые).

Во-вторых, величины i и t должны быть представлены в одних и тех же единицах: если процентная ставка измеряется в единицах 1 в год, то единица времени – год, если берётся квартальная процентная ставка, то

время измеряется в кварталах и т.д.

Пример 1.1. Найти сумму простых процентов по кредиту в 500 у.д.е. на

75 дней при i ~ 8,5% в год.

Решение. Так как дана годовая процентная ставка, то время необходимо измерить в годах, то есть t = 75/365 лет. Тогда по формуле (1.2) сумма

простых процентов равна

s = 500 0,085 75/365 = 8,73 у.д.е.

Иногда полезно переводить процентные ставки из одной единицы измерения в другую. Для этого достаточно сделать переход к другим единицам измерения времени. Так, например, если дана годовая

Если дана, например, квартальная ставка i(1/квартал), то годовая равна i1

= i(1:1/4года) = 4i (1/год).

8

Пример 1.2. В погашение кредита в 200 у. д. е. через месяц должно быть уплачено 210 у.д.е. Найти простую процентную ставку в год.

Решение.

Здесь А = 210 у. д. е.; Р = 200 у.д.е., t = 1месяц. Пользуясь формулой (1.4),

получим

i = 210 200 = 0,05.

1 200

Исходя из указанных единиц измерения i – это месячная процентная ставка, то есть i = 0,05 (1/месяц).

Тогда годовая процентная ставка

1.3.Текущая стоимость

Впредыдущем разделе мы искали накопленную стоимость начального капитала при простых процентах. Рассмотрим обратную задачу: найти начальную стоимость Р по известному накопленному капиталу А. Из формулы (1.3) находим

В формуле (1.5) начальный капитал Р носит название текущей стоимо-

сти капитала А. Нетрудно заметить, что текущая стоимость зависит от процентной ставки и от периода времени.

Пример 1.3. Найти текущую стоимость суммы 600 у.д.е., уплачиваемой через 4,5 года, при простой процентной ставке 1) 12 % в год, 2) 3 % в

полугодие.

9

Решение.

Пример 1.4. Требуются суммы 350 у.д.е. и 500 у.д.е. соответственно через 3 и 5 лет. Требуется найти сумму, которую следует инвестировать для получения этих сумм. Предполагается, что процентная ставка равна 7 % в год.

Решение. Обозначим через Р искомую сумму. Пусть А1 = 350 у.д.е., A2 =

=500 у.д.е., t1 = 3, t2 = 5, i = 0,07. Рассмотрим два варианта решения. 1. Через t1 лет инвестированная сумма даст накопленную стоимость

A = P(1+it1).

После выплаты А1 величина

А – А1 = Р(1 – it1) – А1

остатка даст за время t2 – t1 накопленную сумму А2, то есть получим уравнение

Решая уравнение (1.6), найдём

Подставляя в формулу (1.7) исходные данные, получим Р =

10

Два различных способа приводят к разным результатам. Какой из

способов ошибочен?

Ошибочность первого способа заключается в том, что мы вышли за рамки простых процентов. На втором этапе были взяты проценты от процентов, то есть были использованы сложные проценты. Для того чтобы оставаться в рамках простых процентов, уравнение (1.6) нужно изменить, а

именно:

Первый способ решения задачи, приводящий к уравнению (1.6), со-

ответствует реальной ситуации, когда через 3 года счёт закрывается и сразу же открывается новый.

1.4. Простой дисконт

Примep 1.5. Пусть за 3 года начальный капитал £1 000 вырос до £1 300.

Найдём простую годовую процентную ставку

Впроцентном исчислении простая годовая процентная ставка равна 10

%.Рассмотрим процентную ставку нового типа, когда прирост капитала учитывается как доля от накопленной суммы. В этом случае мы придём к так называемой простой дисконтной или учетной ставке (сокращённо – простой дисконт). Обозначим простой дисконт символом d, тогда, по определению,

11