5404

Полагая А(0) = 0, получим уравнение для нахождения величины R:

Выражение, стоящее в скобках в левой части равенства (6.12), есть величина än┐ и, согласно формуле (6.8), равно

Из последнего равенства находим, что R = 2 889,91 у.д.е. Сравнивая формулы (6.13) и (6.14), можно заметить, что величина арендного платежа

Этот парадокс объясняется тем, что по условию задачи стоимость земли при землепользовании не уменьшается.

Иногда в рассмотрение вводятся так называемые вечные ренты. Эти ренты характеризуются тем, что количество рентных платежей бес-

конечно. В этом случае современная стоимость ренты определяется равенством

Подставляя в формулу (6.16) выражение (6.8), получим

52

Таким образом, современная стоимость простой ренты пренумерандо имеет вид:

Пример 6.3. Клиент и банк заключили договор, согласно которому банк будет выплачивать ежегодно в начале каждого года сумму 100 у.д.е.

Определить цену этой ренты для клиента, если годовая банковская процентная ставка равна 7%, а права клиента по договору передаются по наследству.

Решение. Поток платежей представляет собой простую годовую вечную ренту. Поэтому, согласно принципу финансовой эквивалентности сторон,

цена ренты совпадает с ее современной стоимостью и определяется формулой (6.18), т.е.

Таким образом сумма 1 528,57 у.д.е. гарантирует ежегодные выплаты в сумме 100 у.д.е. бесконечное число лет. Попытаемся понять, почему конеч-

ная сумма 1 528,57 у.д.е. позволяет выплачивать сумму 100 у.д.е.

бесконечное число раз. В начальный момент времени банк фактически получает 1 428,57 у.д.е., так как из полученной суммы 1 528,57 у.д.е.

сразу же выплачивается первый рентный платёж 100 у.д.е. Процентные деньги от суммы 1 428,57 у.д.е. за год при процентной ставке i = 0,07

находятся по формуле

S = 1 428,57 × i = 100 у.д.е.

53

(с учётом округления цифр). Следовательно, в конце первого года банк имеет первоначальную сумму 1 428,57 у.д.е. и сумму процентов 100

у.д.е., которую выплачивает в форме второго рентного платежа. В

течение второго года процесс повторяется, то есть к концу второго года сумма 1 428,57 у.д.е. создаёт процентные деньги в сумме 100 у.д.е.,

которые выплачиваются в форме рентного платежа. Очевидно, этот процесс может продолжаться бесконечно долго, пока существует банк и задана процентная ставка i , так как процесс выплаты ренты, по существу,

представляет собой процесс ежегодных выплат процентных денег по вкладу.

Из представленных рассуждений можно сделать важный вывод, а

именно: в конце года договор может быть расторгнут после возврата банком суммы 1 528,57 у.д.е. или, что то же самое, суммы 1 428,57 у.д.е.

и рентного платежа 100 у.д.е. В этом случае интересы обеих сторон не пострадают.

6.3. Простая рента постнумерандо

Рассмотрим теперь ситуацию, когда выплаты производятся в конце каждого периода. В этом случае поток наличности представлен таблицей

6.3.

Таблица 6.3 – Поток наличности постнумерандо

Современная стоимость потока наличности определяется формулой

54

Для случая сложных процентов дисконтирующий множитель опреде-

ляется равенством (6.2), поэтому выражение (6.19) принимает вид:

На основании формулы (6.4) и суммы геометрической прогрессии ряд

(6.20) суммируется в форме:

Пример 6.4. Гражданин N заключил с банком договор, согласно которому банк выплачивает ежегодно в конце каждого года 150 у.д.е. Найти сумму,

которую N должен внести в банк при подписании договора, чтобы обеспечить будущие платежи в течение 5 лет при годовой процентной ставке 15%.

Решение. Данные платежи представляют собой простую годовую ренту постнумерандо. Необходимая сумма, которую должен внести N,

фактически является современной стоимостью данной ренты. Найдём вначале an :

55

Затем по формуле (6.23) находим А(0): А(0) = 150а5┐= 502,83 у.д.е.

Проверим, действительно ли суммы 502,83 у.д.е. хватит для выплаты ренты при 15% годовых. За первый год сумма 502,83 у.д.е. при 15%

годовых нарастится до величины

Ф(1) = 502,83(1+0,15) = 578,254 5 у.д.е.

После выплаты первого рентного платежа 150 у.д.е. на счету останется сумма 428,25 у.д.е. Оставшаяся сумма к концу второго года нарастится до величины 492,49 у.д.е. и после выплаты 150 у.д.е. сократится до

342,49 у.д.е. К концу третьего года остаток составит 243,87 у.д.е. и к концу четвёртого года – 130,45 у.д.е. За последний пятый год сумма

130,45 у.д.е. нарастится до суммы 150,01 у.д.е, то есть до суммы последнего рентного платежа (с учётом округления цифр).

Найдём накопленную стоимость А(п) простой в единицу времени ренты постнумерандо. На основании формулы (5.11) можно записать:

Величина sn есть накопленная стоимость простой в единицу времени

ренты постнумерандо с единичными платежами. Иногда величины sn и an , называют коэффициентами наращения и приведения простой ренты

постнумерандо. Аналогично величины sn и an носят название

коэффициентов наращения и приведения простой ренты пренумерандо.

Существуют обширные таблицы коэффициентов приведения и наращения рент ( приложение 2), используемые при различного рода

56

финансово-экономических расчётах. Обычно задаются таблицы коэффициентов приведения простой ренты постнумерандо для различных значений числа периодов n и процентных ставок i. Остальные ко-

эффициенты легко выразить через величины an ┐. Нетрудно заметить справедливость равенств:

Пример 6.5. По суду установлено, что гражданин N ежемесячно в течение трёх лет недоплачивал налогов в сумме 100 у.д.е. Суд постановил в течение месяца компенсировать недоимку единовременным платежом в предположении, что государство наращивает капитал с номинальной процентной ставкой 12% годовых, конвертируемой 12 раз в год. Найти единовременный платёж.

Решение. Задачу можно решить двумя способами. Поток платежей,

соответствующий недоплате налогов, представляет собой простую ме-

сячную ренту постнумерандо, так как платежи должны производиться в конце каждого месяца, месячная процентная ставка равна 1%, и проценты на проценты начисляются раз в месяц. Число платежей n = 36.

Поток наличности, описывающий финансовые отношения государства и

N, в соответствии с условиями задачи можно представить в виде таблицы (таблица 6.4)

Таблица 6.4 – Финансовый поток государства и гражданина

57

Здесь X – величина единовременного платежа, который выплачивается в

течение месяца после трёх лет недоплат, то есть, полагаем, при t = 37.

Согласно первому способу решения задачи можно найти современную стоимость потока наличности на момент времени t = 0, изображённого в таблице 6.4, и, ввиду принципа финансовой эквивалентности сторон,

приравнять найденную современную стоимость к нулю. Из полученного

уравнения можно найти величину X.

Второй способ состоит в том, чтобы найти наращение месячной ренты на момент t = 37 и приравнять к величине X, что соответствует идее

компенсации гражданином N упущенной выгоды государства.

Нетрудно заметить, что два способа решения задачи эквивалентны, то

есть приводят к одному и тому же результату.

Рассмотрим второй способ. Найдём накопленную стоимость А(36)

Пересчитаем накопленную стоимость месячной ренты на момент времени t = 37. Согласно формуле (5.11) А(37) = А(36) × (1 + i) = 4 307,69 · 1,01 =

4 350,77 у.д.е.

Таким образом, единовременный платёж X = 4 350,77 у.д.е.

6.4. Общая рента

Рассмотрим случай ренты, когда платежи производятся т раз в единицу времени, а проценты на проценты начисляются q раз в единицу времени, то есть задана номинальная процентная ставка i(q), кон-

вертируемая q-кратно в единицу времени.

Пусть R – разовый платёж ренты, п – число лет рентных платежей.

Тогда современная стоимость общей ренты постнумерандо находится по формуле

58

Аналогично для общей ренты пренумерандо современная стоимость определяется равенством

Пример 6.6. Магазин продаёт в рассрочку автомобиль стоимостью 3 000 у.д.е. на следующих условиях: срок платежей – 3 года, в год производится четыре платежа, при продаже покупателем уплачивается

25% стоимости. Найти размер разового платежа при годовой ставке

11%, конвертируемой три раза в год.

Решение. Поток наличности, описывающий отношения сторон с по-

зиции магазина, представлен в таблице 6.5.

Таблица 6.5 – Финансовый поток отношений магазина и покупателя

Согласно таблице 6.5, магазин отдаёт покупателю машины сумму

3000(1 – 0,25) = 2 250(у.д.е.) в кредит. Эта сумма является современной стоимостью ренты, описывающей погашение кредита. По условию за-

дачи данная рента является общей рентой постнумерандо с параме -

трами т = =4, q = 3, n = 3, i(q) = 0,11. Её современная стоимость,

согласно формуле (6.25), определяется соотношениями:

59

Таким образом, для нахождения величины R имеем уравнение 2 250 = 10,14R, решая которое получим, что R = 221,89. Следовательно,

разовый платёж равен 221,89 у.д.е.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1.Какие существуют классификации рент?

2.В чём суть принципа эквивалентности финансовых обязательств сторон?

3.На каком математическом аппарате базируется расчёт современных стоимостей рент?

7.УРАВНЕНИЕ СТОИМОСТИ

7.1.Постановка задачи.

7.2.Уравнение стоимости.

7.3.Условия существования корней уравнения стоимости.

7.1.Постановка задачи

Рассмотрим следующую простую задачу (А): пусть в некоторый мо-

мент времени 0 инвестор вкладывает сумму Р и затем получает доход в единицу времени 1, 2,..., п – 1 в объёме wP и в единицу времени n в

объёме wP плюс возврат суммы Р. Интуитивно ясно, что норма прибыли в единицу времени (в беспроцентном исчислении) равна w.

60

Поставим теперь задачу: как вычислить норму прибыли любой сделки и когда возможно такое вычисление, если условия сделки достаточно сложны.

Рассмотрим следующую сделку: в момент времени t1, t2,..., tn инвестор расходует суммы at1 at2 , …, atn и получает суммы bt1 bt2 , …, btn .

Это общий случай дискретного потока, так как в некоторые моменты tj либо at j либо bt j равны нулю. В данном случае {bt j } есть положительный поток наличности, {at j }– отрицательный поток.

Основная идея определения нормы прибыли состоит в нахождении текущих стоимостей отрицательного и положительного потока и при-

равнивании этих стоимостей.

7.2. Уравнение стоимости

Найдём текущую стоимость отрицательного потока наличности от-

носительно начального момента времени t = 0:

Здесь – постоянная сила процента. Приравнивая А(0) и B(0), по-

лучим равенство

Равенство (7.1) называется уравнением стоимости относительно не-

известной силы процента. Существенно важным здесь является то, что

61