3.В чём отличие простой процентной ставки от номинальной?

4.Как определяется принцип согласованности?

3.СИЛА ПРОЦЕНТА

3.1.Определение силы процента.

3.2.Связь между силой процента и коэффициентом накопления.

3.3.Связь между номинальными процентными ставками и силой процента.

3.4.Текущая стоимость.

3.5.Формула Студли для силы процента.

3.1.Определение силы процента

В предыдущих разделах было введено понятие номинальной процентной ставки ih(t). Особый интерес представляет предел этого выражения при h 0 Знак "плюс" здесь означает тот факт, что h стремится к нулю справа,

то есть является положительной величиной. Этот предел называется силой процента, которую будем обозначать символом (t ).Таким образом, по определению,

h0

Вфинансовом смысле силу процента можно рассматривать как номи-

нальную процентную ставку, конвертируемую мгновенно, однако на практике невозможно реализовать процентную ставку, конвертируемую сколько угодно часто в единицу времени. Поэтому хорошим приближением к силе процента, достаточным для целей практического финансового анализа, можно считать номинальную процентную ставку сроком на один день.

22

3.2 Связь между силой процента и коэффициентом накопления

Подставим в формулу (3.1) выражение для номинальной процентной ставки, при этом получим

Коэффициент А(t,t+h) представляет собой накопление единичного капитала к моменту t + h, инвестированного в момент времени t. Таким образом, сила процента есть скорость изменения единичного капитала в момент времени t.

Поставим обратную задачу: найти коэффициенты накопления с помощью силы процента. Если эта задача будет решена, то сила процента будет той универсальной величиной, с помощью которой можно будет решать любые финансово-экономические вопросы.

Теорема. Если (t) непрерывна, a A(t0 ,t) имеет производную при t > to, где to – начальный момент времени, то при условии выполнения принципа согласованности имеет место формула

и умножим числитель и знаменатель на величину A(to,t). Тогда на основании принципа согласованности получим

Так как величина A(to,t) не зависит от приращения h, то формула (3.1) в

силу (2.9) принимает вид

Функция A(t0,t) является функцией одной переменной, а предел, стоящий в правой части (3.5), есть, по определению, производная от A(to,t). Поэтому

23

равенство (3.5) можно записать в виде

Равенство (3.6) является дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции А. Решим (3.6):

Теорема доказана.

Замечание. Доказательство этой теоремы имеет важное методоло-

гическое значение, так как здесь явно прослеживается основная идея теории сложных процессов – идея непрерывного роста денег. Если в начальный момент времени t = 0 инвестируется сумма Р 0 , то накопленный капитал A(t) за время t находится по формуле

Из формулы (3.3) можно получить связь между силой процента и годовой процентной ставкой. Для этого достаточно в (3.3) положить t0 =

0, t = 1:

24

Пример 3.1. Найти накопленную стоимость 100 у.д.е. за год при силе процента 0,083 5 в год. Найти годовую фактическую процентную ставку,

соответствующую этой силе процента.

Решение. По формуле (3.8)

1

A 1 100exp 0,0835dt .

0

1

По формуле Ньютона-Лейбница 0,0835dt 0,835, поэтому А (1) = 100е0,0835

0

у.д.е.

На основании формулы (3.9) i = е0,0835 – 1= 0,0871.

Пример 3.2. Годовая фактическая процентная ставка равна 6 % Найти соответствующую ей постоянную силу процента.

Решение. По формуле (3.9)

Вычислим интегралы, стоящие в правых частях равенств (3.12), (3.13):

25

Рассмотрим практически важный случай, когда сила процента не зависит от времени, то есть (t)= . В этом случае формула (3.15)

Здесь i(р) – номинальная процентная ставка, конвертируемая р раз в единицу времени, в частности в год. Из (3.17) можно получить

Из формулы (3.19) следует, что номинальная процентная ставка i(р)

эквивалента фактической процентной ставке в единицу времени i в том смысле, что они приносят одинаковый доход за единицу времени.

Пример 3.4. Найти накопленную стоимость 100 у.д.е. за 20 лет при:

а) фактическая процентная ставка 5 % в год ;

б) номинальная процентная ставка 5 % в год, выплачиваемая ежеквартально;

27

в) фактическая ставка 5 % в год, выплачиваемая в течение 10 лет, и

номинальная процентная ставка, выплачиваемая ежеквартально в течение последующих 10 лет.

Решение. А. Пользуясь формулой (2.2), получим А = 100(1+0,05)20 =

=265,33 у.д.е.

Б. Так как 20 лет состоят из 80 кварталов, то А = 100(1 + 14 0,05)80 = 270,15

Пример 3.5. Пусть фактическая процентная ставка в год равна

10 %. Найти эквивалентную ей фактическую ставку в квартал.

Решение. Воспользуемся формулой (3.19): 14 i(4) (1 0,1)1/ 4 1 0,024.

Это фактическая квартальная ставка. Номинальная ставка: i(4) =

4 (1 0,1)1/ 4 1 0,096 .

Пример 3.6. При i = 0,07 найти: а) i(12), б) i(4), г) .

Решение. Воспользуемся формулой (3.19):

а) i (12) 12 (1 0,07)1/ 12 1 0,06785 ,

б) i (4)

в) i (2)

По формуле (3.10)

В этом примере выполняются неравенства: < i(12) < i(4) < i(2) < i.

Эти неравенства выполняются всегда, то есть для любых р1 < р2

< i ( p2 ) < i p1 ) < i.

28

3.4.Текущая стоимость

Впредыдущих разделах была выведена формула накопления капитала по известной силе процента:

A P exp (t)dt ,

0

где Р – начальный капитал; А – накопленная стоимость. Чтобы найти текущую стоимость, достаточно воспользоваться формулой (3.20)

и найти Р:

Пусть накопленная стоимость А = 1. В этом случае величину Р обозначим через V(t):

Таким образом, V(t) – это текущая стоимость суммы 1, накопленной

за время t.

Замечание. Формула (3.20) и, следовательно, формула (3.21) были

выведены в случае, когда (t) является непрерывной функцией. Мате-

матически точно можно показать, что формула (3.20) остаётся верной,

когда (t) кусочно-непрерывная, в частности, кусочно-постоянная.

Пример 3.7. Пусть сила процента равна 6 %. Найти текущую стои-

мость суммы 100 у.д.е., выплачиваемой через 20 лет.

Решение. По формуле (3.21)

20

P 100exp 0,06dt 100 e 20 0,06100 e1,2 36,79у.д.е.

0

Пример 3.8. А. Пусть сила процента в банке А является кусочно-

постоянной:

29

Какая сумма дает за 20 лет накопленную стоимость 250 у.д.е.?

Б. Банк Б выплачивает проценты по фактической ставке 6 % в год в течение 20 лет. В какой банк следует поместить деньги, чтобы за 20 лет получить максимальный доход?

Решение: А. Воспользуемся формулой (3.21) : P = 250 exp

Вывод: доход в банке А выше.

Рассмотрим практически важный частный случай, когда сила процента

для любых t > 0. На основании (3.10) формула (3.23) принимает вид

Все вышесказанное можно выразить в терминах учётной ставки, если вспомнить соотношение. Тогда V(t) = (1 – d)t.

30

3.5 Формула Студли для силы процента

Важным примером математической формулы для силы процента является формула Студли, которую можно записать в виде

где p,s,r – параметры, которые определяются по заданной статистике.

Сила процента, определяемая формулой (3.25), обладает важным свойством: текущая стоимость любой суммы равна средневзвешенной текущих стоимостей двух сумм при различных постоянных значениях силы процента. Действительно,

Итак, если сила процента (t) определяется формулой Студли (3.25), то

дисконтирующий множитель V(t) находится по формуле V(t) =

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1.Каково экономическое содержание понятия силы процента?

2.Каковы формулы накопления и дисконтирования в схеме непрерывных процентов?

31