характеристики описываются соответственно первой и второй

Принятые в (1) зависимости вполне реалистичны: поясним слагаемые с производными функции цены.

1.Спрос подогревается темпом изменения цены: если темп роста

растет (P> 0), рынок увеличивает интерес к товару, и наоборот. Быстрый рост цены отпугивает покупателя, поэтому слагаемое с первой производной функции цены входит со знаком минус .

2.Предложение в еще большей мере усиливается темпом изменения

цены, поэтому коэффициент при Рв функции S(t) больше, чем в D(t). Рост цены также увеличивает предложение, поэтому слагаемое, содержащее P , входит в выражение для S(t) со знаком “плюс”.

Требуется установить зависимость цены от времени. Поскольку равновесное состояние рынка характеризуется равенством D = S, приравняем правые части уравнений (1). После приведения

Соотношение (2) представляет линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка относительно функции P(t). Общее решение такого уравнения состоит из суммы какого-либо его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения

Характеристическое уравнение имеет вид

K2 + 2k + 5 = 0.

Его корни - комплексно сопряженные числа, и, следовательно, общее решение уравнения (3) дается формулой

где С1 и С2 - произвольные постоянные. В качестве частного решения неоднородного уравнения (2) возьмем решение P = Pst - постоянную величину как установившуюся цену. Подстановка в уравнение (2) дает значение Pst :

Pst = 3.

Таким образом, общее решение уравнения (2) имеет вид:

колеблются около нее. Это означает, что все цены стремятся к установлению с колебаниями около установившейся цены Pst, причем амплитуда этих колебаний затухает со временем.

З А Д А Ч И

1. Скорость обесценивания оборудования вследствие его износа

пропорциональна его фактической стоимости. Начальная стоимость А0. Какова будет стоимость оборудования по истечении t лет?

2. Производительность труда рабочего в течение смены является функцией времени t. Скорость изменения производительности труда

3. Пусть некоторое сообщение распространяется среди 200 студентов,

проживающих в общежитии. Предположим, что за 10 минут один студент сообщает информацию 5 студентам. Определить время, за которое а) половина студентов; б) все студенты будут проинформированы.

Определить саму функцию, если ее график проходит через точку (4;

3).

5.Численность населения города на 1 января 1998 г. составляла 600 тыс.

человек. Найти численность населения: 1) на 1 января 2000 года, считая, что коэффициент k = 0,002 и не имеет места эмиграция и иммиграция; 2) на 1 января 2000 г., если коэффициент k = -0,001 и в течение каждого года эмигрирует 2% населения.

6. Пусть первоначальная численность некоторой популяции N0. Предположим, что в популяции численности N в данный промежуток времени за малый промежуток времени dt происходит α·N·dt рождений и β· N·dt смертей, где α и β – постоянные коэффициенты, характеризующие рождаемость и смертность данной популяции. Составить дифференциальное уравнение процесса. Найдите форму популяционной кривой. Определите, когда популяция вымирает, когда она сохраняет постоянную численность и когда она возрастает.

VII. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Линейная алгебра – один из разделов математической науки – имеет очень важное значение для экономистов, так как значительная часть математических моделей экономических процессов записывается в матричной форме.

Используя матричную запись условия экономической задачи, можно найти ее решение с помощью правил всевозможных действий над матрицами (сложение, вычитание, умножение матрицы на число, обращение матрицы, умножение матриц и т.д.).

Приведем пример таких задач, предварительно ознакомившись с некоторыми теоретическими сведениями о матрицах.

7.1.Основные сведения о матрицах. Матрицей размера m n

называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Обозначаются матрицы буквами латинского алфавита :

A; B; C; K; E-

a11... a1k ... a1n a21... a2k ... a2n

Числа, составляющие матрицу, называют элементами матрицы и обозначаются строчными буквами с двумя индексами – аik, i-номер строки, к-номер столбца.

С помощью матриц удобно записывать некоторые экономические зависимости.

Пример 1. Имеется предприятие, выпускающее 4 вида изделий из 3- х видов сырья. Таблица расхода каждого вида сырья на выпуск 1 единицы продукции и их запас на предприятии

может быть записана в виде матрицы распределения ресурсов на выпуск 1ед. каждого вида продукции:

Размерность этой матрицы 3 4. В этой записи матричный элемент а23=7 показывает, сколько ресурса второго вида необходимо затратить для производства 1 ед третьего вида продукции.

Запас ресурсов можно записать в виде такой матрицы:

200

R 300

3 1

220

Матрица состоит из 3-х строк и одного столбца. Элемент r21-показывает запас ресурса второго вида.

7.2. Виды матриц.Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей строкой.

A = a11 a12 a1n

1 n

Матрица, состоящая из одного столбца, называется матрицей столбцом :

k11

k 21

K = k31 m 1

.....

k m1

Матрица называется квадратной m-го порядка, если число строк этой матрицы

равно числу ее столбцов и равно m. Например, матрица вида:

элементы

b11, b22, b33, - называются диагональными. Если все недиагональные элименты квадратной матрицы равны нулю, то матрица называется диагональной.

Если у диагональной матрицы m-го порядка все диагональные элементы

равны единице, то матрица называется единичной матрицей m-го порядка.

Обозначается единичная матрица буквой Е.

1 0 0 0

Матрица любого размера называется нулевой, если все ее элименты равны нулю.

Две матрицы К и В одного размера , называют равными, если равны их со-

ответствующие элементы, т.е. kij = bij, для любых i=1,2,..,m; j=1,2,..;n;

Матрица A, размерностью n m, получаемая из матрицы А, размерностью m n,переменой ролями строк и столбцов, называется транспонированной к матрице А.

Произведение матрицы А на число называется матрица С= А,

элементы которой cij= aik, для i=1,2,..,m, ; k=1,2,..,n.

Следствие: общий множитель всех элементов можно вывести за знак матриц. Произведение матрицы А на число 0- есть нулевая матрица, т.е.

0А=0 (нуль матрица)

2.Сложение матриц.

Суммой двух матриц К и В одинакового размера (m n),называется матрица С=К+В, элементы которой cij=кij+bij, где i=1, m ; j=1, n :

Пример 1. Данные о совокупных продажах (в тыс.руб.) некоторого торга в 1-ом и 2-м кварталах определенного года, записаны соответственно матрицами

Требуется записать в виде матрицы данные о совокупных продажах (в тыс.руб.) на 1-ое полугодие рассматриваемого года. Очевидно, искомая матрица Х является суммой двух данных матриц А и В, т.е.

3. Вычитание матриц.

Разность двух матриц одинакового размера определяется через операцию сложения матриц и умножения матрицы на число: К-В=К+(-1) В 4. Умножение матриц.

Матрицу К можно умножить на матрицу В только в том случае, когда число столбцов матрици К равно числу строк матрицы В.

каждый элемент которой cij, равен сумме произведений элементов i- ой строки матрицы К, на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В, т.е.

Пример 2. Магазином в течение дня в розницу продано 45, 30 и 50 единиц трёх видов товаров, соответственно по ценам 1;2; 0,5(ден.ед. в тыс.рублей).

Вычислить дневную выручку от розничной продажи всех видов това-ров.

Данные о ценах (в тыс.руб.) записаны матрицей-столбцом

первого, второго и третьего (костюма, пальто, платья) видов товаров.

Вычислить дневную выручку от продажи каждого вида товаров. Искомые дневные выручки U1, U2, U3 продажи каждого из

трех видов товара можно записать в виде матрицы-столбца U и определить эту матрицу как произведение матриц А и Р следующим образом:

Следовательно, дневные выручки от продажи первого, второго и третьего видов товара составляют соответственно:130, 108 и 60 (тыс.руб.).

Пример 4. Имеется 4 предприятия, выпускающие 3 вида изделий

и использущие при производстве 2 вида сырьевых материалов. Данные о дневной производительности предприятия по каждому изделию (число изделий в день) и о затратах сырья на 1ед изделия (кг/шт), а также число дней работы каждого предприятия и стоимость в руб кг сырья каждого вида, даны в таблице.

Требуется определить (записав с помощью операций над матрицами):

1)cуммарную производительность (за весь рабочий период) каждого предприятия по каждому из изделий.

2)количество каждого вида сырья, необходимого на каждом предприятии и для всех четырех предприятий.