Результаты вспомогательных вычислений для получения коэффициентов системы нормальных уравнений (4) располагаем в таблице:

Подcтавим результаты вычислений в систему (4). Учитывая, что n =

n

7, а xi = 0, первое уравнение этой системы примет вид 7 lg b =

i 1

29,9711, откуда lg b = 4,2816, а тогда b=19124.

Второе уравнение системы (4) принимает вид:

28 lg a = 1,479, откуда lg b 0,0528, а тогда а = 1,129.

Следовательно, искомая функциональная зависимость такова:

у = 19124 1,129 х .

Уравнение показывает, что численность рабочих и служащих в среднем росла ежегодно в 1,129 раза или на 12,9% ежегодно.

3. В случаях, когда между переменными х и у существует гиперболи-ческая зависимость

можно сказать, что между обратными значениями переменной х (т.е. 1x ) и значениями переменной у существует линейная зависимость.

Поэтому, если воспользоваться способом наименьших квадратов, то

параметры а и b функции (5) определяются из следующей системы нормальных уравнений:

Пример 3. В таблице приведены данные о стаже рабочего х (в

Предполагая, что между переменными х и у существует гиперболи-

зависимости, пользуясь способом наименьших квадратов. Решение. Результаты вспомогательных вычислений поместим в таблице:

Подставляя полученные значения в систему (6) при n = 6 (число пар соответствующих значений переменных х и у ), получим

Следовательно, искомая функциональная зависимость имеет вид:

4. Если между переменными велчинами х и у существует параболи-ческая зависимость

y=a0+a1x+a2x2,

(7)

то параметры а0, а1, а2 функции (7) определяется из следующей системы нормальных уравнений:

Установить вид функциональной зависимости в изменении выра-ботки мяса и найти параметры этой зависимости с помощью способа наименьших квадратов.

Решение. Данные таблицы показывают, что выработка мяса в начале года убывает, а затем возрастает. Это дает основание полагать, что искомой

функциональной зависимостью является параболическая (7).

Для упрощения вычислений за начало отсчета времени возьмем середину ряда, т.е. будем считать, что месяцам года соответствуют следую-

щие условные числа: -11, -9, -7, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7, 9 и 11. Результаты

предварительных вычислений для полученых коэффициентов системы нормальных уравнений помещены в таблице.

Подставляя найденные численные значения в систему (8), получим

Итак, выработка мяса происходила по параболе у = 20998 + 2951х + 354х2

Рекомендуем читателю построить в прямоугольной системе координат данные условия примеров 1 - 4 (точки, координаты которых - пары соответствующих значений переменных) и графики найденных функций (на одном чертеже для каждого примера) и убедиться в том, что соответствующие прямая и кривая (показательная кривая, гипербола, парабола) хорошо воспроизводят расположение точек, построенных на основании этих примеров.

З А Д А Ч И

9. Предложение Z (усл.ед.) масла есть функция цены х (ден.ед.): Z= ax , где a – постоянная. Определить эластичность предложения относительно цены.

которой спрос и предложение уравновешиваются, а также эластичность предложения для этой цены.

11.Функция полных издержек: К = х3 – 6х2 + 15х (ден.ед.). Определить, при каких значениях х (усл.ед.) эластичность полных затрат Ex(K) > 1.

12.Функция спроса от цены имеет вид: q = 100 – p (усл. ед.). Определить, для каких цен спрос эластичен.

функцию спроса от цены и те ее значения, при которых спрос относительно цены эластичен.

15. Производственная функция однопродуктовой фирмы, использующей 2 вида ресурсов – труд (L) и капитал (K) имеет вид: Q = 10 L0,5 K0,5. Найти частные эластичности функции при L = 20 усл. ед.; К = 40 усл. ед.

16. Себестоимость продукции С(тыс.руб) описывается функцией.

С(х)=0,00025х3+0,0025х2+0,58х+19 15 x 50 ;

где х-объем выпускаемой продукции в месяц. (тыс.ед). Определить, при каком количестве продукции в месяц прибыль будет максимальной, если продукция реализуется по цене 2,1 руб. за 1 тыс. ед.

Вычислить величину прибыли.

17. Общая сумма расходов на перевозку и хранение деталей на складе определяется формулой С(х)= S q(x) bx / 2 , где х-размер партии деталей, S-

затраты на перевозку одной партии, bx/2 – затраты на хранение половины партии (условно средний запас). Определить оптимальный размер

партии, при котором расходы будут минимальными. Вычислить это значение при q=50, S=0,2 руб. b=0,1 руб.

18. База берет на себя обязательство хранения некоторого товара и его выдачи потребителю в объеме r=2,5 т. ежедневно. Стоимость хранения h товара на базе равна 0,8 руб за 1т. в сутки. Получить товар база может в любом заранее оговоренном количестве и в любое указанное время, но только равными партиями объема g и через равные промежутки времени Т. Стоимость хранения запаса g в

течение Т суток равна ln gT2 .

Загрузка базы товаром и подготовка к его приему обходятся базе независимо от количества привозимого товара в р=100 руб. Определить

объем товара , который должна заказывать база, и интервалы его поставки, чтобы суточные затраты были минимальны.Очередной заказ поступает в момент израсходования предыдущего.

При составлении функции суточных затрат учесть, что Т=g/r.

19. Зависимость расхода автомобилем горючего от скорости движения

задается функцией у=20-0,4х+0,005х2, где у – расход горючего (л) на 100 км пути, х – скорость автомобиля (км/ч). Как изменяется расход

горючего в зависимости от скорости движения автомобиля.

20.Трудоемкость проектирования микросхем у(х) характеризуется зави -

симостью у=0,04х2-1,84х+25,1 ; x –число элементов в микросхеме, 10х 40. Определить число элиментов в микросхеме, при котором трудоемкость ее проектирования будет минимальной, и величину соответствующей трудоемкости.

21.Определить оптимальный размер партии и длительность производно-

го цикла, минимизирующего суммарные затраты из следующих условий:

а) необходимо обеспечить суммарную годовую потребность в 1000 изделий.

б) удельные затраты на хранение единицы изделия в течение месяца равны 0,5 руб.

в) производственные затраты на изготовление одной партии равны

10 руб.,

22.Функция объема выпуска продукции для некоторой фирмы имеет вид:

y = -1,75 + 0,42 lg x1 + 0,034 lg x2 + 0,8 lg x3 ,

где х1 – численность работающего персонала; х2 - стоимость основных производственных фондов; х3 - стоимость оборотных средств.

Определить частные эластичности объема выпуска продукции y при х1 = 100 чел; х2 = 100 000 руб; х3 = 10 000 руб.

23.Функция полных издержек двухпродуктовой фирмы задана уравнением C = x2 + 4 y2 + 100, где x и y - объемы выпуска товаров вида А и В соответственно. Цены этих товаров на рынке

равны p1 = 40, p2 = 64. Определить, при каких издержках достигается максимум прибыли.

24.Фирма производит товар в количествах x и y. Функции полных издержек фирмы и спроса на каждый из этих товаров заданы в виде:

С = 2x + 4y + 1, p1 = 20, p2 = 30. p1 и p2 - соответствующие цены. Определить, при каких объемах выпуска продукции достигается максимум прибыли.

25. Зависимость урожайности кукурузы z(ц/га) от затрат х (руб/га)

на удобрения и затрат у(руб) на семена имеет вид у=15,63х0,372 у0,158

Найти: а) частные коэффициенты эластичности урожайности относительно затрат на удобрение и затрат на семена.

б) значения затрат на удобрения и затрат на семена на га , при которых прибыль от реализации продукции, выражаемая функцией p=M у-x-y-k (где М- постоянная величина – выручка от реализации 1ц кукурузы, к-постоянные затраты, не зависящие от затрат х и у), была бы макси-мальной .

26. Предполагая, что между переменными х и у существует линейная

функциональная зависимость у = ах +b, найти, пользуясь способом наименьших квадратов, эту функцию по следующим опытным данным о соответствующих значениях переменных х и у:

а)

27. Предполагая, что между переменными х и у существует параболическая зависимость между у = а0 + а1х +а2х2 найти, пользуясь способом наименьших квадратов, эту функцию по следующим опытным данным о соответствующих значениях переменных х и у:

а)

28. Данные о среднесуточной переработке свеклы у ( тыс.ц) в зависимости от основных производственных фондов х ( тыс.руб.) приведены в следующей таблице (данные условные):

Предполагая, что между этими переменными существует линейная зависимость у=ах+b, найти эту функцию, пользуясь способом наименьших квадратов. Вычислить для х = 225 отклонение табличного значения у от соответствующего значения функции.

29. Рост продукции (млн руб.) некоторого завода по годам его работы характеризуется следующими данными:

Считая, что рост продукции происходит по параболе у=а0+а1х+а2х2, найти зту функцию, пользуясь способом наименьших квадратов. 30. Данные о среднем колчестве деталей, изготовленных рабочим за смену за последние пять лет, представлены в следующей таблице:

5.1. Экономический смысл определенного интеграла.

Пусть функция z = f(t) описывает изменение производительности некоторого производства с течением времени. Найдем объем продукции U, произведенной за промежуток времени [0; Т]. Если производительность не изменяется с течением времени ( f(t) – постоянная функция), то объем продукции U, произведенной за некоторый промежуток времени [t, t+ t], задается формулой U = f(t) t. В общем случае справедливо

выпускаемой продукции за промежуток [0, T].

Величина и объем продукции, произведенной за промежуток [0, T], численно равны площади под графиком функции Z = f(t), описывающей изменение производительности труда с течением времени, на промежутке [0, T].

Пример 1. Известно, что численность населения определяется формулой y y0ekt , где y0 - число жителей в начальный момент

времени. Известно также, что потребление населением в единицу времени некоторого продукта пропорционально числу жителей. Пусть коэффициент пропорциональности равен q, тогда функция потребления Р(t) будет иметь вид: Р=q y=q y0ekt .Найти объем

Пример 3. Найти объем продукции, произведенной за 4 года, если функция Кобба-Дугласа имеет вид: q(t) = 10 (1+t) e3t.

Решение. Применяя формулу интегрирования по частям, получим:

Q=

Пусть известна функция t = t(x), описывающая изменение затрат времени t на изготовление изделия в зависимости от степени освоения производства, где х - порядковый номер изделия в партии. Тогда среднее время tср, затраченное на изготовление одного изделия в период освоения от х1 до х2 изделий, вычисляется по теореме о среднем:

(2)

Функция изменения затрат времени на изготовление изделий t = t(x) обычно имеет вид t = ax -b, где a – затраты времени на первое изделие, b – показатель производственного процесса.

Пример 4. Найти среднее время, затраченное на освоение одного изделия в период освоения от х1 = 100 до х2 = 121 изделий, полагая

а = 600 (мин), b = 0,5.

5.3. Определенный интеграл в финансовом анализе. Определение начальной суммы по ее конечной величине, полученной через время t (лет) при годовом проценте (процентной ставке) р, называется дисконтированием. Задачи такого рода встречаются при определении экономической эффективности капитальных вложений.

Пусть Kt – конечная сумма, полученная за t лет, и К – дисконтируемая (начальная) сумма, которую в финансовом анализе

называют также современной суммой. Разность между конечной суммой Kt и дисконтируемой суммой К называется дисконтом: D = Kt – K.

Пусть поступающий ежегодно доход изменяется во времени и описывается функцией f(t) при удельной норме процента, равной i, процент начисляется непрерывно. Можно показать, что в этом случае дисконтированный доход К за время Т вычисляется по формуле

Пример 4. Определить дисконтированный доход за три года при процентной ставке 8%, если первоначальные капиталовложения составили 10 млрд руб. и намечается ежегодно увеличивать

Интегрируя (аналогично примеру 2), получим К = 30,5 млрд руб. Это означает, что для получения одинаковой наращенной суммы через три года ежегодные капиталовложения от 10 до 13 млрд руб. равносильны одновременным первоначальным вложениям 30,5 млрд.руб. при той же, начисляемой непрерывно, процентной ставке.

Рассмотрим задачу нахождения капитала (основных фондов) по известным чистым инвестициям.Чистые инвестиции (капиталовложения) – это общие инвестиции, производимые в экономике в течение определенного промежутка времени (чаще всего – года), за вычетом инвестиций на возмещение выходящих из строя основных фондов (капитала). Таким образом, за единицу времени капитал увеличивается на величину чистых инвестиций.

Если капитал обозначить как функцию времени K(t), а чистые

Часто требуется найти приращение капитала за период с момента времени t1 до t2 , т.е. величину K = K(t2) – K(t1). Замечая, что K(t) является первообразной для функции I(t) можно сразу написать:

описывает

производительность труда рабочего в любой момент времени t, отсчитываемый от начала рабочего дня в часах. Функция f(t) измеряется количеством продукции за час работы. Определить выработку рабочего за третий час работы.

2.Пусть f(t) – нагрузка в киловаттах на трансформаторную

подстанцию в

любой момент времени t, отсчитываемый в часах от начала суток. Найти расход электроэнергии потребителями за промежуток времени от 0 до 24 часов, если f(t) является непрерывной на этом промежутке.

3. Численность населения в любой момент времени t задается функцией y = f(t). Потребление некоторого продукта пропорционально численности населения с коэффициентом

рассматриваемого продукта за первое полугодие второго года с момента начала отсчета.

производительности труда; х – отрезок времени, отсчитываемый от начала рабочего дня (0 х 8). Определить объем продукции, производимой во второй час рабочего дня.

магазина, х – время, отсчитываемое от начала суток (0 х 24). Подсчитать, какое количество товара поступает на склад с 12 до 15 часов.

6. Определить объем продукции, произведенной рабочим за пятый час рабочего дня, если производительность труда характеризуется функцией

3

f (t) 5. 3t 2

7. Определить объем выпуска продукции при производительности f(t) = 11,3t e-0,417t за первые пять часов работы.

8.При непрерывном производстве химического волокна производительность аппарата y(t) (т/ч) растет с момента запуска в течение 10 часов, а затем остается постоянной. Сколько волокна

t

дает аппарат в первые сутки после запуска? Дано: y(t) e5 1.

9.Подсчитать выпуск продукции за 5 лет , если функция Кобба-

Дугласа имеет вид: q(t) = e t (t+1) (100-3t).

10.Пусть f(x) = 2x + 7 – количество стиральных машин, поступающих с завода в магазин за время х, отсчитываемое от начала поступления стиральных машин в магазин. Подсчитать среднее количество машин, поступивших в магазин за 4 часа.

11.Найти среднее значение издержек К(х) = 3х2 + 4х + 2, выраженных в денежных единицах, если объем продукции х меняется от 0 до 3 единиц. Указать объем продукции, при котором издержки принимают среднее значение.

12.Среднее время освоения данного производства задается

производства изделий, если затраты времени на освоение первого изделия этой серии а = 2 нормо-часа; b = 0,2 и номера изделий осваиваемой партии изменяются от х1 = 5 до х2 = 10.

13. В 1992 году в некотором городе проживало 380 000 жителей, а в 1997 году – 402 000. Найти среднюю численность населения в этом

населения к началу периода, ST – численность населения к концу периода.

14.Вычислить дисконтированный доход за 5 лет при условии, что годовой доход – f(t) = 4 000 руб, а удельный процент i = 0,04.

15.Найти дисконтированный доход за бесконечный промежуток

времени при условии, что f(t) = a, i = .

16.Решить задачу 15 при условии, что f(t) = 4 000, i = 0,04.

17.Вычислить начальный вклад К, если выплаты должны составлять

100в течение 4 лет, а процентная ставка равна 7.

18.По заданным чистым инвестициях I(t)=7000 t . Определить приращение капитала за три года.

19.Через сколько лет приращение капитала составит 50 000, если чистые инвестиции равны I(t) = 7 000 t .

20.Зависимость нагрузки на трансформаторную подстанцию (в киловаттах) от времени суток t (в часах от начала суток) выражается

t

формулой y a b cos 12 2 3 . Определить суммарный расход

электроэнергии потребителями за время от 0 до 24 часов. Провести расчет при следующих числовых данных: а = 25 тыс.квт, b = 15 тыс. квт.

21. Определить объем финансирования на данный момент времени t работ по бурению нефтескважины, если затраты y на бурение

время в днях. Рассчитать необходимые средства финансирования в период с t1 до t2, время, необходимое для проходки скважины глубиной в 1 000 метров, и необходимый для этого объем финансирования работ при y0=1 000, =5, =10 и =0,02.

22. При строительстве дома затраты труда на возведение каждого следующего метра по сравнению с предыдущим возрастают на 2%. Определить суммарные затраты труда на возведение дома высотой в 60 м, если затраты на возведение первого метра дома составляют 1 000 ед. труда. Найти, за какой период может быть закончено строительство, если в течение дня может быть использовано 1 000 ед. труда.

вкладов которых заключена между х и х+1. Определить общую сумму вкладов в сберкассе и среднюю величину вклада, если а=100 и общее число вкладчиков составляет N0 =1 000 человек.

24. Распределение данного числа N0 человек по величине месячного

где N0=1 000 и а=100 руб. Определить среднюю величину месячного дохода.

VI. Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения не имеют широкого применения в экономике, т.к. основная сложность состоит в составлении уравнений. Исчерпывающих правил для составления дифференциальных уравнений нет. Рассмотрим некоторые рекомендации.

Составление дифференциального уравнения по условию конкретной задачи включает обычно следующие основные этапы:

а) рассматриваем изучаемый процесс на достаточно малом промежутке его изменения (отрезок времени ∆t, приращение ∆х фактора, определяющего течение процесса) и предполагаем, что на этом промежутке течение процесса подчиняется достаточно простым закономерностям (линейной зависимости, пропорциональности, постоянстве некоторых факторов);

б) на выбранном промежутке составляем математическое описание процесса, связывая приращение искомой функции, характеризующей процесс, с другими переменными и постоянными в соответствии с условиями задачи;

в) переходим к пределу, заменяя приращения дифференциалами соответствующих переменных. В результате

получаем описание процесса в форме дифференциального уравнения.

Пример 1. Рассмотрим задачу из области социологических исследований. Пусть некоторое сообщение распространяется среди множества N человек. Предполагая, что число встреч для передачи информации за время ∆t пропорционально количеству людей, уже владеющих этой информацией, количеству людей, не владеющих информацией, и промежутку времени ∆t, определить закон распространения сообщения во времени.

Решение. Обозначим число людей, владеющих информацией через ∆у. Тогда, согласно условию задачи, число всреч для передачи информации (число людей получающие информацию y за время

График этой кривой экономисты называют логистической. Коэффициент k характеризует скорость передачи информации.

Пример 2. Из статистических материалов известно, что число новорожденных за год пропорционально численности населения с коэффициентом пропорциональности k1, а число умерших за год также пропорционально численности населения с коэффициентом пропорциональности k2. Найти формулу, определяющую численность населения в любой момент времени t, если известна численность населения у0 в момент t=0. Предполагается, что не имеет места эмиграция и иммиграция.

Решение. Обозначим численность населения в момент времени t через у, тогда по условию задачи число родившихся за

единицу времени равно k1у, а число умерших – k2у. Прирост населения за единицу времени выражается разностью k1y – k2y = (k1 – k2) ydt, а за малый промежуток времени dt: dy = (k1 – k2) ydt.

Число k1 – k2 = k называют коэффициентом естественного прироста. Проинтегрировав уравнение, получим:

получаем рост численности населения, при k< 0 – убывание, при k = 0 численность населения сохраняется стабильной во времени.

В ряде задач две переменные величины х и время t, участвующие в них, обладают тем общим свойством, что скорость изменения одной из них (х) по отношению к другой (t) пропорциональна наличному количеству величины х в рассматриваемый момент времени t.

Учитывая, что скорость изменения величины х есть производная dxdt , обозначив коэффициент пропорциональности через k, получим дифференциальное уравнение, описывающее этот

Решением является показательная функция. Условие задачи должно содержать данные:

1)для определения произвольной постоянной, т.е. значение х0 величины х в момент времени t = t0 : x (t0) = x0;

2)для определения коэффициента пропорциональности k.

Уравнение описывает процесс непрерывного роста (при k

>0) или

непрерывного убывания (при k <0).

Рассмотрим конкретный экономический пример.

Пример 3. Будем полагать, что некоторая продукция продается по фиксированной цене Р. Обозначим через Q (t) количество продукции, реализованной на момент времени t; тогда на этот момент времени получен доход, равный PQ(t). Пусть часть указанного дохода расходуется на инвестиции в производство реализуемой продукции, т.е.

где m – норма инвестиции, постоянное число, причем 0< m < 1. Если исходить из предположения о ненасыщаемости рынка (или

о полной реализации производимой продукции), то в результате расширения производства будет получен прирост дохода, часть которого опять будет использована для расширения выпуска продукции. Это приведет к росту скорости выпуска (акселерации), причем скорость выпуска пропрорциональна увеличению инвестиций, т.е.

где 1/ – норма акселерации. Подставив в (2) формулу (1), получим

Дифференциальное уравнение (3) представляет собой уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Общее решение

этого уравнения имеет вид

Q = C ekt,

где С – произвольная простоянная. Пусть в начальный момент времени

t = t0 зафиксирован (задан) объем выпуска продукции Q0 :

Q0 = C e kt0 .

Тогда из этого условия можно выразить постоянную С:

C = Q0 e kt0 .

Отсюда получаем частное решение уравнения (3) – решение задачи Коши для этого уравнения:

Данную модель называют моделью естественного роста выпуска.

Мы уже встречались с подобной моделью в примере 2. Следует отметить, что математические модели обладают свойством общности.

Усложним условия примера 3 и рассмотрим рост выпуска в условиях конкуренции.

Пример 4. Будем полагать, что рынок не насыщается. Пусть P = P

(Q) - убывающая функция, т.е. с увеличением объема продукции на рынке цена на нее падает: dP/dQ < 0. Теперь из формул (1) – (3) мы получаем нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно Q с разделяющимися переменными:

где = m.

Поскольку все сомножители в правой части этого уравнения положительны, то Q> 0 , т.е. функция Q (t) возрастающая.

Характер возрастания функции определяется ее второй производной.

Из уравнения (5) получаем

Из уравнения (6) следует, что при эластичном спросе, т.е., когда Е> 1, Q> 0 и график функции Q(t) имеет направление выпуклости вниз, что означает прогрессирующий рост; при неэластичном

Из соотношений (8) и (9) получаем: Q= 0 при Q = 0 и при Q = a/b,

Q> 0 при Q < a/(2b) и Q< 0 при Q > a/(2b);

Q = a/(2b) – точка перегиба графика функции Q = Q (t).

Q a

b

E 1

a

2b

E 1

Рис.1 Приведенный на рисунке (1) график этой функции (одной из

интегральных кривых дифференциального уравнения) носит название логистической кривой.

Аналогичные кривые характеризуют и другие процессы, например размножение бактерий в органической среде обитания, динамику эпидемий внутри ограниченной общности биологических организмов и др.

Пример 5. Пусть изучается некоторый показатель экономического процесса y = f(t) в зависимости от времени. Если функция f(t) дифферен-цируема, то можно ввести понятие темпа изменения в данный момент времени

(1)

Соотношение (1) является дифференциальным уравнением. При заданном законе изменения темпа во времени, т.е. при T = y(t), оно