III. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ В ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ
3.1. Задачи о непрерывном начислении процентов
Предположим, что первоначальный вклад в банк составил Qu денежных единиц. Банк выплачивает ежегодно р% годовых. Необходимо найти размер вклада Qt через t лет.
Последовательно применяя формулу начисления процентов, получим
|
|
p |
|
|
p |
2 |
|
|
|
p |
t |
|
Q1= 1 |
|
Q0, Q2= 1 |
|
, |
… , Qt= |
1 |
|
, |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
100 |
100 |
100 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
если начислять проценты не один раз в году, а n раз, то получим
tn
Qt= 1 p . Устремляя n получим значение вклада через t лет
100n 
при непрерывном начислении процентов
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tp |
|
|
|
|
|
|
|
tn |
|
|
100n |
100 |
|
tp |
||||
|
|
p |
|
p |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Q |
= lim Q 1 |
Q lim 1 |
|
|
|
или Q |
= e100 . |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
||||||||||
t |
0 |
100n |
0 |
n |
100n |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.1.Рекуррентное уравнение динамики основного капитала
Всреднесрочных и долгосрочных моделях развития предприятия и экономики страны в целом обязательно участвует уравнение, описывающее динамику капитальных ресурсов, т.е. ресурсов, участвующих в процессе производства, изменение их во времени с учетом возможных инвестиций и износа. При этом предполагается, что ежегодные отчисления (амортизация) составляют постоянную долю (процент) остаточной стоимости амортизирующегося основного капитала. Эта доля называется коэффициентом или нормой амортизации. Если норму амортизации
обозначить через , а величину основных фондов на начало n-го года через kn-1 (n=1, 2, …), то получим рекуррентное уравнение при отсутствии инвестиций kn=kn-1 - kn-1 = (1- ) kn-1 (n=1, 2, …).
Если же мы хотим учесть возможные инвестиции, то уравнение изменится. Пусть In – объем инвестиций n-го года. Тогда динамика капитала будет описываться рекуррентным уравнением
kn = kn-1 + In - kn-1 = (1- ) kn-1 + In (n=1, 2, …).
При этом начальное значение капитала k0 и объем инвестиций
In считаются известными. Предполагая, что существуют lim kn k и |
|
|
n |
lim In I и переходя в этом уравнении к пределу при n |
, получим |
n |
|
предельную стоимость основного капитала k:
lim kn |
lim |
n |
n |
или k=(1- )k+I, т.е. k= 1 I
1 |
kn 1 In |
(1 |
) lim kn 1 |
lim In , |
|
|
|
n |
n |
1 lim In .
n
Пример. Найти остаточную стоимость основного капитала на начало 3-го года и предельную стоимость основного капитала,
если I= |
n2 |
|
2n 3 |
, |
=0,2, k0=1 млн у.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
2n2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Решение. Найдем |
|
|
I1= |
12 |
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 12 |
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
k1 = (1- |
|
|
)k0+I1 = (1-0,2)1+ |
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
2 |
|
|
|
|
22 |
; |
I2 = |
|
22 |
|
|
2 |
2 |
3 |
3 |
; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
5 |
|
3 |
|
|
|
|
15 |
|
2 |
|
22 |
1 |
|
|
9 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k2= (1- )k1 + I2 = |
|
4 |
|
|
22 |
|
|
|
1 |
|
|
|
88 25 |
|
|
103 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
15 |
|
|
3 |
|
|
|
|
75 |
|
75 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
Предельную |
стоимость |
|
|
|
|
основного |
капитала |
найдем |
|
|
по |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
формуле k= |
1 |
lim |
In |
|
1 |
lim |
n2 |
|
2n |
|
|
3 |
|
|
|
|
5 |
|
1 |
|
|
2,5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
0,2 |
|
|
|
2n |
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Решение. |
Найдем |
|
|
объем |
|
|
|
|
инвестиций |
|
в |
|
первый |
|
год |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
I1= |
12 |
2 1 |
3 |
|
2 |
|
и |
стоимость |
|
|
основного |
капитала |
k1 |
на |
начало |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 12 |
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
второго года |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
k1=(1- |
)k0+I1=(1-0,2) 1+ |
2 |
|
|
|
22 |
. |
|
|
|
Затем |
|
|
найдем |
I2= |
22 |
2 2 |
|
3 |
|
|
1 |
|
и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
15 |
|
|
|
|
|
22 |
1 |
|
|
|
|
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
стоимость основного капитала на начало третьего года |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
k2= (1- |
) k1 + I2 = (1-0,2) |
|
22 |
|
|
1 |
|
|
|
|
103 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
15 |
|
3 |
|
|
75 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3.2.Паутинообразная модель рынка
Рассмотрим простейшую динамическую модель рынка некоторого товара. В этой модели предполагается, что объем спроса в любой текущий момент времени n t зависит от уровня цены этого периода – Рn, а предложение реагирует на изменение цены с некоторым запаздыванием и зависит от уровня цены в предыдущем периоде – Рn-1. Обозначим через QД(n) и QS(n) объемы спроса и предложения в период n, тогда QД(n)=f(Pn) и QS(n)=g(Pn-1). Следующее предположение модели состоит в том, что изменение цены во времени происходит таким образом, что текущий спрос равняется текущему предложению, т.е. QД(n)=QS(n) или f(Pn)=g(Pn-
1).
Чтобы упростить анализ этого уравнения, предположим, что f(Pn)=an-bPn , g(Pn-1)=Cn-1+dPn-1 (b>0, d>0). Подставив эти выражения в уравнение f(Pn)=g(Pn-1), получим уравнение аn-bPn=Cn- 1+dPn-1 , которые вместе с равенствами QД(n)= аn-bPn, QS(n)= Cn- 1+dPn-1 образует так называемую паутинообразную модель рынка.