ЗАДАЧИ

1.Годовая процентная ставка р=24%. Рассчитать величину вклада

через 5 лет, если начальный вклад Q0=2000 руб., а проценты начисляются ежеквартально. Вычислить величину вклада через 5 лет при непрерывном начислении процентов.

2.За два года величина вклада выросла в 1,4641 раза при начислении процентов раз в полгода. Во сколько раз возросла бы величина вклада при непрерывном начислении процентов?

n t. Определить значение равновесной цены Р3 и предельное значение равновесных цен Р, если начальная цена Р0=0,5.

6.Пусть Рn – значение равновесной цены в момент времени n t. Определить Р3 и предельное значение равновесных цен Р, если начальная цена Р0=1, а объемы спроса QД(n) и предложения QS(n)

IV. ПРОИЗВОДНАЯ. ПРЕДЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

4.1. Экономический смысл производной

1.Пусть y=f(x) определена на промежутке X. Возьмем точку х X . Дадим значению х приращение х 0 , тогда функция получит приращение у=f(x+ х)-f(x).

Производной функции y=f(x) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении

последнего к нулю (если этот предел существует ) :

или скорость изменения зависимости переменной y (функции f(x)) в точке x.

ПРИМЕР 1. Стоимость определенной продукции на 1 рубль основных производственных фондов (фондоотдача) y зависит от

Рассмотрим еще одно понятие, иллюстрирующее экономический смысл производной.

Пусть К=К(х) функция издержек производства, где х-объем выпускаемой продукции, пусть

соответствовать

есть среднее приращение производства на единицу продукции.

К xхарактеризует приближенно дополнительные затраты на производство дополнительной единицы продукции .

Предельные издержки зависят от уровня производства (количества выпускаемой продукции) х и определяются не постоянными производственными затратами , а лишь переменными (на сырье, топливо, электроэнергию, и т.п.). Аналогично могут быть определены, предельная выручка, предельный доход, предельный продукт, предельная полезность и другие предельные величины.

экономического объекта. Таким образом, производная выступает как скорость изменения некоторого экономического процесса по времени или относительно другого исследуемого фактора.

Пример 3. Пусть К(х)=50х-0,05х3 (ден.ед.) функция издержек производства. Определить средние и предельные издержки, если объем составляет 10 условных единиц.

Итак, если средние издержки на производство единицы продукции составляют 45 ден. ед, то предельные издержки, т.е. дополнительные затраты на производство дополнительной единицы продукции при данном уровне производства (объеме выпускаемой продукции 10 ед), составляют 35 ден.ед.

4.2. Эластичность функции. Свойства эластичности

Для исследования экономических процессов и решения других прик-ладных задач часто используется понятие эластичности функции.

Эластичностью функции EX (у) называется предел отношения относительного приращения функции у к относительному приращению

аргумента х при x 0

Эластичность функции показывает приближенно, на сколько процентов изменится функция у= f(x) при изменении

2. Эластичность произведения (частного) двух функций равна сумме (разности) эластичностей этих функций

Ex (uv) = Ex (u) + Ex (v)

Если Ex ( y) >1, то изменению переменной х на 1%

соответствует изменение функции более чем на 1%, то говорят, что функция

эластична относительно х.

функция у(х) изменяется менее чем на 1%.

Пример 3 (Эластичность спроса относительно цены). Пусть функция спроса на некоторый вид товара имеет вид q 2e 2 p , где p- цена товара (ден.ед). Определить эластичность спроса при цене товара p=3 (ден.ед)

Ep 3 (q) 2 3 6. Это означает, что при цене 3(ден.ед)

повышение цены на 1% вызовет снижение спроса на 6%, т.е спрос эластичен.

Пример 4. (Эластичность спроса относительно дохода). Пусть спрос на данный товар в зависимости от дохода потребителей выражается формулой q = r , где r – доход. Тогда эластичность

Это означает, что повышение дохода потребителей на 1% вызовет повышение спроса на товар на 0,5%.

Пример 5 (Эластичность предложения относительно цены). S = S(p) – есть функция предложения (товара, труда, услуг) в

т.е. прирост предложения, соответствующий увеличению цены р = 4 (ден.ед.) на 1% составляет 0,7%.

4.3. Экстремум функции

Пусть на промежутке Х задана функция у=f(x).

Необходимое условие экстремума. Для того чтобы функция у=f(x) имела экстремум в точке х0 X, необходимо , чтобы ее

Первое достаточное условие экстремума . Если при переходе через точку х0 производная дифференцируемой функции у=f(x) меняет свой знак с плюса на минус, то точка х0 есть точка максимума функции у=f(x), а если с минуса на плюс, то х0 – точка минимума.

Второе достаточное условие экстремума. Если производная

максимума.

Пример. Производитель реализует свою продукцию по цене р=150(ден.ед) за единицу, а издержки при этом задаются кубической

зависимостью S(x)=6x+3x3. Найти оптимальный объем выпуска продукции и соответствующую ему прибыль.

Решение. Пусть объем выпускаемой продукции х . Составим функцию прибыли.C(x)=150x-(6x+3x3), где рх - доход от реализуемой продукции.

1.Найдем C (x) 150 (6 9x2 ) 144 9x2 .

2. Найдем критические точки.

х2 = -4 – не рассматриваем по смыслу задачи. 3. Найдем C(x) 18x и определим знак второй производной при х=4

C(4) 72 0 , следовательно, при х=4 прибыль С(х) максимальна.

4. Находим максимум функции.

Сmax(x=4)=1504 (6 4 3 64) 384 (ден.ед)

Пример. Капитал в 1 млрд рублей может быть размещен в банке под 50% годовых или инвестирован в производство, причем эффективность вложения ожидается в размере 100%, а издержки

задаются квадратичной зависимостью. Прибыль облагается налогом в р%. При каких значениях р вложение в производство является более эффективным, нежели чистое размещение капитала в банке?

Решение. Пусть х (млрд руб.) инвестируется в производство, а

(1-х)-

размещается под проценты. Тогда размещенный капитал станет равным

Таким образом, если р>25, то выгоднее ничего не вкладывать в производство и разместить весь капитал в банк. Если р<25 , то можно показать, что при х=хо

т.е. вложение в производство является более выгодным, чем чистое размещение под проценты.

4.4. Определение оптимального размера партии

Пример: Пусть С1 – затраты на хранение одного изделия в единицу времени; С2 – общие затраты на производство одной партии;

n - число изделий в партии;

Т – продолжительность производства одной

партии.

Требуется определить размер партии n,при котором обработка N изделий (N>n) за время t потребует минимальных затрат.

Решение: Составим функцию у=f(х), выражающую зависимость суммарных затрат у от размера n.

Общее число партий Nn , тогда общие затраты на производство составят

C2 Nn . При определении затрат на хранение будем исходить из того,

что партия изделий по мере изготовления поступает на хранение и поэтому

за период ее изготовления Т хранится в среднем n2 изделий. Таким образом, затраты на хранение одной партии составляет С1 n2 T .

Суммарные

Суммарные затраты на производство и хранение будут составлять.

Исследуем функцию у=f(n) на минимум (С1, С2, N и t – заданные величины).

Итак, оптимальным размером партии, минимизирующим суммарные за-

Пример. Оптимальный размер капиталовложений.

Пусть планируется строительство и эксплуатация некоторого объекта, срок эксплуатации Т лет. Первоначальные капиталовложения составляют

К руб., а последующее ежегодные эксплуатационные расходы х руб. Пред-положим, что первоначальные капиталовложения зависят от последующих ежегодных расходов К=f (х).

Определить оптимальный размер первоначальных капиталовложений, при котором суммарные расходы достигают минимума. Решение.

Суммарные расходы по строительству и эксплуатации данного объекта за Т лет составят

начальные вложения убывают с ростом ежегодных эксплуатационных расходов.

Если K >0, то кривая К=f(х) вогнутая, т.е. если с ростом годовых эксплуатационных расходов, уменьшение начальных капиталовложений происходит с замедлением,то найденное значение х* из уравнения.

K T , определяет минимальные суммарные затраты. y*min =f(x )+x*T

4.5. Функция двух переменных

Пусть имеются две переменных х и у, и каждому набору их значений (х, у) из некоторого множества U соответствует одно вполне определенное значение переменной величины Z. Тогда говорят, что

задана функция двух переменных Z=f(x, у).

Дадим аргументу х приращение х, аргументу у –

приращением функции в точке (х,у).

Если задать только приращение аргумента х или аргумента у,

то полученные приращения функции соответственно

xZ=f(x+ x,y)-f(x,y), и y Z= f(x,y+ y)-f(x,y)

называются частными.

Частной призводной функцией z=f(x,y) по независимой переменной х называется функция переменных х и у, получающаяся при диффе-ренцировании f(x, y) по x в предложении, что у считается постоянной.

Аналогично частной производной по у будет

Частная производная по переменной х в точке (х,у) характеризует скорость изменения или прирост переменной Z при изменении х и постоянном значении у.

Коэффициентами частной эластичности Ex(z), Ey(z) называются величины

на сколько процентов изменится функция при изменении переменной x

на 1% при неизменном значении у.

Пример. Функции спроса на товары А и В имеют вид: