Министерство образования Российской Федерации Хабаровская государственная академия экономики и права

М а т е м а т и к а в э к о н о м и к е

С б о р н и к з а д а ч

Хабаровск 1999

ПРЕДИСЛОВИЕ

В настоящее время для решения теоретических и практических задач экономики требуется серьёзная математическая подготовка специалистов. В рабочей программе курса математики кафедра предусматривает возможную экономическую интерпретацию рассматриваемых математических понятий: ’’предельный анализ”,”эластичность функций спроса и предложения”,”экономический смысл определенного интеграла” и т.д.

Коллектив авторов систематизировал экономические задачи, иллюстрирующие математические разделы. Ряд задач имеют оригинальное авторское содержание.

Следует обратить внимание студентов на то, что в экономических задачах они обычно встречаются с процессами, меняющимися дискретно, поэтому вводится представление о непрерывности. Такая замена дискретного состояния непрерывным позволяет при исследовании применять аппарат математического анализа.

I. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ

1.1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Уравнение прямой y=kx+b и ее график могут быть использованы для описания экономических зависимостей в том случае, когда между переменными имеет место отношение пропорциональности.

Пример 1. Определить линейную зависимость y = kx + b между полными издержками производства предприятия, изготавливающего однородную продукцию, и объемом производства, если:

-постоянные издержки (например, затраты на содержание административных зданий, их отопление и т.д.), не зависящие от объема продукции, составляют b (денежных единиц);

-переменные издержки (например, материальные затраты) пропорциональны с коэффициентом k объему х изготавливаемой продукции.

Записать эту функцию для b = 4 (млн.руб.) и k = 0,5 (млн.руб. на одну единицу продукции).

Решение. В данном случае, между полными издержками y некоторого производства и количеством x произведенной продукции имеет место линейная зависимость вида: y = kx + b , где k -

удельные переменные издержки ( издержки на одну условную единицу продукции) , а b – постоянные издержки производства.

В случае b = 4 (млн.руб.) и k = 0,5 (млн. на одну условную единицу продукции) имеем уравнение y = 0,5 x + 4.

1.2.Уравнение прямой, проходящей через данную точку, в

данном направлении y – y0 = k (x – x0) применяется для описания такой экономической зависимости между переменными x и y, когда в некоторый момент х0 переменная y принимает значение y0, а в последующие (предыдущие) моменты она изменяется равномерно с заданной скоростью, определяемой угловым коэффициентом k.

Пример 2. Весь объем основных фондов предприятия в 1991 году вырос на 6% по сравнению с объемом 1990 года. Начиная с 1992 года, в течение последующих пяти лет прирост основных фондов составлял 7% ежегодно. Записать формулу роста основных фондов в течение пятилетки.

Решение. Пусть х – время в годах, y – соответствующий объем основных фондов в процентах. Значение объема основных фондов y0

99. Здесь х принимает значения: 1, 2, 3, 4, 5. График функции y = 7х + 99 на отрезке [1, 5] изображен на рис.1.

у

134

y- 106

106

Рис.1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 х

Найдем координаты точки их пересечения, решив следующую систему уравнений:

х = 10 усл.ед. полные издержки по производству этого объема на обоих предприятиях одинаковы и составляют 9 млн руб.

Из чертежа видно, что при объеме х > 10 усл.ед. более экономичным (издержки меньше) становится второе предприятие.

1.5. Расстояние от точки до прямой. Как правило, такого рода задачи используются для нахождения наикратчайшего расстояния между объектами, что связано с минимизацией транспортных расходов. Расстояние от точки М0 (х0, у0) до прямой Ах + Ву + С = 0

Пример 5. Между пунктами А (5,5) и В (8,4) (на плане местности размеры даны в километрах) проложен прямолинейно провод телефонной связи. Необходимо подключить к этому проводу пункт С (2,1) по кратчайшему расстоянию. Найти точку подключения (D) и длину необходимого для этого провода.

Решение. Наикратчайшим расстоянием от пункта С (2,1) до прямой АВ является длина перпендикуляра СD, опущенного на АВ из точки С. Следовательно, необходимо найти уравнение прямой СD, перпендикулярной АВ и установить длину искомого отрезка.

коэффициент прямой CD kCD = 3.

CD: 3 (х – 2) = (у – 1) 3х – у – 5 = 0

Найдем координаты точки D:

2) обозначим через d расстояние от точки С до прямой АВ, тогда:

к телефонному проводу будет иметь координаты (3,5; 5,5) на плане местности, а длина требующегося провода составит 4,7 км.

ЗА Д А Ч И

1.По определению, рентабельность (R) предприятия есть отношение прибыли (у) данного предприятия к средней стоимости

производственных фондов R xy . Составить аналитически и

построить графически зависимость между прибылью и средней стоимостью производственных фондов при фиксированных значениях коэффициентов рентабельности

R = 0,05; 0,1; 0,15.

2.Начальная урожайность некоторого сорта зерна составляет 12 ц с гектара. Применение интенсивной технологии (в ближайшие годы) предполагает ежегодное повышение урожайности на 2 ц с гектара. Записать формулу роста урожайности. Вычислить урожайность для пятого года применения этой технологии.

3.Полные издержки по производству 100 штук некоторого товара составляют 300 тыс. рублей, а 500 штук – 600 тыс. рублей. Составить функцию издержек производства, считая ее линейной. Определить издержки по производству 400 штук товара.

4.Для некоторого вида транспорта полные расходы по перевозке груза на расстояние 10 км составляют 500 рублей, а на расстояние 30 км – 1 000 рублей. Составить функцию полных расходов по перевозке груза, считая ее линейной. Определить расходы по перевозке на расстояние 20 км.

5.Магазин построен 15 лет тому назад. В данное время стоимость здания магазина определяется в 280 млн рублей. Составить уравнение изменения стоимости здания, если известно, что ежегодный его износ составлял 4 млн рублей. Построить график.

6.Месячный запас горючего – 180 т., ежедневный расход – 5 т. Составить формулу для определения запаса горючего по дням и построить график. Как изменятся формула и график, если в первую декаду расходуют по 3 т. в день, во вторую декаду – по 6 т., в третью декаду – по 5 т. в день.

7.Полные расходы по перевозке груза двумя видами транспорта выражаются соответственно формулами:

расходы. Требуется выяснить, начиная с какого расстояния более экономичным становится второй вид транспорта.

8.На некотором предприятии постоянные издержки (не зависящие от объема производства: амортизация здания, отопление, охрана и

т.п.) а0 = 4 млн руб; переменные издержки (пропорциональные объему производства: сырье, сдельная зарплата и т.п.) а1 = 0,5 млн руб на одну единицу продукции. Для второго предприятия,

выпускающего ту же продукцию: а0 = 3 млн руб и а1 = 0,7 млн руб. Какие заказы (количества продукции) выгоднее размещать на первом, какие – на втором предприятии?

9.Нужно восстановить границы квадратного участка земли по трем сохранившимся столбам: одному – в центре участка и по одному на противоположных границах. На плане положение столбов определено координатами: среднего – М (1,6), и двух граничных – А(5,9) и В (3,0). Составить уравнения прямых, изображающих искомые границы.

10.Зная, что объем производства у связан с производительностью труда х линейной зависимостью, определить эту зависимость, если известно, что при х = 3, у = 185; при х = 5, у = 305. Определить объем производства при х = 20.

11.Пусть имеется запас некоторого сырья, составляющий В тонн, которого должно хватить на А дней. Расход материала должен быть равномерным, т.е. ежедневно расходуется одинаковое количество сырья. Составить уравнение, выражающее зависимость израсходованного сырья у от количества прошедших дней х. Построить график при А = 10; В = 5. Определить, каков остаток сырья через 3 дня, если А = 5; В = 15.

II. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Пример 1. Два предприятия А и В, расстояние между которыми равно 200 км, производят некоторое изделие, заводская цена р которого одна и та же для обоих предприятий. Транспортные расходы на перевозку единицы изделия от предприятия А до потребителя Р составляют 9 руб/км, а от предприятия В – 3 руб/км. Как следует разделить рынок сбыта, чтобы расходы потребителей были одинаковыми. Какому потребителю изделия какого предприятия выгоднее покупать?

Решение. Выберем прямоугольную систему координат, поместив начало координат в середине отрезка АВ и направив оси координат по лучу АВ и перпендикуляру к нему (рис.3). Определим геометрическое место точек, в которых расходы потребителей на приобретение продукции предприятий А и В будут одинаковыми. Пусть потребитель находится в точке Р (х,у). Обозначим расстояния: | АР | = S1 (км), | ВР | = S2 (км).

y

P(x,y)

S1 S2

Рис.3

Тогда расходы на приобретение единицы изделия предприятия А составят р + 9S1, а предприятия B – p + 3S2 . Так как расходы потребителей должны быть одинаковы, то р + 9S1 = p + 3S2 или

3S1 = S2. (*)

Преобразуем это уравнение, разделив сначала обе части его на число 8, и затем выделив полные квадраты в левой части, тогда

центром в точке С (-125, 0) и радиусом R = 75 (рис.3).

Для потребителей, находящихся на этой окружности, 3S1 = S2, следовательно, р + 9S1 = p + 3S2, поэтому расходы на приобретение изделия как одного, так и другого предприятия, одинаковы. Для потребителей, находящихся внутри ограниченного этой окружностью круга 3S1 < S2, следовательно, р + 9S1 < p + 3S2, поэтому расходы на приобретение изделий предприятия А ниже. Аналогично можно установить, что для потребителей, находящихся вне этого круга, ниже расходы на приобретение изделий предприятия В.

Следовательно, рынок сбыта можно выгодно (экономично) поделить так: а) потребителям, находящимся на окружности, безразлично, изделия какого предприятия (А или В) покупать; б) потребители, находящиеся внутри указанного круга, покупают изделия предприятия А; в) потребители, находящиеся вне круга, покупают изделия предприятия В.

2.1.Гипербола. Графиком дробно–линейной функции

Тогда уравнение (1) примет вид:

y x Ax0 y0 ,

(2)

где число А = bc ad . c2

Пример 2. Кооператив, объединяющий х работников– исполнителей заказов и одного заведующего, имеет в месяц 3 000 рублей фонда заработной платы. Записать формулу для размера заработной платы каждого сотрудника кооператива, если ее размер одинаков и для каждого работника, и для заведующего. Каков размер заработной платы, если в кооперативе 9 работников – исполнителей заказов?

Решение. Чтобы подсчитать размер у заработной платы, следует фонд 3 000 рублей разделить на число (х + 1) сотрудников,

следовательно, ей соответствует гипербола, горизонтальной асимптотой которой

является ось ОХ, а вертикальной – прямая х = -1.

При х = 9 имеем у = 3 000 / (9 + 1) = 300 (руб).

Пример 3. В условиях примера 2 предполагается, что кооператив решил производить отчисления по 50 руб в месяц с каждого сотрудника в фонд дальнейшего развития своего предприятия. Как запишется при этом формула для заработной платы сотрудника?

Решение. Так как теперь каждый сотрудник будет получать

искомая формула. Значит ей соответствует гипербола, горизонтальной осью которой является прямая у = -50, а вертикальной – прямая х = -1. График полученной гиперболы изображен на рис.4.

y

- 50

Пример 4. Пусть в момент t = 0 началось производство определенного типа машин, которые раньше не производились. Допустим, что выпуск машин происходит равномерно, стоимость годового объема выпуска их составляет 5 млн рублей, а срок эксплуатации машин равен 10 годам. Определить стоимость всех машин этого типа на конец t-го года. Подсчитать эту стоимость на конец 4-го года.

Решение. Стоимость всех машин указанного типа в t –ом году без учета износа составляет 5 · 106 · t (руб). Однако вследствие износа фактическая стоимость их будет значительно меньше. Среди всех действующих к моменту t машин имеются такие, которые поступили в начале интервала времени (0, t), а также такие, которые поступили только что. Поскольку поступление машин происходило равномерно, то средний возраст всех машин можно считать равным

накапливается равномерно. Ввиду 10-летнего срока эксплуатации в данном примере ежегодное накопление составляет 10% (одну десятую часть) стоимости машины. Ежегодные амортизационные накопления на все машины, действующие к моменту t , составляют

износа, получим фактическую стоимость всех машин на конец t – го года, т.е. искомая стоимость составляет:

y = 5 · 106 · t - 25 · 104 · t2 (руб). Это целая рациональная функция второго порядка (квадратичная функция) вида y = a t2 + bt + c с коэффициентами: а = -25· 104 ; b = 5 · 106 ; c = 0.

Стоимость всех машин на конец 4-го года будет равна у(4) = 5 · 106 · 4 - 25 · 104 · 16 = 106 (20 – 4) = 16 · 106 (руб) или 16

млн руб.

ЗА Д А Ч И

1.Два предприятия, отстоящие одно от другого на 100 км, производят некоторое изделие, причем заводская цена изделия на

обоих предприятиях одинакова и равняется р (руб). Пусть транспортные расходы на перевозку единицы изделия от предприятия А до потребителя составляют 9 руб/км, а от предприятия В - 3 руб/км. Как будет разделен рынок сбыта, если расходы потребителей должны быть одинаковыми? Какому потребителю изделия какого предприятия выгоднее покупать?

2.Торфоразработки А и В, расстояние между которыми 300 км, отпускают торф по одинаковой цене. Транспортные расходы на 1 км из А в два раза больше, чем из В. Определить границу района, в котором более выгодно получать торф из А.

3.В семье один работник и х иждивенцев. Средний размер

на одного члена этой семьи. Указать область определения и построить график функции у = у (х), считая А = 5 условных единиц.

4. В условиях задачи 3 записать формулу у = у (х) для определения

среднего дохода на одного члена этой семьи с учетом среднего дохода на душу населения по другим видам выплат и выдач

(бесплатное обучение и медицинское обслуживание, льготные путевки, выплаты соцстраха и т.д.), которые составляют В (рублей в месяц на душу населения). Указать область определения и построить график функции у = у (х), считая А = 5 (ден.ед.) и В = 0,5 (ден.ед.).

5. Расстояние между двумя угольными бассейнами равно 2 км.

Себ естоимость одной тонны угля в бассейне А равна 100 000 рублей, в

В – 92 000. Транспортные расходы одной тонны угля на 1 км для обоих бассейнов одинаковы и равны 100 руб. Определить границу районов, в которых снабжение углем каждого из этих бассейнов будет более экономичным.

6. Пусть в момент t = 0 началось производство определенного типа

машин, которые раньше не производились. Допустим, что выпуск машин происходит равномерно, стоимость годового объема продукции – 1 млн руб, а срок эксплуатации машин равен 10 годам. Определить стоимость машинного парка на конец t-го года. Подсчитать эту стоимость на конец 4-го года.

7. Решить задачу 6, считая стоимость годового объема продукции равной

10 млн руб.

8. Продолжительность выполнения работы у (мин) при повторяемых операциях есть величина обратно пропорциональная числу х (штук) этих операций. Построить график зависимости y = f(x), если известно, что при 0 ≤ х ≤ 200 справедлива формула у = а / (х+с), причем при х =0, у = 150; при х = 200, у = 50. Вычислить, сколько минут выполняется работа при 50 операциях.

продукции. Построить график этой зависимости при а = 100. Пояснить его