Сахаров Введение в теорию переноса и физику засчиты от 2013

Если при прохождении частицами слоя произошло Ni i-го типа взаимодействий на площади слоя в 1 см2 (взаим./см2 ), то тогда вероятность i-го типа взаимодействий (доля частиц, испытавших такое взаимодействие из числа упавших на 1 см2 поверхности) равна: р = Ni / φ. Отсюда эта вероятность i-го типа взаимодействия, отнесенная к одному ядру мишени р / Nяд, называют эффективным поперечным микроскопическим сечением i-го типа взаимодействия и обозначают σi :

Фактически выражение (3.2) определяет число i-го типа взаимодействий, отнесенное к одному ядру мишени и одной падающей на слой частице. Если равенство (3.2) переписать в виде σi Nяд /1см2= =р=Ni /φ, то становится очевидным, что стоящее справа выражение характеризует долю частиц, испытавших i-й тип взаимодействия, а слева долю площади из 1см2 , участвующей во взаимодействии, т.е. вероятность того, что из площади мишени 1 см2 площадь σi Nяд участвует в i-м типе взаимодействия со стопроцентной вероятностью. Если эту площадь разделить на Nяд , то тогда σi будет соответствовать площади ядра, участвующей в i-м типе взаимодействия. Следовательно, микроскопическое эффективное поперечное сечение взаимодействия имеет размерность площади (потому и называется поперечным сечением) и лишь характеризует вероятность взаимодействия, но не равно ей. В системе СИ микроскопическое эффективное поперечное сечение взаимодействия измеряется в м2, в ядерной физике для измерения сечений используется см2 или, учитывая малость абсолютного значения сечений, специальная единица, называемая барн (б), 1б=10-28м2. Эффективное поперечное сечение i-го типа взаимодействия называют парциальным, в отличие от полного, представляющего сумму парциальных сечений всех возможных типов взаимодействия. Часто для краткости слово эффективное, как и поперечное опускают в названии сечения.

Считая, что отдельные типы взаимодействия независимы друг от друга, можно говорить об аддитивности парциальных микроскопических поперечных сечений взаимодействия по типу взаимодействий и тогда полное микроскопическое эффективное поперечное сечение взаимодействия на к-м ядре или атоме равно:

31

i 1

где I – число возможных типов взаимодействия данного вида излучения с ядром или атомом вещества.

Учитывая, что расстояния между ядрами или атомами значительно превосходят размеры ядер или атомов, взаимодействия в большинстве случаев можно рассматривать как независимые процессы на разных ядрах или атомах среды, через которую проходит излучение, и, таким образом, можно ввести понятие полного мак-

роскопического эффективного поперечного сечения взаимо-

действия излучения с единицей объема или массы вещества как сумму сечений отдельных ядер или атомов, находящихся в этом объеме или массе:

Здесь Nк , Nkm – число ядер к-го материала в единице объема (см3) или единице массы (г) соответственно, Na = 6,02х1023 (г · моль)-1 – число Авогадро, Ak – атомная масса материала, ρк – плотность ма-

териала (г/см3).

Эти полные макроскопические поперечные сечения можно, соответственно, назвать линейными Σк или массовыми Σmk , и они

обычно при указанных выше размерностях входящих величин измеряются в см-1 или см2/г. Аналогичные соотношения можно записать и для парциальных макроскопических поперечных сечений i- го типа взаимодействия на к-м материале, если в формулах (3.4) σк заменить на σiк.

Используя то же свойство аддитивности сечений, можно определить макроскопическое эффективное поперечное сечение взаимодействия излучения с веществом, представляющим гомогенную смесь различных материалов:

32

где Σ см , Σ смm – полные линейные или массовые макроскопические эффективные поперечные сечения взаимодействия излучения с веществом смеси, pk , рm

смеси, ρсм , Aсм – плотность и атомная масса смеси материалов.

Рассмотрим физический смысл введенных полных макроскопических поперечных сечений взаимодействия излучений с веществом на примере прохождения излучения через слой материала, на который подобно рис 3.1 падает однородный поток частиц, плотность потока которых равна φ0 (см-2 · с-1). Если полное линейное макроскопическое эффективное поперечное сечение взаимодействия излучения с веществом равно Σ к , то число взаимодействий

этих частиц в элементе объема dV=1cм2 dx вещества будет равно Σ к · dV· φ (x) , где φ (x) – плотность потока частиц на расстоянии x

от передней поверхности вещества. Одновременно эта величина будет равна убыли частиц при прохождении слоя dx, т.е.

Из уравнения (3.6) следует закон ослабления нерассеянного излучения в веществе:

в котором в качестве характеристики ослабления излучения выступает полное линейное макроскопическое эффективное поперечное сечение взаимодействия. С другой стороны, из выражения (3.7) легко определяется вероятность частице пройти в веществе путь длиной х без взаимодействия, т.е.

которая позволяет определить среднюю длину пробега частицы до столкновения:

33

Таким образом, величина, равная обратному значению полного макроскопического эффективного поперечного сечения взаимодействия, определяет среднюю длину пробега частицы в данном веществе. Такие же величины для макроскопических парциальных поперечных сечений будут определять среднюю длину пробега частицы до соответствующего i-го взаимодействия.

Эффективные поперечные сечения взаимодействия зависят не только от вида излучения, типа взаимодействия и материала, но и от энергии частиц или квантов, участвующих во взаимодействии. Знание этих зависимостей в совокупности со знанием простран- ственно-энергетических распределений плотности потока частиц в веществе позволяет рассчитывать любые функционалы, характеризующие процессы, проходящие в веществе под действием излучения. Например, число столкновений N частиц с энергией Е, происходящих в элементе объема dV вещества, характеризуемого полным линейным эффективным поперечным макроскопическим сечением взаимодействия Σ к (E), при плотности потока частиц в этом

элементе объема φ(Е) равно:

3.2.2. Дифференциальные и интегральные эффективные поперечные сечения взаимодействия

Введенные выше эффективные поперечные сечения взаимодействия излучений с веществом характеризуют возможность того или иного типа взаимодействия, но не определяют параметры излучения после взаимодействия. Поэтому они называются интегральными сечениями.

В отличие от них дифференциальные эффективные поперечные сечения взаимодействия, например, при рассеянии частицы определяют энергию рассеянной частицы и ее направление движения относительно направления движения первичной частицы. В случае, если в процессе взаимодействия образуется вторичное излучение,

34

отличающееся от вида первичного, например, образуется фотон в реакции взаимодействия нейтрона с ядром, то дифференциальное эффективное поперечное сечение определяет не только вероятность такого события, но и дает сведения об угловом и энергетическом распределении образующегося вторичного фотонного излучения.

Таким образом, дифференциальное эффективное микроскопиче-

характеризует для данного вида излучения вероятность частице с

/

энергией Е/, летящей в направлении Ω , испытать рассеяние, после которого она будет иметь энергию E на единичный интервал

энергий и полетит в направлении в единичный телесный угол. Размерность дифференциального эффективного микроскопического поперечного сечения рассеяния – м -2 ·эВ-1 · ср-1.

Обозначив через μs косинус угла рассеяния, т.е. косинус угла

который описывает связь между эффективным дифференциальным и интегральным σs (Е/ )·поперечными сечениями рассеяния частицы через вероятность при рассеянии поменять энергию частицы с Е/

на Е – p( E / E ) и вероятность изменить направление ее движе-

ния на угол θs, косинус которого равен μs – g ( E / , Е, μs). Проинтегрировав обе части выражения (3.11) по всем возмож-

ным энергиям рассеянных частиц и всем направлениям их полета, получим при условии азимутальной симметрии рассеяния:

условие нормировки для функций p( E / E ) и g ( E / ,Е, μs):

При упругом рассеянии из законов сохранения энергии и импульса следует однозначная связь между энергией рассеянной частицы Е и углом рассеяния θs. В этом случае эффективное дифференциальное микроскопическое поперечное сечение упругого рассеяния приобретает следующий вид:

d2σel( E / E,μ s )/dE·dΩ= 41π σel (Е/)·g( E / ,μs) · δ(E – k(E/,μs)), (3.14)

где σel (Е/)– интегральное сечение рассеяния, функция k(E/, μs) определяет энергию частицы после рассеяния в зависимости от ее начальной энергии и угла рассеяния, а δ(E – k(E/, μs)) – дельтафункция по энергии, которая при интегрировании по энергии рассеянных частиц дифференциального эффективного поперечного сечения обращается в единицу. Таким образом, при упругом рассеянии условие нормировки для вероятности частице с энергией Е/ рассеяться на угол θs приводится к виду:

Следует отметить, что при изотропном угловом распределении рассеянных упруго частиц функция g ( E / , μs) не зависит от угла

рассеяния и, следовательно, из (3.15) g ( E / ,μs)=1. Отличие функции g (Е/ ,μs) от 1 характеризует отличие углового распределения рассеянных частиц от изотропного.

Вобщем случае функция g (E/, Е, μs) получила название индикатриса рассеяния, и ее знание позволяет определить дифференциальное эффективное поперечное сечение рассеяния.

Вслучае образования в процессе взаимодействия вторичного излучения, отличающегося от рассматриваемого, например, обра-

36

зования фотонов при захвате или неупругом рассеянии нейтрона на ядре энергетические и угловые характеристики этого вторичного излучения будут определяться дифференциальным микроскопическим поперечным сечением реакции, в результате которой это вторичное излучение возникает. Для реакции (n,γ) оно будет иметь вид:

При этом функция p( En / ,Eγ ) характеризует вероятность того,

что при захвате нейтрона с энергией En / образуется nγ фотонов

нам полететь в единичный телесный угол в направлении Ωγ отно-

сительно направления движения первичного нейтрона n / .

Знание дифференциальных сечений взаимодействия излучений с веществом необходимо для решения задач их переноса в веществе с учетом многократных столкновений с ядрами или атомами.

Многочисленные данные как по интегральным, так и дифференциальным микроскопическим эффективным сечениям взаимодействия разных видов излучения с веществом опубликованы в виде справочников и таблиц. Для удобства пользования этими данными

формируются библиотеки оцененных ядерных данных (например, ЕNDF/B, ENDL, БРОНД, JENDL), постоянно обновляемые и по-

полняемые новой информацией по сечениям взаимодействия.

Контрольные вопросы к § 3.2

1.Какую площадь характеризует микроскопическое эффективное поперечное сечение взаимодействия?

2.Чем отличается полное эффективное поперечное сечение от парциального?

37

3.Укажите отличия в макроскопических эффективных поперечных сечениях, измеряемых в см-1 и см2/г.

4.Чему равно число поглощений частиц в объеме dV вещества,

имеющего эффективное поперечное макроскопическое сечение поглощения этих частиц Σа, см-1 при плотности потока падающего излучения 1 см-2 · с-1?

5.Как связаны между собой средняя длина пробега частицы в

веществе и полное эффективное поперечное макроскопическое сечение ее взаимодействия с веществом?

6.Запишите формулу для расчета числа рассеяний, происходя-

щих в единице объема вещества, имеющего сечение рассеяния Σs при плотности потока частиц в этом объеме φ.

7.Какие параметры рассеянного излучения характеризует дифференциальное эффективное микроскопическое поперечное сечение рассеяния?

8.Чем обусловлено появление δ-функции в дифференциальном эффективном поперечном микроскопическом сечении при упругом рассеянии?

9.Что такое индикатриса рассеяния?

10.Чему равна индикатриса упругого рассеяния при изотропном угловом распределении рассеянных частиц?

§ 3.3. Взаимодействия фотонов с веществом

Диапазон энергий фотонов, испускаемых большинством источников фотонного излучения, находится в пределах от примерно 20 кэВ до 10 МэВ. В этом диапазоне энергий фотонов все процессы взаимодействия фотонов с веществом можно разделить на три группы: основные, второстепенные и практически пренебрежимые

взадачах защиты и радиационной безопасности.

Косновным процессам, происходящим на атомном уровне, пренебрежение любым из которых может привести к серьезным погрешностям, относят:

1) фотоэлектрическое поглощение – фотоэффект,

2) комптоновское рассеяние – рассеяние фотона на свободном электроне атома,

3) образование электрон-позитронной пары в поле ядра.

На рис.3.2 показаны схемы основных процессов взаимодействия фотонов с атомом.

38

нием свободных электронов в основных процессах взаимодействия;

–образование фотонейтронов.

Кпренебрежимым в задачах расчета защиты можно отнести процессы взаимодействия фотонов с ядрами, когерентное рассеяние на молекулах, потенциальное дельбруковское рассеяние.

3.3.1. Фотоэлектрическое поглощение

Суть фотоэффекта заключается в передаче энергии фотона одному из атомных электронов с вылетом последнего из атома с кинетической энергией равной Ее=Е/γ - ЕK , либо Ее=Еγ / - ЕL, , где ЕK, ЕL – энергия связи электронов, находящихся на К-, L- и т.д. оболочках атома. При этом предполагается, что энергия отдачи атома пренебрежимо мала. Энергия связи электронов, находящихся на К- оболочке, для разных элементов находится в диапазоне от 10 до 140 кэВ, на L-оболочке не превышает 30 кэВ, поэтому фотоэффект

39

характерен для фотонов с низкой энергией. Образующиеся свободные электроны с энергией ниже энергии покоя (0,511 МэВ) вылетают из атома преимущественно в направлении перпендикулярном к направлению движения первичного фотона, с ростом энергии их угловое распределение вытягивается в направлении первичного фотона, однако никогда с ним не совпадает.

Необходимо отметить, что фотоэффект не может проходить на свободном электроне; из законов сохранения энергии и импульса требуется наличие третьего тела, каким выступает атом, хотя на балансе энергии это практически не сказывается. Такое заключение можно подтвердить следующим образом.

Законы сохранения энергии и импульса при полном поглощении фотона электроном можно записать в виде:

→

где Еγ/, | p / |=Eγ/ / c – энергия и импульс фотона до поглощения;

v – скорость электрона после взаимодействия; mc2 – масса покоя электрона; β=v/с.

Из указанных соотношений следует, что они могут выполняться только при условии, что скорость электрона после взаимодействия будет равна скорости света, чего для частицы с ненулевой массой невозможно, поэтому для уравновешивания импульсов необходимо третье тело, которым выступает атом. Фотоэффект – типично резонансное явление. На рис. 3.3 для примера приведены сечения фотоэффекта для разных материалов.

С наибольшей вероятностью это явление происходит при равенстве энергии фотона энергии электрона, находящегося на соответствующей оболочке. С ростом энергии фотона сечение фотоэффекта резко снижается, примерно пропорционально Е/γ-7/2 на начальном

участке, при Е/γ >> ЕK оно становится обратно пропорциональным

Е/γ.

Учитывая резкий спад сечения фотоэффекта при энергии фотонов ниже энергии соответствующего уровня, для фотонов с энергиями Е/γ > ЕK вклад К-оболочки в полное сечение фотоэффекта составляет не менее 80 %.

40