Леонтева Сборник лабораторныкх работ по физике Мекханика 2015

Поэтому момент упругих сил (момент вычисляется относительно оси цилиндра), возникающих в рассматриваемом цилиндре

dM = –στ r dS, (7.П3)

где dS = 2πr dr – площадь поперечного сечения цилиндра. С учётом (7.П1) и (7.П2) dM запишется в виде

Интегрируя (7.П4) по dr, получим

В (7.П5) R1 и R2 – пределы интегрирования по dr. Для сплошного стержня R1 = 0, R2 – радиус стержня. В случае трубы R1 и R2 – внутренний и внешний радиусы трубы соответственно.

Заметим, что момент очень быстро возрастает с ростом внешнего радиуса R2 (M~R4). Это позволяет использовать трубы вместо стержней, практически не теряя в прочности конструкции. Действительно, даже если R2/R1 = 1,5, то (R2/R1)4 ≈ 6, и такая труба будет менее жёсткой, чем сплошной стержень всего на 16 %, масса же такой трубы будет приблизительно вдвое меньше, чем у сплошного стержня.

Коэффициент перед ϕ в (7.П5) называется модулем кручения:

В нашем опыте мы используем проволоку, поэтому (7.П6) принимает вид:

Рассмотрим тело с моментом инерции I, подвешенное на проволоке с модулем кручения K. Если телу сообщить вращение вокруг оси на угол ϕ, то это приведёт к возникновению в проволоке упругих сил с моментом M = –Kϕ.

Запишем уравнение моментов для вращающегося тела:

61

62

Работа № 8

ИЗМЕРЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ С ПОМОЩЬЮ МАЯТНИКА МАКСВЕЛЛА

Цель работы: определение момента инерции маятника.

Принадлежности: маятник Максвелла со сменными кольцами.

ВВЕДЕНИЕ

Принцип работы установки

Маятник Максвелла представляет собой массивный диск, насаженный на тонкую ось (рис. 8.1). На концы оси намотаны две нити. Если маятник освободить, то он начнёт раскручиваться и опускаться на нитях вниз. При этом его потенциальная энергия будет уменьшаться, а кинетическая энергия – возрастать. Кинетическая энергия, в свою очередь, складывается из энергии поступательного движения mv2/2 и вращательного движения Iω2/2.

На основании закона сохранения механической энергии запишем:

где h – ход маятника (высота, на которую он опустился), v – скорость движения оси маятника, ω – угловая скорость маятника в тот же момент времени.

Из закона сохранения энергии (8.1) нетрудно найти ускорение, с которым движется центр инерции маятника. Действительно, про-

63

65

лисекундомер выполнен в виде самостоятельного прибора с цифровой индикацией времени и жёстко закреплён на основании 1.

Указание мер безопасности

К работе с маятником допускаются лица, ознакомленные с его устройством, принципом действия. Перед началом работы с маятником необходимо убедиться, что он заземлён.

При замене колец необходимо убедиться в том, что кольцо насажено на диск до упора.

После проведения работы с маятником необходимо отключить миллисекундомер от сети.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Подготовьте установку к работе. Для этого:

•установите нижний кронштейн 3 с фотодатчиком 9 в крайнее нижнее положение шкалы так, чтобы поверхность кронштейна, окрашенная в красный цвет (служит указателем) совпала с нижней отметкой шкалы;

•при помощи регулировочных опор отрегулируйте положение основания так, чтобы диск на бифилярном подвесе находился посередине фотодатчика;

•установите с помощью устройства 4 необходимую длину бифилярного подвеса так, чтобы нижний край среза сменного кольца маятника находился на 4–5 мм ниже оптической оси фотодатчика, при этом ось маятника должна занять горизонтальное положение;

•подключите к разъёму ВХОД на миллисекундомере фотодатчик и включите в сеть шнур питания миллисекудомера;

•нажмите на кнопку СЕТЬ, расположенную на лицевой панели миллисекундомера, при этом должны загореться лампочка фотодатчика и цифровые индикаторы миллисекундомера;

•вращая маятник, зафиксируйте его в верхнем положении при помощи электромагнита, при этом необходимо следить за тем, чтобы нить наматывалась на ось виток к витку. В зафиксированном положении нити подвеса не должны быть натянуты;

66

• нажмите кнопку СБРОС для того, чтобы убедиться, что на индикаторах устанавливаются нули.

При нажатии кнопки ПУСК на миллисекундомере электромагнит должен обесточиться, маятник должен начать раскручиваться, миллисекундомер должен произвести отсчёт времени, а в момент пересечения маятником оптической оси фотодатчика счёт времени должен прекратиться.

2.По шкале, пользуясь указателем кронштейна 3, определите ход маятника.

3.Приведите маятник в исходное положение.

4.Нажмите кнопку ПУСК на миллисекундомере и проведите отсчёт времени хода маятника t по миллисекундомеру.

5.Испытания проведите не менее 5 раз и определите среднее

значение времени t и погрешности t.

6. Определите момент инерции по формуле (8.5) и погрешность этой величины. При вычислении имейте в виду, что в (8.4) m =

=m0 + mк, где m0 – масса маятника без насаженного кольца.

7.Испытания по пп. 2–6 проведите для трёх сменных колец.

8.Пользуясь найденными моментами инерции I1, I2, I3 найдите величины

I2 − I1 , I3 − I1 , I3 − I2 .

и проверьте выполнение соотношений:

I2 − I1 = (m2 –m1 )Rк2 , I3 − I1 = (m3 –m1 )Rк2 , I3 − I2 = (m3 –m2 )Rк2 .

где m1, m2, m3 – массы сменных колец.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Какие виды движения твёрдого тела вам известны? Сформулируйте теорему Эйлера.

2.Что называется моментом инерции твёрдого тела?

3.Каким уравнением описывается вращательное движение твёрдого тела?

4.Сформулируйте теорему Штейнера.

5.Чему равна кинетическая энергия твёрдого тела?

67

6.Все вычисления при выводе (8.2) проводились на основании закона сохранения энергии. Но ведь на маятник кроме силы тяжести (она консервативна) действует ещё и сила натяжения нитей, но она не консервативна. Почему же мы этим законом пользовались?

7.На каком основании написано соотношение (8.3)?

8.Чему равен момент инерции кольца? Когда момент инерции

кольца Iк можно вычислять по формуле Iк = mк Rк2 , где Rк – средний радиус кольца?

68

Работа № 9

ИЗМЕРЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ С ПОМОЩЬЮ МАЯТНИКА ОБЕРБЕКА

Цель работы: изучить зависимость момента инерции грузов от расстояния их до оси вращения и определить зависимость углового ускорения от момента силы при постоянном моменте инерции грузов.

Приборы и принадлежности: маятник Обербека с четырьмя одинаковыми грузами, набор из двух грузов, секундомер, штангенциркуль.

ВВЕДЕНИЕ

Важной характеристикой твёрдого тела является его момент инерции, характеризующий распределение масс в твёрдом теле. Напомним, что момент инерции относительно какой-либо оси определяется следующим образом:

Смысл величин, входящих в эту формулу следующий. Разобьём мысленно твёрдое тело на малые части, размер каждой из которых значительно меньше размеров самого этого тела. Пусть mk – масса k-й части, Rk – расстояние от этой части до оси. Сумма берётся по всем частям.

Момент инерции определяет, в частности, кинетическую энергию вращающегося твёрдого тела:

где ω – угловая скорость, I – момент инерции тела относительно оси вращения.

При поступательном движении, как известно, кинетическая энергия вычисляется по формуле

где m – масса тела, v – линейная скорость.

69

Основным уравнением движения тела, вращающегося вокруг неподвижной оси OZ, является уравнение моментов

I β = M, (9.4)

где M – сумма моментов всех внешних сил, действующих на тело

Для поступательного движения второй закон Ньютона имеет

Из сравнения (9.2) с (9.3) и (9.4) с (9.5) можно сказать, что момент инерции твёрдого тела во вращательном движении играет такую же роль, как масса в поступательном. Иными словами, момент инерции определяет инертность вращающегося тела.

где r – радиус шкива (плечо силы), поэтому уравнение моментов имеет вид:

К грузу приложена сила тяжести mg и сила натяжения нити F , поэтому согласно второму закону Ньютона с учётом направления

70