Сандракова Функтсии многикх переменныкх 2015

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИФИ»

Е. В. Сандракова, Е.В. Сумин, М. М. Тищенко, В. П. Трифоненков

Функции многих переменных

Учебно-методическое пособие

Москва 2015

1)для x = (x1 ,…, xn ) и y = ( y1,…, yn ) определена операция сложения x + y = (x1 + y1 ,…, xn + yn ) ;

2)для x = (x1 ,…, xn ) и λ Λ = R1 определена операция умножения на число

λx = (λx1,…, λxn ) .

Эти две операции естественным образом удовлетворяют аксио-

мам линейного пространства над полем R1, причем θ = (0,…,0) (это

проверялось в курсе «Линейная алгебра»).

Введём теперь по аналогии с геометрическим пространством трёхмерных векторов скалярное произведение упорядоченной пары элементов x = (x1,…, xn ) и y = ( y1 ,…, yn ) как

n

(x, y) = ∑xk yk = x1 y1 +…+ xn yn .

k =1

При этом все аксиомы скалярного произведения выполняются.

Итак, линейное пространство Rn с введённым таким образом скалярным произведением элементов является евклидовым пространством, которое впредь будем обозначать En . В En вводим

норму x En = (x, x) . Это дает возможность измерять углы между

проверяется непосредственно. Из свойств нормы следует, что есть возможность ввести в пространстве En ещё одну структуру –

структуру метрического пространства, положив для x, y En

4

n

ρ(x, y) = x − y = ∑(xk − yk )2 , ρ(x,θ) = x .

k =1

Аксиомы метрики непосредственно проверяются.

В частности, если рассматривать упорядоченные наборы п действительных чисел как точки в En , то записывается неравенство треугольника для точек P(x1,…, xn ) , Q( y1,…, yn ) , R(z1 ,…, zn ) En

ρ(P, R) ≤ ρ(P,Q) + ρ(Q, R) .

Метрика ρ(P,Q) даёт возможность ввести сферическую или

0

называется множество

Tβ (P0 ) ={P(x1 ,…, xn ) En : xk − x0k <β, β > 0, k =1, 2,…, n} .

Справедлива теорема об эквивалентности систем прямоугольных и сферических окрестностей точки P0 En .

Введение окрестностей точки есть введение топологической

f : En → Em , исследуя их на непрерывность, дифференцируемость, вводя классы гладкости функций и отображений.

5

1. Дифференцируемая функция многих переменных. Дифференциал функции в точке.

Частные производные и дифференциалы высших порядков

Пусть D – открытая область в п-мерном пространстве En и точ-

ка P0 = P0 (x1 ,…, xk ,..., xn ) D .

Определение 1.1. Функция f (P) = f (x1 , x2 ,...xn ) : D → R1 назы-

k=1

xk = xk − x0k , k =1, 2...n ; ρ – модуль вектора смещения или норма

P0 P En , ρ =|| P0 P ||E .

Определение 1.2. Главная линейная часть приращения

Определение 1.3. Пусть f(P) – дифференцируемая функция в точке P0 D , приращение которой в точке Р0, вызванное вектором

смещения P0 P , представимо в виде (1.1). Тогда вектор с компонентами A1,..., An называется градиентом функции f(P) в точке Р0 и обозначается grad f |P0 ={A1,..., An }.

Итак, для дифференцируемой функции в точке Р0 приращение f (P0 ; P0 P) , вызванное вектором смещения P0 P , P0 P D пред-

ставимо в виде:

6

Получим производную функции f(P) в точке Р0 в направлении k-й координатной оси.

Определение 1.5. Частной производной функции f(P) =

вектором e и положительным направлением оси Oxi ).

Далее, сформулируем определение дифференцируемости функции в точке и рассмотрим связанные с ним понятия для случая функции двух переменных (для переменных в формулировках будут использованы такие обозначения, которые приняты в рассматриваемых ниже примерах).

Пусть п = 2, D R2 . В R2 выбрана декартова прямоугольная система координат Оху, D – открытая область в R2, P0 (x0 , y0 ) D

8

(Р0 – внутренняя точка, P(x, y) – произвольная

точка из D) (рис.1.1).

Пусть на D определена функция двух переменных u = f (x, y) . Рассмотрим произвольный

вектор смещения

И пусть P0 P – геометрический отрезок, целиком лежащий в D , т.е. смещаясь из точки Р0 в Р мы не покидаем области D. Тогда вектор смещения P0 P вызовет приращение функции

f (P0 ; P0 P) = f (P) − f (P0 ) = f (x, y) − f (x0 , y0 ) =

= f (x0 + x, y0 + y) − f (x0 , y0 ) .

Определение 1.6. Функция двух переменных f(х, у) называется дифференцируемой в точке Р0(х0, у0), если ее приращение

f (P0 ; P0 P) в точке Р0, вызванное вектором смещения P0 P , можно представить в виде:

где А1, А2 – числа, не зависящие от P0 P , но меняющиеся, если ме-

нять точку Р0, а ω(P0 ; P0 P) = ο(ρ) – бесконечно малая величина бо-

лее высокого порядка относительно смещения ρ при ρ → 0. Определение 1.7. Пусть функция f(P) такова, что имеет место

9

L : E2 → R1 ,

Здесь можно считать, что оно берется в точке Р0. Его называют касательным пространством в точке Р0 к пространству Е2, в области

D которого задан вектор смещения P0 P.

Теорема 1.1 (необходимые условия дифферецируемости).

Пусть функция f(P) определена на открытой области D En и дифференцируема в точке P0 D . Тогда в этой точке Р0 функция f(P) непрерывна, имеет производную по любому направлению l,

ления l, в частности, f(P) имеет частную производную по каждой

k =1, 2,..., n , и даже производную по любому направлению l в некоторой точке, но не быть в этой точке дифференцируемой.

Пример 1.1. Показать, что у функции

f (x1 , x2 ) = 0, x1 x2 = 0,1, x1 x2 ≠ 0

существуют обе частные производные в точке О (0,0), но она не является дифференцируемой в этой точке.

Решение. Эта функция имеет частные производные в точке

О(0,0).

10