Сандракова Функтсии многикх переменныкх 2015

мум функции f (x, y, z) . Устойчивое равновесие будет в точке условного минимума.

Пример 3.3. Пусть u = xyz; ϕ1 = x2 + y2 + z2 −1; ϕ2 = x + y + z .

Найти условные экстремумы (метод Лагранжа). Решение. Функция Лагранжа имеет вид

Φ(x, y, z;λ1 ,λ2 ) = xyz + λ1 (x2 + y2 + z2 −1) + λ2 (x + y + z) .

Получаем систему уравнений

yz +λ1 2x + λ2 = 0;xz +λ1 2 y + λ2 = 0;xy +λ1 2z + λ2 = 0;

x2 + y2 + z2 =1;x + y + z = 0.

Суммируя три первых уравнения системы и учитывая тождество

и учитывая последнее уравнение системы, находим координаты точек

в которых функция и может иметь условные экстремумы.

Для того чтобы проверить, действительно ли и имеет экстремумы в этих точках и какие, воспользуемся достаточным условием:

41

d 2Φ = 2λ ((dx)2 + (dy)2 + (dz)2 ) + 2xdydz + 2 ydxdz + 2zdxdy;dx + dy +1dz = 0;

xdx + ydy + zdz = 0.

Для первой и второй точек из последних двух уравнений следует dx = dy; dz = 0. В первой точке d 2Φ = 6(dx)2 , а во второй точке

d 2Φ = − 6(dx)2 . В обоих случаях d 2Φ – знакопостоянная квадра-

тичная форма: положительно определённая для первой точки и отрицательно определённая для второй точки. Следовательно, в первой точке – строгий условный минимум, а во второй точке – строгий условный максимум.

Поскольку те выражения, которые задают функцию u и функции ϕ1, ϕ2 в уравнениях связи, не изменяют своего вида при произвольной перестановке переменных х, у, z (т.е. симметричны относительно этих переменных), то, следовательно, в третьей и пятой точках достигается строгий условный минимум, а в четвёртой и шестой – строгий условный максимум. Значит, первая, третья и пятая точки являются точками устойчивого равновесия.

4. Независимые системы функций

Определение 4.1. Пусть на открытом множестве G Rn заданы непрерывно дифференцируемые функции

Если существуют открытое множество D в пространстве Rm–1 переменных y1, ..., ym–1 и непрерывно дифференцируемая на D

функция Φ( y1 ,…, ym−1 ) , такие, что в любой точке x G выполня-

ются условия (ϕ1 (x),…, ϕm−1 (x)) D и Φ(ϕ1 (x),…, ϕm−1 (x)) = ϕm (x) ,

то функция ϕm называется зависимой на множестве G от функций

ϕ1 ,…, ϕm−1 .

Функции (4.1) называются зависимыми на множестве G, если среди них найдется функция, зависимая от остальных на множестве

G.

42

Функции (4.1) называются независимыми на множестве G, если ни одна из них не зависит от остальных ни на множестве G, ни на любом открытом подмножестве множества G.

Пример 4.1. Для функций:

y1 = x1 + x2 +…+ xn ;

y2 = (x1 )2 + (x2 )2 +…+ (xn )2 ;

y3 = x1 x2 + x1 x3 +…+ x1 xn + x2 x3 +…+ xn−1 xn

во всем n-мерном пространстве выполняется тождество

y2 = ( y1 )2 − 2 y3 .

Следовательно, это пример зависимых на всем пространстве Rn функций.

Пример 4.2. Функции:

y1 = x1 x2 − x3 ; y2 = x1 x3 + x2 ;

y3 = ((x1 )2 +1)((x2 )2 + (x3 )2 ) −((x1 )2 −1)x2 x3 –

– x1 ((x2 )2 −(x3 )2 ) + ex1 (x2 +x3 )+x2 −x3

на всём пространстве Rx31 ,x2 ,x3 удовлетворяют тождеству

y3 = ( y1 )2 − y1 y2 + ( y2 )2 + ey1 +y2 ,

и, значит, это тоже пример зависимых функций.

Пример 4.3. Покажем, что функции y1 = x1 + x2 и y2 = x1 − x2 независимы в любой области пространства Rx21 , x2 .

Решение. Действительно, предположим, что существует

область G Rx21 ,x2 (рис. 4.1), на

которой у1 выражается через функцию у2. Значит, согласно определению, найдётся такая

43

В окрестности произвольной внутренней точки M 0 (x10 , x02 ) G радиуса δ > 0 , такого, что Uδ (M0 ) G , рассмотрим непустые множества

Γ1 ={(x1 , x2 ); (x1 , x2 ) Uδ (M0 ) : x1 + x2 = C1} , Γ2 ={(x1 , x2 ); (x1 , x2 ) Uδ(M0 ) : x1 − x2 = C2 } .

Очевидно, что такие множества существуют, и в качестве примера

x1 (a,b) (x01 −δ, x01 + δ) .

Мы пришли к противоречию, и, следовательно, наше предположение неверно, т.е. у1 не зависит от у2 на G. Аналогично, предполагая, что y2 выражается на G через y1, и рассуждая подобным образом, также приходим к противоречию. Следовательно, функции у1, у2 независимы.

Ответ на вопрос о независимости функций даёт рассмотрение так называемой матрицы Якоби, составленной из частных производных этих функций по всем независимым переменным:

Теорема 4.1 (необходимые условия зависимости функций).

Пусть т ≤ п и функции (4.1) зависимы на открытом множестве G.

44

Тогда в любой точке этого множества ранг матрицы Якоби этого набора функций меньше т.

Теорема 4.2 (достаточные условия независимости функций).

Пусть т ≤ п и хотя бы один минор m-го порядка матрицы Якоби для набора функций (4.1) отличен от нуля на открытом множестве G. Тогда на этом множестве функции (4.1) независимы.

Теорема 4.3 (достаточные условия зависимости функций).

Пусть ранг матрицы Якоби набора функций (4.1) в каждой точке

минор порядка r матрицы Якоби:

Тогда существует окрестность точки M0, такая, что все r функций, входящих в этот минор, независимы в этой окрестности, а любая из оставшихся r – m функций зависит в этой окрестности от указанных r функций.

Рангом матрицы Якоби на множестве G называется наивысший из порядков миноров этой матрицы, которые не обращаются в нуль тождественно на G.

Рассмотрим несколько примеров применения теорем 4.1–4.3 для исследования зависимости функций.

В примере 4.1 матрица Якоби имеет вид

Если к элементам третьей строки этой матрицы прибавить, соответственно, элементы второй, умноженные на 1/2, то получится строка, состоящая (подобно первой) из равных элементов. Отсюда

45

следует, что все миноры третьего порядка равны нулю. Ранг матрицы Якоби на пространстве Rn (и на любом его открытом подмножестве) равен двум (заметим, что в качестве минора второго порядка матрицы Якоби, который не обращается в нуль тождественно на любом открытом подмножестве пространства Rn, можно взять любой минор второго порядка этой матрицы). И действительно, любые две функции из трёх независимы, а третья зависит от этих двух.

Аналогично, и в примере 4.2 единственный возможный минор третьего порядка матрицы Якоби – определитель этой матрицы – равен нулю тождественно на пространстве R3, а любой минор второго порядка этой матрицы не обращается в нуль тождественно на любом открытом подмножестве пространства R3.

Матрица Якоби функций в примере 4.3 имеет вид

и, следовательно, поскольку её ранг в каждой точке плоскости R2 равен 2, выполняется достаточное условие независимости этих функций как на всей плоскости, так и в каждом её открытом подмножестве.

В курсе линейной алгебры вводится понятие линейной зависимости функций. Если функции (4.1) линейно зависимы на множестве G, то, следовательно, хотя бы одна из этих функций выражается в виде линейной функции от остальных. Допустим,

ϕm (x) = α1ϕ1 (x) + α2 κ2 (x) +…+ αm−1ϕm−1 (x) .

Таким образом, линейная зависимость функций является частным случаем зависимости функций (функция Φ( y1 ,…, ym−1 ) в этом

m−1

случае является линейной: ym (x) = Φ( y1 ,…, ym−1 ) = ∑αk yk ). С дру-

k=1

гой стороны, из линейной независимости функций не следует их независимость. Например, зависимые функции в примере 4.1 являются линейно независимыми.

Возможны случаи, когда в одной части рассматриваемого множества имеет место одна зависимость функций (в смысле опреде-

46

ления зависимости), а в другой осуществляется другая зависимость, или же функции оказываются независимыми и т.п.

Пример 4.4. Исследуем на зависимость пару функций двух переменных x1, x2, заданных на плоскости R2:

Решение. Матрица Якоби этих функций имеет вид:

I. В первом координатном углу ранг матрицы Якоби равен 2, и, следовательно, функции у1 и у2 независимы.

II. Во втором координатном углу ранг матрицы Якоби равен 1, и у1 зависит от у2: y1 = Φ( y2 ) , где Φ( y2 ) = 0 . Функция у2 не зависит

от функции у1.

III. В третьем координатном углу ранг матрицы Якоби равен 0, функция у1 зависит от у2: y1 = Φ( y2 ) , и функция у2 зависит от у1: y2 = Φ( y1 ) , где Φ( y) =0 .

IV. В четвёртом координатном углу ранг матрицы Якоби равен 1, и функция у2 зависит от y1 : y2 = Φ( y1 ) , где Φ( y1 ) = 0 . Функция

максимальной системой независимых первых интегралов.

47

Решение. Проверим, выполняется ли для заданных соотношений критерий первого интеграла:

2x x( y2 − z2 ) − 2 y y(z2 + x2 ) + 2zz(x2 + y2 ) ≡ 0 ,

− xyz2 x( y2 − z2 ) − xz y(z2 + x2 ) + xy z(x2 + y2 ) ≡ 0 .

Итак, заданные соотношения являются первыми интегралами и, поскольку для заданной системы максимальное число независимых первых интегралов равно двум, остаётся проверить независимость указанных в условии первых интегралов. Матрица Якоби для

и её минор второго порядка

не обращается в нуль ни на каком открытом подмножестве трёхмерного пространства Rx3, y,z . Значит, ранг матрицы Якоби равен 2

на общей части областей определения функций ϕ1 и ϕ2, и, следовательно, первые интегралы независимы.

Пример 4.6. Проверить, являются ли независимыми первые ин-

48

Все три возможных для данной матрицы минора второго порядка обращаются тождественно в нуль на общей части областей определения функций ϕ1 и ϕ2, и, следовательно, ранг матрицы Якоби меньше2. Значит, указанныев условии первыеинтегралы зависимы.

5.Дифференцируемые отображения евклидовых пространств. Дифференциал отображения

Пусть Rm – координатное евклидово пространство со стандартным скалярным произведением. Точками Rm являются точки P(x1 ,…, xm ) , которые для удобства, как и ранее, будем обозначать

как x = (x1 ,…, xm ) ; r = OP ={x1 ,…, xm} – радиус-вектор точки

m

P(x1 ,…, xm ) ; x = r = OP = (x, x) = ∑(xk )2 .

k =1

Рассмотрим отображение f : G → Rn , где G – область евклидо-

ва пространства Rm, а Rn – п-мерное евклидово координатное пространство.

Определение 5.1. Отображение f называется непрерывным в точке x0 G , если для каждой окрестности V ( f (x0 )) точки

f (x0 ) = y0 существует окрестность U (x0 ) точки х0, так что

U (x0 ) G и f (U (x0 )) V ( f (x0 )) , т.е. f непрерывно в точке x0 G ,

если V ( f (x0 )) U (x0 ) G : f (U (x0 )) V ( f (x0 )) .

Определение 5.2. Отображение f : G → Rn называется непре-

рывным на области G Rm , если оно непрерывно в каждой точке области G.

Пусть точка x G имеет координаты (x1 ,…, xm ) = x , а точка y = f (x) Rn имеет координаты ( y1 ,…, yn ) = y . Тогда отображение f может быть представлено в координатах системой функций: y j = f j (x1 ,…, xm ) , j =1, 2,…,n .

Тогда непрерывность отображения f : G → Rn эквивалентна непрерывности каждой функции f j (x1 ,…, xm ) на области G Rm .

49

L(x) : Rm → Rn называется дифференциалом отображения f в точке x, или касательным отображением в точке х, или производной отображения в точке х, и обозначается df (x) , Df (x) или f ′(x) . Тогда в этих обозначениях

f (x,h) = f (x + h) − f (x) = f ′(x)h +ω(x, h)

(или f (x,h) = df (x)h +ω(x,h) ); f ′(x)h – образ вектора смещения h под действием отображения f ′(x) или df (x) , т.е. дифференциал

отображения определён на векторах смещения h Rm .

Чтобы это подчеркнуть, берётся другой экземпляр пространства Rm в точке x и обозначается TxRm – касательное пространство в точ-

ке x. Тогда h Tx Rm . У образа y = f (x) Rn точки x также берется касательное пространство Tf ( x) Rn , и тогда дифференциал отображения f : G → Rn в точке x G есть линейное отображение

df (x) : Tx Rm →Tf ( x) Rn .

50