Сандракова Функтсии многикх переменныкх 2015
.pdfНайдем дифференциал от обеих частей полученных тождеств:
∂F1 |
dx1 +…+ |
|
∂F1 |
dxm + |
∂F1 |
dy1 +…+ |
∂F1 |
dyn ≡ 0 ; |
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||||
∂x |
|
|
∂x |
m |
|
∂y |
|
∂y |
n |
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
∂F2 |
dx1 +…+ |
∂F2 |
|
dxm + |
∂F2 |
dy1 +…+ |
∂F2 |
dyn ≡ 0 ; |
(2.19) |
||||
|
|||||||||||||
∂x |
|
∂x |
m |
|
∂y |
|
∂y |
n |
|
|
|||
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
∂∂Fx1n dx1 +…+ ∂∂xFmn dxm + ∂∂Fyn1 dy1 +…+ ∂∂Fynn dyn ≡ 0 .
Рассмотрим полученные равенства как систему уравнений относительно дифференциалов dy1 ,…, dyn . Заметим, что определителем этой системы является якобиан системы функций
Fi (x1 ,…, xm , y1 ,…, yn ) (i =1,2,…, n) по переменным y1 ,…, yn , который в силу выполнения условий теоремы отличен от 0. Поэтому, в силу теоремы Крамера, эта система однозначно разрешима.
Сравнивая |
затем найденные |
из (2.19) выражения для |
|||
dyi (i =1,…, n) |
с выражениями: |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
dy1 = ∂y1 dx1 |
+…+ |
∂y |
dxm ; |
|
|
m |
||||
|
∂x |
|
|
∂x |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
|
n |
|
∂yn |
1 |
|
∂yn |
m |
|
|
|||
dy |
|
= |
1 |
dx |
+…+ |
|
|
dx |
|
, |
|
|
|
∂x |
m |
|
|
||||||||
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
||
можно получить значения |
производных |
∂yk |
(i =1,…, m; |
|||||||||
∂xi |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1,…,n) (это коэффициенты при dxi в выражении для dyk). Будем считать, что на 1-м шаге мы получили систему равенств:
dy1 = A1 (x1 ,…, xm , y1 ,…, yn )dx1 |
||||||
dy2 |
= B1 (x1 ,…, xm , y1 ,…, yn )dx1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
. . . . . . . . . . . . |
||||||
|
n |
1 |
m |
1 |
n |
1 |
dy |
|
= C1 (x ,…, x |
|
, y ,…, y |
|
)dx |
+…+ Am (x1 ,…, xm , y1 ,…, yn )dxm ;
+…+ Bm (x1 ,…, xm , y1 ,…, yn )dxm ;
. . . . . . . . . . . .
+…+Cm (x1 ,…, xm , y1 ,…, yn )dxm ; (2.20)
31
где |
A |
1 |
|
|
|
m |
1 |
|
|
y |
n |
) |
= |
∂y1 |
, |
B |
1 |
m |
1 |
n |
) = |
∂y2 |
, …, |
|
(x ,…, x |
|
, y ,…, |
|
∂xi |
(x ,…, x |
|
, y ,…, y |
|
∂xi |
|||||||||||||||
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂yn |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|||||
C |
1 |
,…, x |
m |
1 |
,…, y |
n |
) = |
(i =1, 2,…,m) . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
(x |
|
, y |
|
∂xi |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На следующем шаге необходимо найти 1-й дифференциал от обеих частей равенств в (2.20).
Запишем для примера, как будет выглядеть 1-я строка:
|
|
∂A |
|
|
∂A |
|
|
∂A |
|
∂A |
|
|
|||||
d 2 y1 = |
|
11 |
dx1 +…+ |
|
|
|
1 |
dxm + |
|
11 |
dy1 +…+ |
|
1 |
|
dyn dx1 |
+ |
|
|
∂x |
m |
∂y |
∂y |
n |
||||||||||||
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
∂A |
dx1 +…+ |
∂A |
|
dxm |
|
∂A |
dy1 +…+ |
∂A |
|
|
||||||
+ … + |
|
m1 |
∂x |
mm |
+ |
m1 |
|
mn |
dyn dxm . |
||||||||
|
∂x |
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
∂y |
|
|
|||||
Подставив сюда значения для |
dyi |
|
(i =1,…, n) |
из (2.20), полу- |
чим выражения для d2yk (k = 1, ..., n). Сравнив полученные выражения с
|
2 1 |
|
∂ |
1 |
|
∂ |
m 2 |
1 |
|
|||
d |
y |
= |
|
dx |
+…+ |
|
|
dx |
|
y |
|
; |
1 |
∂x |
m |
|
|||||||||
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
|
|
2 |
|
n |
|
∂ |
|
1 |
|
∂ |
|
m 2 |
n |
|
||
|
d |
|
y |
|
= |
|
dx |
|
+…+ |
|
|
dx |
y |
|
, |
|
|
|
|
1 |
|
∂x |
m |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
можно получить |
|
∂2 yk |
|
(i, j =1, 2,…, m; k =1,…,n) . |
||||||||||||
|
∂xi ∂x j |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для нахождения последующих производных процесс повторяет-
ся.
Пример 2.8. Найти dxdz и dydz , если
x + y + z =0; |
(2.21) |
|
x2 + y2 + z2 = 0. |
||
|
Решение. Для нахождения требуемых производных будем считать, что система (2.21) определяет переменные х и у как функции переменной z. Запишем матрицу Якоби
1 |
1 |
1 |
|
|
2x |
2 y |
. |
|
2z |
32
Рассматривается окрестность точки P0 (x0 , y0 , z0 ) , где x0 ≠ y0 , в
которой |
|
минор |
|
|
2-го |
|
|
|
|
|
порядка |
|
|
|
матрицы |
Якоби |
||||||||||
|
D(F1 , F2 ) |
= |
|
1 |
1 |
|
|
= 2( y − x) ≠ 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
2x |
2 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
D(x, y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Имеем далее dx + dy + dz ≡ 0; |
|
|
|
|
|
|
отсюда |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2xdx + 2ydy + 2zdz ≡ 0, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
z − y |
dz |
; |
dy = |
|
x − z |
dz . |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y − x |
|
|
|
|
y − x |
|
|
|||||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
dx |
|
|
z − y |
|
|
|
dy = |
z − x |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
; |
. |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
y − x |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
x − y |
|
|
||||||||
|
Пример 2.9. Найти |
∂2 z |
, |
∂2 z |
|
|
, |
∂2 z |
|
, если |
|
|
||||||||||||||
|
∂x2 |
∂x∂y |
∂y2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = u cos v; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.22) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = usin v; |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = v. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Для нахождения указанных производных будем считать, что система (2.22) определяет и = и(х, у), v = v(x, y), z = z(x, y). Далее имеем
dx − du cos v +u sin v dv ≡ 0;dy − du sin v −u cos v dv ≡ 0;
dz − dv ≡ 0.
Из первых двух уравнений найдём, что
du = cos v dx +sin v dy ; dv = − |
sin v |
dx + |
cos v |
|||||||
|
|
|||||||||
Из последнего уравнения следует |
|
|
u |
u |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
dz = − |
sin v |
dx + |
cosv |
dy . |
|
||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
u |
u |
|
||||||
Далее для решения задачи достаточно найти d 2 z : |
|
|||||||||
d 2 z = − |
u cos v dv −sin v du |
dx + |
−u sin v dv −cos v du |
|||||||
|
|
|
u2 |
|
||||||
|
u2 |
|
|
|
d .
dy =
33
= − |
cos v dx +sin v dy |
dv + |
sin v dx −cos v dy |
du = |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
cos v dx +sin v dy |
|
|
sin v |
|
|
|
|
cosv |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
dx + |
|
|
|
|
|
dy |
+ |
|
||||||||
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
u |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
+ |
|
sin v dx −cosv dy |
(cos v dx + sin v dy) = |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
u2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
sin 2v |
(dx)2 −2 |
cos 2v |
dxdy − |
sin 2v |
(dy)2 . |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Отсюда |
|
u2 |
|
|
|
|
u2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∂2 z |
= |
sin 2v |
; |
∂2 z |
= − |
cos2v |
; |
∂2 z |
= − |
sin 2v |
. |
|||||||||||||||||||||
∂x2 |
u2 |
∂x∂y |
|
|
|
u2 |
∂y2 |
u2 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Условный экстремум
Пусть G En , G – открытое множество. На G заданы функции f(x) и ϕi (x) , i =1, 2,…, m ; x = (x1 ,…, xn ) G . Обозначим через
E ={x : ϕi (x) = 0, |
i =1,…, m; x G} – |
(3.1) |
множество точек, в которых функции ϕi обращаются в нуль. |
||
Уравнения |
|
|
ϕi (x) = 0, |
i =1, 2,…,m, |
(3.2) |
называются уравнениями связи. |
|
|
Пусть на G задана функция y = f(x). Точка x0 E |
называется |
точкой условного экстремума функции f(x) относительно (или при выполнении) уравнений связи (3.2), если она является точкой обычного экстремума этой функции, рассматриваемой только на множестве E. (Точка x0 E называется точкой строгого условного
максимума (минимума) функции f(x) относительно уравнений свя-
зи (3.2), |
если ε > 0 : |
x Sε (x0 ) ∩E ; x ≠ x0 выполнено |
f (x) < f (x0 ) |
( f (x) > f (x0 ) |
для минимума).) |
Пример 3.1. Пользуясь методом исключения, найти условные экстремумы функции
f (x, y) = x2 + y2
34
относительно уравнения связи x + y – 1 = 0.
Решение. Функция f(x, у) является функцией двух переменных. Одно уравнение связи позволяет выразить одну переменную через оставшиеся, т.е. в данном случае через одну независимую перемен-
ную у = 1 – х.
При выполнении уравнения свя-
зи функция f(x, у) становится функцией одной переменной f (x) = f (x, 1 − x) = x2 +(1− x)2 = 2x2 −2x +1 .
Для функции одного переменного экстремум определяется по
необходимому условию |
′ |
. Поэтому 2x −1 = 0 x = |
1 |
– |
f (x) = 0 |
2 |
|||
точка минимума. Получили, что точка с координатами x = |
1 |
и |
||
|
|
|
2 |
|
y =1 − 12 = 12 является точкой условного экстремума функции f(x, у)
при наличии уравнения связи х + у – 1 = 0. Геометрически это означает, что точка параболоида z = x2 + y2 , находящаяся над точкой
12 ; 12 , является самой низкой из всех точек, лежащих над прямой
х + у = 1 (рис. 3.1).
Отметим, что (0; 0) – это точка обычного экстремума функции f (x, y) = x2 + y2 , т.е. в данном случае обычный и условный экстре-
мумы достигаются в разных точках.
Рассмотрим способ решения задачи об условном экстремуме, приведенный в примере 3.1, в общем случае.
Предположим, что:
1) функции f(x) и ϕi (x) , i =1, 2,…, m имеют непрерывные частные производные первого порядка на G;
35
2) |
m ≤ n и ранг матрицы |
D(ϕi ) |
, i =1, 2,…, m , |
j =1,…,n в ка- |
|||||||
j |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
D(x ) |
|
|
||
ждой точке множества Е равен т. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
D(ϕ ) |
|
|
|||||
Поскольку |
rang |
|
i |
|
= m , то хотя бы один из определителей |
||||||
|
j |
|
|||||||||
|
|
|
|
D(x |
) |
|
|
||||
вида |
D(ϕ1 ,ϕ2 ,…, ϕm ) |
отличен от нуля. Для определённости, пусть |
|||||||||
j |
j |
j |
m ) |
||||||||
|
D(x 1 |
, x 2 |
,…, x |
|
|
|
|
|
|
|
|
в точке x0 |
|
|
|
|
D(ϕ1 , ϕ2 ,…,ϕm ) |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
≠ 0 . |
(3.3) |
||||
|
|
|
|
|
|
D(xn−m+1 ,…, xn ) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Это означает, что функции системы (3.2) независимы, и в силу
теоремы о неявных функциях в некоторой |
окрестности точки |
x0 = (x01 ,…, x0n ) можно записать: |
|
xn−m+1 = ψ1 (x1 ,…, xn−m ) , |
|
. . . . . . . . . . . . . . . . . . |
(3.4) |
xn = ψm (x1 ,…, xn−m ) . |
|
Подставляя в функцию y = f(x) выражения (3.4), получим функцию
y = f (x1 , x2 ,…, xn−m ) = f (x1 , x2 ,…, xn−m , ψ1 ,…, ψm ) |
(3.5) |
от переменных x1 ,…, xn−m , определённую и непрерывно дифференцируемую в окрестности точки x0 = (x10 , x02 ,…, x0n−m ) .
Точка x0 является точкой (строгого) условного экстремума для функции f(x) относительно уравнений связи (3.2) тогда и только тогда, когда точка x0 является точкой обычного (строгого) экстре-
мума функции f (x1 , x2 ,…, xn−m ) .
Метод сведения задачи об условном экстремуме к задаче об обычном экстремуме удобен в случае, когда система (3.2) легко разрешима. Однако на практике часто решение (3.2) в явном виде бывает либо невозможно, либо весьма затруднительно. В этих случаях для решения задачи об условном экстремуме может быть использован метод множителей Лагранжа.
36
Определим функцию Лагранжа |
|
Φ(x;λ1 ,…,λm ) = f (x) +λ1ϕ1 (x) +…+λmϕm (x) , |
(3.6) |
где λ1 ,…, λm – произвольные числа.
При произвольных λ1 ,…, λm точка условного экстремума для f(x) является точкой условного экстремума и для Φ(x;λ1 ,…,λm ) (и наоборот), поскольку на множестве E допустимых точек ϕi ≡ 0 и
f(x) совпадает с Φ(x;λ1 ,…,λm ) .
Теорема 3.1 (необходимые условия). Пусть точка x0 является точкой условного экстремума функции f(x) при выполнении уравнений связи (3.2). Тогда существуют такие числа λ1 ,…, λm , что в точке
x0 выполняются условия |
|
∂ϕm |
|
|
|||
|
∂f |
+λ |
∂ϕ1 |
+…+ λ |
= 0 , i =1, 2,…,n . |
(3.7) |
|
|
∂xi |
1 ∂xi |
m ∂xi |
||||
|
|
|
|
|
Следствие. Уравнения (3.7) можно рассматривать как запись
равенства нулю частных производных |
∂Φ |
функции |
|
∂xi |
|
Φ(x;λ1 ,…,λm ) , определённой в (3.6). Тогда теорему можно пере-
формулировать следующим образом. Если точка x0 является точкой условного экстремума для f(x), то существуют такие числа λ1 ,…, λm , что в точке x0
∂∂Φxi = 0 , i =1, 2,…,n ,
т.е. x0 – стационарная точка для Φ(x;λ1 ,…,λm ) .
Доказательство. Пусть x0 = (x10 ,…, x0n ) – точка условного экстремума для f(x), и пусть в этой точке, для определённости, выполняется условие (3.3). Тогда точка x0 = (x10 ,…, x0n−m ) является точкой
обычного экстремума для функции f , и поэтому в точке ~x0 df (x1 ,…, xn−m ) = 0 .
Пользуясь инвариантностью формы первого дифференциала для f, имеем
df (x1 ,…, xn−m , ψ1 ,…,ψm ) = 0
или
37
|
|
∂f |
dx1 +…+ |
∂f |
dxn = 0 . |
(3.8) |
||
|
|
1 |
n |
|||||
|
|
∂x |
|
|
∂x |
|
|
|
Дифференциалы от уравнений связи имеют вид |
|
|||||||
∂ϕi |
dx1 +…+ ∂ϕi dxn = 0 , |
i =1, 2,…, m . |
(3.9) |
|||||
∂x |
|
|
∂x |
n |
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|||
В формулах (3.8), |
(3.9) |
дифференциалы dx1 ,…, dxn−m – диффе- |
||||||
ренциалы независимых |
переменных, |
а дифференциалы |
dxn−m+1 , …,dxn – дифференциалы функций ψ1 ,ψ2 ,…,ψm в точке x0.
Умножим равенства (3.9) для ϕi на произвольные константы λi, i =1, 2,…, m , и, сложив их между собой и с равенством (3.8), полу-
чим
n |
∂f |
|
m |
∂ϕ |
i |
|
|
|
∑ |
|
|
+ ∑λi |
|
dx j = 0 . |
(3.10) |
||
∂x |
j |
∂x |
j |
|||||
j=1 |
|
|
i=1 |
|
|
|
Отметим, что первые n – m дифференциалов dxj являются независимыми, а dxn−m+1 ,…, dxn выражаются через dx1 ,…, dxn−m .
Выберем λ1 ,…,λm так, чтобы в точке x0 сомножители при зави-
симых дифференциалах обратились в нуль, т.е. выполнялись равенства
∂f |
m |
∂ϕji |
|
|
|
+ ∑λi |
= 0 , j = n −m +1,…, n . |
(3.11) |
|||
j |
|||||
∂x |
i=1 |
∂x |
|
|
Это всегда возможно, так как система (3.11) является системой m линейных относительно λ1 ,…,λm уравнений с определителем
D(ϕ1 ,…,ϕm ) |
≠ 0 |
|
D(xn−m+1 ,…, xn ) |
||
|
(см. условие (3.3)).
Таким образом, уравнение (3.10) приводится к виду
n−m ∂f |
|
m |
∂ϕ |
|
|
||
∑ |
|
|
+∑λi |
|
ji |
dx j = 0 |
, |
∂x |
j |
∂x |
|||||
j=1 |
|
i=1 |
|
|
|
где dx1 ,…, dxn−m – дифференциалы независимых переменных, откуда и следует, что
38
∂f |
m |
∂ϕji |
|
|
|
+ ∑λi |
= 0 , j =1, 2,…,n −m . |
(3.12) |
|||
j |
|||||
∂x |
i=1 |
∂x |
|
|
Следовательно, доказано существование таких λ1 ,…,λm , что
выполнены условия (3.11) и (3.12), т.е. условия (3.7) теоремы.
Для решения задачи об условном экстремуме с использованием метода множителей Лагранжа составим функцию Ф(х) (см. (3.6)). Далее, получим систему, которая состоит из п уравнений (3.7), определяющих равенство нулю частных производных Φ(x;λ1 ,…,λm ) ,
и т уравнений связи (3.2):
∂f |
|
m |
∂ϕ |
|
|
||
|
|
|
+ ∑λi |
|
ji |
= 0, j = |
1, 2,…, n; |
∂x |
j |
∂x |
|||||
|
|
i=1 |
|
|
|
||
|
|
(x) = 0, k =1, 2,…, m. |
|
||||
ϕk |
|
Эта система определяет координаты точки x0 и коэффициенты λ1 ,…,λm , т.е. п + т неизвестных. Решая систему (3.13), лучше сна-
чала выразить λi. Сформулируем также достаточные условия экстремума.
Теорема 3.2 (достаточные условия). Если точка x0 = (x10 ,…, x0n )
удовлетворяет уравнениям связи (3.2) и является стационарной для функции Лагранжа (3.6), и если второй дифференциал функции Лагранжа в этой точке является положительно (отрицательно) оп-
ределённой квадратичной формой переменных dx1 ,…,dxn при условии, что они удовлетворяют системе уравнений (3.9), то точка х0 является точкой условного строгого минимума (максимума) для функции f ( x) относительно уравнений связи (3.2).
Значит, например, если:
1) |
x0 E ; |
|
|
|
|||
2) |
∂f |
+ λ |
|
∂ϕ1 |
+…+ λ |
∂ϕm = 0 , j =1,…,n в точке х0; |
|
∂x j |
1 ∂x j |
||||||
|
|
|
m ∂x j |
||||
3) |
d 2Φ >0 |
( d 2Φ <0 ) при условии dϕk =0 , k =1,…, m в точке |
х0, то х0 – точка условного строгого минимума (максимума).
39
Пример 3.2. Пользуясь методом Лагранжа, найти точки экстремума функции f (x, y) = xy , когда точка (х, у) лежит на прямой
х – у = 0.
Решение. Функция Лагранжа
Φ(x, y;λ) = f (x, y) +λϕ(x, y) = xy +λ(x − y) .
Запишем систему для определения коэффициента λ и координат
(x0 , y0 ) :
∂Φ = 0;
∂x
∂Φ = 0;
∂y
ϕ(x, y) = 0
y + λ = 0;
x − λ = 0;
x − y = 0
|
λ = x; |
|
x = 0; |
|
|
|
|
x + y = 0; |
y = 0; |
||
|
|
|
|
|
x − y = 0 |
|
λ = 0. |
Точка (0;0) удовлетворяет необходимому условию экстремума. Второй дифференциал и уравнение связи в дифференциальной форме
d 2Φ = 2dxdy; d 2Φ = 2(dx)2 .dx −dy = 0
Заметим, что второй дифференциал d 2Φ = 2dxdy , являющийся
знакопеременной квадратичной формой в случае независимых переменных dx и dy, при выполнении уравнений связи (т.е. условия dx = dy) становится положительно определённой квадратичной формой переменной dx. Значит, в точке (0; 0) достигается строгий условный минимум функции f(x, y).
Предположим, что материальная точка находится под действием силы, которой соответствует потенциальная энергия, заданная функцией f (x, y, z) . Если эта точка может двигаться лишь по по-
верхности, определяемой уравнением ϕ(x, y,z) =0 (или по линии, которая задается системой двух уравнений
ϕ1 (x, y, z) = 0;ϕ2 (x, y, z) = 0,
соответственно, как линия пересечения двух поверхностей), то положение её равновесия будет определяться как условный экстре-
40