Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сандракова Функтсии многикх переменныкх 2015

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2022

Размер:

1.39 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 77

Таким образом, в каждой точке x = (x1 , x2 , ..., xn ) , где справед-

ливы равенства (5.1), (5.2), дифференциал отображения df (x) = L(x) h может быть вычислен по формуле

∂f 1		...
	∂x1

df (x) = ... ...
	∂f n ...
	∂x1

1
∂f	1
n	1
∂x	h	=
...	...	=
∂f n	hn
∂xn

D( f 1 , f 2 , ...,				f n )				1
D( f 1 , f 2 , ...,				f n )			h
							...		.
	1	2			n		...		.
D(x	, x		, ...,	x		)	hn

6. Задачи для самостоятельного решения

Дифференцируемая функция многих переменных. Дифференциал функции в точке.

Частные производные и дифференциалы высших порядков

1. Доказать, что функция

3		+ y	3
	x			, x2		+ y2 ≠ 0;
	2	+ y	2
f (x, y) = x
				x	2	+ y	2	= 0
0,

имеет в точке O(0, 0)

частные производные,

но не дифференци-

руема в этой точке.

Исследуйте, имеет ли функция

f (x, y) = 3

x sin y частные

производные в окрестности точки O(0, 0)

и непрерывны ли они в

точке O(0, 0) .

Найти fx′(0, 0) и

fy′(0, 0) , если

f (x, y) = cos 3

xy . Является ли

f (x, y) дифференцируемой в точке O(0, 0) ?

Доказать, что функция

− y

, x2 + y2 ≠ 0;

+ y

f (x, y) =

+ y

= 0

имеет в точке O(0, 0)		смешанные частные производные второго
порядка, но при этом fxy′′(0, 0) ≠ fyx′′(0, 0) .
5. Найти	частные	производные	второго	порядка функции
f (x, y) = xy .
6. Найти	градиент	функции	f в	точке M0 , если

f(x, y, z) = arctg (xy / z2 ) , M0 (0,1, 2) .

7.Найти производную функции f в точке M1 по направлению

вектора M1M2 , если			f (x, y, z) = arcsin					z			,	M1	(1,1,1) ,
вектора M1M2 , если			f (x, y, z) = arcsin					x2			,	M1	(1,1,1) ,
								x2	+ y2
M2 (1, 5, 4) .
8. Найти дифференциал				функции f (x, y) в						точке		M0	, если
f (x, y) = ln arcsin (x + y	3	) , M			3
				0		, 0	.
				0		, 0	.
					2
					2

9. Найти второй дифференциал функции f (x, y) = xey , если x и y – независимые переменные.

Неявные функции

10. Определить, является ли уравнение x3 + y3 − x − y = 6 одно-

значно разрешимым (определяет единственную дифференцируемую неявную функцию вида y = f (x) в окрестности точки (1, 2)).

Вычислите f ′(1) и f ′′(1) .

11. Найти первую и вторую производные неявной функции вида

y = f (x) , заданной уравнением ln x2 + y2 = arctg	y	.

	x

12. Найти дифференциалы первого и второго порядков неявной функции вида z = f (x, y) , заданной уравнением

xz = ln zy +1 .

13. Найти производные первого и второго порядков неявных функций x(z) и y(z) , заданных системой уравнений

x2 + y2 − 2z =1;

x + xy + y + z =1.

14. Найти дифференциалы первого и второго порядков неявных функций u(x, y) и v(x, y) , заданных системой уравнений

u + v = x + y;
		x
sin u	=		.

		y
sin v

Условный экстремум

15. Пользуясь методом исключения, найти условные экстремумы функции u(x, y, z) = xyz относительно уравнений связи x + y + z = 6 , x + 2 y +3z = 6 .

16. Пользуясь методом Лагранжа, найти условные экстремумы

функции	u(x, y) = 2x2 +12xy + y2 относительно уравнения связи
x2 + 4 y2	= 25 .

17. Пользуясь методом Лагранжа, найти условные экстремумы функции u(x, y, z) = x2 + y2 + z2 относительно уравнений связи

	x2	+ y2 + z2 =1 , x + y + z = 0 .
	4	+ y2 + z2 =1 , x + y + z = 0 .
	4

Независимые системы функций

18.Доказать, что функции y1 = x1 + x2 и y2 = x1 x2 независимы в любой окрестности точки O(0, 0) .

19.Даны функции

						1		2				1
	(x1 )2	, x1 ≥ 0;	y		(x )				,			x		≥ 0;	< 0;
y =			y	2	= 0,							−	1 < x		< 0;
1				2										1
	0,	x1 < 0,				1				2		1
						1	+1)			2	,	1		≤ −1.
					(x		+1)				,	x		≤ −1.

Доказать, что y1 зависит от y2 в некоторой окрестности любой точки числовой прямой Ox1 , но y1 не зависит от y2 на всей число-

вой прямой.

20. Исследовать вопрос о зависимости функций y1 = x1 + x2 + x3 + x4 ,

y2 = x1 − x2 + x3 − x4 ,

y3 = (x1 + x3 )2 + (x2 + x4 )2 .

Дифференцируемые отображения евклидовых пространств. Дифференциал отображения

21. Найти		в	точке		π,	π	дифференциал			отображения
					4	4
f : R2	→ R3 с координатными функциями
x	y
				y1 = 2cos x1 cos x2 ,
				y2	= 2cos x1 sin x2 ,
					y3 =	2 sin x1 .
22. Найти		якобиан		D(x, y, z)			отображения			x = r cos ϕcos ψ,
22. Найти		якобиан		D(r, ϕ, ψ)			отображения			x = r cos ϕcos ψ,
				D(r, ϕ, ψ)
y = r sin ϕcos ψ, z = r sin ψ .
					Ответы
2. Частная		производная			fx′	существует в		окрестности точки
O(0, 0) , за исключением точек (0, y) , y ≠ kπ,								k		; производная
fx′ разрывна в точке O;				частная производная				fy′	существует в ок-
рестности точки O и непрерывна в этой точке.
3.	fx′(0, 0) = 0 ,		fy′(0, 0) = 0 .			Данная функция			в	точке O(0, 0)
дифференцируема, причем df (0, 0) = 0 .
5.	fxx′′ = y( y −1)xy−2 , fxy′′ = xy −1 (1+ y ln x) , fyy′′ = xy (ln x)2 .

6.4i .

7.15 .

8.π6 dx .

9.d 2 f = 2ey dxdy + xey dy2 .

10.f ′(1) = −0,4 ; f ′′(1) = −0,72 .

11.	y′ =	x + y				y′′=				2(x2 + y2 )
				,											.
			x − y	,							(x − y)3				.
12.	dz =		z				( ydx + zdy) ,							d		2 z =			−z2							( ydx − xdy)2 .
12.	dz =		y(x + z)				( ydx + zdy) ,							d		2 z =		y2 (x + z)3								( ydx − xdy)2 .
			y(x + z)															y2 (x + z)3
13.	y′ = −x′ =					1		, y′′ = −x′′ =								2				.
13.	y′ = −x′ =				y − x			, y′′ = −x′′ =								(x − y)3				.
14.	du = (sin v + x cos v) dx +(x cosv −sin u) dy ,
										y cosu + xcos v
dv = ( y cosu −sin v) dx + ( y cos u +sin u) dy																							,
							y cosu + x cos v
d 2u = −d 2v = (2cos v dx − xsin v dv) dv −(2cosu dy − y sin u du) du .
																y cosu + x cos v
15. Условный						максимум								u(6, 0, 0) =0 ,											условный			минимум
u(2, 8, −4) = −64 .
16.	Два условных минимума u(3, −2) =u(−3, 2) = −50																											и два ус-
												3					3				425
ловных максимума u									4,				= u		−4, −				=						.
ловных максимума u									4,			2	= u		−4, −		2		=		4				.
												2					2				4
17.	Два условных минимума
								1					1						1					1
			u			0,					,	−		=u 0,				−				,					=1
			u			0,			2		,	−		=u 0,				−	2			,					=1
									2				2						2						2

и два условных максимума

				2				1		1					2			1
		u				,	−		, −		=u −					,			,
		u			3	,	−	3	, −		=u −				3	,		3	,
					3			3		3					3			3
20. Функции y1 ,							y2 ,		y3	зависимы в E4 .
	π		π			−1			−1	h1			−h1 − h2
21.	π	,	π		=		−1		1	h1				1	+ h		2
21.	df	,	4		=		−1		1		2	=	−h		+ h			.
	4		4				1		0	h					1
							1		0					h

22.D(x, y, z) = r2 cos ψ . D(r, ϕ, ψ)

1 = 2 .

Список рекомендуемой литературы

1.Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. М.: Физматлит,

1999.

2.Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: Изд-во Моск. ун-та, ЧеРо, 1997.

3.Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотичная динамика", 2000.

4.Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1. М.: Физматлит, 2001.

5.Зорич В.А. Математический анализ. Часть 1. М.: Фазис,

1997.

6.Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Часть 1. М.: Физматлит, 2005.

7.Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Том 2. М.:

Дрофа, 2004.

8.Сборник задач по математическому анализу. Функции нескольких переменных / Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин; под ред. Л.Д. Кудрявцева. СПб.: ГП «Техническая книга», 1994.

9. Математический анализ в вопросах и задачах / В.Ф. Бутузов, Н.Ч. Крутицкая, Г.Н. Медведев, А.А. Шишкин; под ред. В.Ф. Бутузова. М.: Физматлит, 2000.

10. Сандракова Е.В., Сумин Е.В. Дифференциальные формы на гладких многообразиях. М.: НИЯУ МИФИ, 2014.

	Содержание
Введение ......................................................................................................		3
1.	Дифференцируемая функция многих переменных.
Дифференциал функции в точке. Частные производные
и дифференциалы высших порядков ...........................................................		6
2.	Неявные функции ...................................................................................	18
3.	Условный экстремум .............................................................................	34
4.	Независимые системы функций ............................................................	42
5.	Дифференцируемые отображения евклидовых пространств.
Дифференциал отображения .....................................................................		49
6.	Задачи для самостоятельного решения...................................................	61
Список рекомендуемой литературы ..........................................................		67

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 77

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]