Сандракова Функтсии многикх переменныкх 2015

имеет производной Fу′(1,0) .

Замечание 2.3. Приведенные примеры показывают, что в случае невыполнения условия Fу′(x0 , y0 ) ≠ 0 нельзя утверждать, что урав-

нение (2.1) не является однозначно разрешимым в некоторой окрестности точки (x0 , y0 ) . В этом случае необходимо провести допол-

нительную проверку.

Пример 2.3. Определить, является ли уравнение

21

определяет на плоскости лемнискату (рис. 2.2). Очевидно, что вопрос об однозначной разрешимости (2.4) в окрестности N(а; 0) относительно y эквивалентен вопросу о возможности установления вза-

имно однозначного соответствия с помощью проектирования (ортогонального) между дугой, содержащей точку N (а; 0), и отрезком оси Ох. Этот последний вопрос решается отрицательно, так как лемниската симметрична относительнооси Ох. На рисункепоказаны точки А и В, симметричные относительно оси Ох, каждому х1 в окрестности точки N соответствуют два значения y .

Заметим, что в окрестности N (а; 0) уравнение (2.4) однозначно разрешимо относительно х: Fx′(a ;0) ≠ 0 .

в) F(0;0) =0 , Fy′(0;0) = Fx′(0;0) = 0 grad F(x; y) |O(0,0) =θ .

В силу симметрии лемнискаты относительно осей Ох и Оу (см. рис. 2.2) в окрестности точки О(0; 0) нельзя установить взаимно однозначное соответствие ни с отрезком оси Ох, ни с отрезком оси Оу. На рисунке показаны точки D и E, симметричные относительно оси Ох, каждому х2 в окрестности точки O соответствуют два значения y . Соответственно, точки D и С симметричны относительно оси Оy,

каждому y2 в окрестности точки O соответствуют два значения x .

называется особой точкой уравнения (2.1).

В соответствии с определением (2.2) точка (0;0) является осо-

бой точкой уравнения (2.4).

Определение 2.3. Особая точка называется изолированной, если существует ее окрестность, в которой она является единственной особой точкой.

Введем обозначения:

Fxx′′(x0 , y0 ) = Fxx0 ; Fxy′′(x0 , y0 ) = Fxy0 ; Fyy′′(x0 , y0 ) = Fyy0 .

22

Теорема 2.2. Пусть функция F(x, y) определена и дважды непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности изолированной особой точки уравнения (2.1) и пусть

Fxx0 Fyy0 −(Fxy0 )2 ≠ 0 .

Тогда, если

то (x0 , y0 ) является изолированным решением уравнения (2.1) (т.е.

значно: имеются две различные дифференцируемые функции, удовлетворяющие (2.1). (В этом случае (x0 , y0 ) называется двой-

ной точкой.)

Пример 2.4. Определить: а) характер особой точки (0, 0) для уравнения (2.4); б) особые точки уравнения

Следовательно, потеореме 2.2 точка (0, 0) является двойной точкой. б) Для уравнения (2.9) условия (2.6) дают

(х0, у0), координаты которой удовлетворяют последнему соотноше-

23

нию, не является корнем уравнения (2.9). Таким образом, (0, 0) – единственная особая точка, в которой, как легко проверить, выполняется (2.7). Значит, точка (0, 0) является изолированным корнем уравнения (2.9).

Проведем теперь обобщение на случай неявной функции, определяемой уравнением

Для этого в определении 2.1 и теореме 2.1 под х будем понимать

Если F(x(0) , y(0) ) = 0, Fy′(x(0) , y(0) ) ≠ 0 , то найдутся такие окрест-

Укажем теперь способ вычисления дифференциала и частных производных n-го порядка функции, определяемой уравнением (2.10), если выполнены условия теоремы 2.3 при дополнительном требовании n-кратной дифференцируемости функции в правой части уравнения (2.10).

Пусть y = f (x1 , x2 ,..., xn ) определяется уравнением (2.10), тогда

Найдем дифференциал 1 порядка от обеих частей (2.11)

∂∂xF1 dx1 +... + ∂∂xFn dxn + ∂∂Fy dy ≡ 0 .

24

(Здесь использовано свойство инвариантности формы 1-го дифференциала.)

Тогда в силу выполнения условия ∂∂Fy ≠ 0 получим

Сравнивая это выражение с формулой для 1-го дифференциала функции y = y(x1 , x2 ,..., xn ) вида

Подставляя сюда выражение для dy из (2.12), получим выражение для d 2 y , в котором коэффициенты при всевозможных произ-

25

ведениях dxi dx j (i =1, 2,..., n, j =1, 2,..., n) являются функциями только от x1 , x2 ,..., xn , y .

Сравнив правую часть полученного выражения для d 2 y с правой частью равенства

как коэффициент при произведении дифференциалов dxi dx j . Процесс можно продолжить для нахождения дифференциалов порядка выше 2.

Пример 2.5. Найти y′x , y′′x2 и y′x′′3 , если

Пусть y = y(х) – неявная функция, определяемая уравнением

(При упрощении числителя здесь было использовано равенство

Пример 2.6. Найти dz, d 2 z , если x + y + z = ez. Чему равна

∂2 z ? ∂x∂y

26

Решение.

F(x, y, z) = x + y + z −ez , dx + dy + dz −ez dz ≡ 0 .

Отсюда

ется непустое множество Ах, а Bx Ax – непустое множество значений x , таких, что для каждого x Bx существует хотя бы одна

F2 (x, y1 , y2 ) = 0 .

27

Выберем для каждого значения x Bx какую-то одну такую упорядоченную пару y = ( y1 , y2 ) . Обозначим через Ву множество всех таких упорядоченных пар, выбранных для всех x Bx .

Определение 2.4. Множество f ={(x, y)} упорядоченных пар

(х,у), x Bx , y By , y = ( y1 , y2 ) , таких, что

F1 (x, y1 , y2 ) = 0;F2 (x, y1 , y2 ) = 0,

называется неявной вектор-функцией, определяемой системой уравнений (2.15). Будем обозначать ее через y = f (x) .

Замечание 2.4. Если потребовать однозначную разрешимость (2.15), то можно сформулировать определение, аналогичное определению 2.1.

Замечание 2.5. Из определения вектор-функции следует, что задание вектор-функции y = f (x) эквивалентно заданию двух чи-

t0 = (t01 ,…,t0n ) все частные производные 1-го порядка. Тогда матрица, составленная из частных производных этих функций в точке t0 ,

28

называется матрицей Якоби данной системы функций в точке t0 . Если т = п, то определитель матрицы Якоби называется яко-

бианом системы функций u1 ,…,un по переменным t1 ,…,tn и обозначается

D(u1 ,…,un ) D(t1 ,…,tn ) .

Сформулируем условия, достаточные для того, чтобы систему (2.16) можно было разрешить относительно переменных y1 ,…, yn , в результате чего получается система функций

такое, что Fi (x, y) = 0, i =1,2,…, n .

29

Если

прерывно дифференцируемы на Ux и y0 = f (x0 ) .

Замечание 2.6. Имеет место утверждение, аналогичное замечанию 2.2, атакжезамечанию2.3, чтоиллюстрирует следующий пример.

Пример 2.7. Привести пример, показывающий, что в теореме 2.4 условие (2.18) является достаточным, но не необходимым.

Решение. Пусть задана система уравнений

которая однозначно разрешима, в том числе и в окрестности

Укажем способ вычисления дифференциалов и частных производных п-го порядка функций (2.17), определяемых системой уравнений (2.16) при выполнении условий теоремы 2.4 и дополнитель-

Пусть функции (2.17) определяются системой уравнений (2.16),

тогда Fi (x1 ,…, xm , y1 (x1 ,…, xm ),…, yn (x1 ,…, xm )) ≡ 0 (i =1,2,…, n) .

30