Сандракова Функтсии многикх переменныкх 2015

Отметим, что выполнение двух необходимых условий дифференцируемости (непрерывность и существование всех частных производных функции f (P) в точке P0 D ) не является достаточ-

Вопрос о дифференцируемости функции f(x, y) свелся к вопросу о существовании и равенстве нулю предела

12

Покажем, что fx′(0,0) не является непрерывной в точке P0 (0,0) :

Предел функции fx′ не существует в точке (0, 0).

Отметим, что из дифференцируемости функции не следует, что частные производные непрерывны.

Пример 1.3. Показать, что функция

1)f (x, y) дифференцируема в (0, 0);

2)fx′, fy′ в окрестности (0, 0), но они разрывны в (0, 0) и не-

Если х = у = 0, то производные ищем по определению:

14

частной производной второго порядка функции f по переменным xk и xl и обозначают

ную первого порядка по какой-либо переменной от любой частной производной порядка (m −1) .

Частную производную по различным переменным называют смешанной частной производной.

Теорема 1.3. Если две смешанные частные производные m-го порядка функции y = f (x1 , x2 , ..., xn ) , отличающиеся лишь поряд-

ком дифференцирования, непрерывны в точке P0 (x01 , x02 , ..., x0n ) , то

их значения в этой точке совпадают.

Функцию, все частные производные которой до некоторого порядка m включительно непрерывны в некоторой точке (или на некотором множестве), называют m раз непрерывно дифференцируемой в этой точке (соответственно на этом множестве).

Согласно определению 1.2 дифференциал первого порядка

имеет вид

L(P0 P) = df (P0 ) = A1 x1 + A2 x2 +... + An xn .

Теорема 1.4. Если функция n независимых переменных y = f (x1, x2 , ..., xn ) дифференцируема в точке P0 (x10 , x02 , ..., x0n ) и

df (x10 , x02 , ..., x0n ) = A1dx1 + A2dx2 +... + An dxn –

ее дифферециал в этой точке, то в точке P0 (x10 , x02 , ..., x0n ) существуют частные производные функции f, причем

16

Таким образом, в каждой точке (x1, x2 , ..., xn ) D дифференциал функции f может быть вычислен по формуле (по определению

дифференциала независимой переменной полагают, что dxi = xi , i =1, 2, ..., n )

df = ∂∂xf1 dx1 + ∂∂xf2 dx2 +... + ∂∂xfn dxn .

Вычисленный дифференциал от первого дифференциала при условии, что приращения xi = xi ( i =1, 2, ..., n ) независимых пере-

менных x1 , x2 , ..., xn берутся те же, что и при нахождении первого дифференциала, называется вторым дифференциалом или дифферециалом второго порядка функции y = f (x1 , x2 , ..., xn ) и обознача-

ется d 2 f = d(df ) .

В частности, для функции двух переменных y = f (x, y) запишем

Дифференциал порядка m определеяется как первый дифференциал от дифференциала порядка (m −1)

d m f = d(d m−1 f ) ,

здесь приращения независимых переменных при вычислении каждого последующего дифференциала совпадают с введенными приращениями для первого дифференциала.

Если ввести оператор дифференциала

d = ∂∂x1 dx1 + ∂∂x2 dx2 +... + ∂∂xn dxn ,

то справедлива операторная формула

17

2.Неявные функции

2.1.Неявные функции, определяемые одним уравнением

ординаты которых удовлетворяют уравнению (2.1).

Пусть X – множество точек x оси Ox , для каждой из которых

F( x, y) = ( x2 + y2 )2 −( x2 − y2 ) = 0 .

18

Геометрически это означает, что та часть множества М, которая попадает в Tβ (P0 ) , может быть взаимно однозначно спроектирова-

на на ось Ох, т.е. является графиком у = у(х) на (x0 −β, x0 +β) .

В этом случае говорят, что уравнение F(x, y) = 0 в прямоуголь-

нике R однозначно разрешимо относительно у как функции от переменной х.

Определение 2.1. Пусть на области D E2 задана функция

F(x, y).

Говорят, что уравнение F(x, y) = 0 в некотором прямоугольнике R D задает y как функцию от х, если X ={x} такое, что для

x X единственное у, такое, что (x, y) R и F(x, y) = 0 , и каж-

Обратимся снова к нашему примеру с лемнискатой Бернулли. Если взять х = 1, или х = –1, или х = 0, то получим нечто другое. Для точек (1, 0), (–1, 0) и (0, 0) не существует прямоугольной окрестности, в которой уравнение (2.2) однозначно разрешимо относительно у, т.е. как ни подбирай прямоугольную окрестность, например, точки P0 (1,0) , множество Tβ (P0 ) ∩M не может быть од-

нозначно отображено на ось Ох, так как там происходит нависание кривой в окрестности точки P0 (1,0) над осью Ох. А в точке O(0,0)

еще более сложная картина. Попробуем разобраться, в чем тут дело.

На две независимые переменные х и у в плоскости Оху мы наложили одну связь F(x, y) = 0 .

Возникают вопросы:

1)всегда ли можно считать, что одна из переменных стала функцией другой;

2)если да, то какая из переменных является функцией другой;

3)как аналитически проверять, что уравнение F(x, y) = 0 явля-

ется однозначно разрешимым, например относительно у как функции от х?

19

Теорема 2.1 (достаточные условия существования, непрерывности и дифференцируемости неявной функции, заданной уравнением F(x, y) = 0 ). Пусть функция F(x, y) определена и диф-

ференцируема в некоторой окрестности точки P0 (x0 , y0 ) и выполняются условия:

1)F (x0 , y0 ) = 0;

2)Fy′(x0 , y0 ) ≠ 0 .

Тогда существует прямоугольник R ={(x, y) : x (x0 −h, x0 +h), y ( y0 − H , y0 + H ), h >0, H >0}, такой, что в прямоугольнике R

x [x0 −h, x0 +h] .

Замечание 2.1. В теореме 2.1 утверждается, что уравнение (2.1) однозначно разрешимо в окрестности

R ={(x, y) : | x − x0 |< h, | y − y0 |< H, h > 0, H > 0}

точки (x0 , y0 ) относительно у.

Замечание 2.2. Если в формулировке теоремы 2.1 заменить ус-

Пример 2.2. Привести примеры, показывающие, что в теореме 2.1 условие Fy′(x0 , y0 ) ≠ 0 является только достаточным.

Решение. Пусть уравнение (2.1) имеет вид

Так как x2 + y2 +1 ≠ 0 для любых действительных значений х и

20