8.2. Пример решения задачи на составление уравнений

по законам Кирхгофа для мгновенных значений токов

и напряжений

Для схемы, показанной на рисунке 3.5, записать систему уравнений по первому и второму законам Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений, выраженных через токи.

Решение

Запишем уравнения для узлов 1 и 2 по первому закону Кирхгофа:

i₁+i₂+i₃=0,

-i₃-i₁-i₂=0.

Уравнения для второго закона Кирх-гофа запишем для двух независимых кон-туров: е₁-C₁-L₁-R₁-R₂-е₂ и е₂-R₂-R₃-L₃-C₃. Направление обхода контуров выберем по часовой стрелке. Тогда при обходе первого контура напряжения на элементах C₁, L₁, R₁ будут положительны (их направление сов-падает с направлением обхода контура), а напряжение на R₂ – отрицательно; э.д.с. е₁ будет иметь знак плюс, э.д.с. е₂ – знак минус:

.

Это уравнение можно записать в виде:

.

Для второго контура получим:

8.3. Пример решения задачи на использование метода

комплексных амплитуд и законов Кирхгофа

в комплексной форме

Для схемы электрической цепи, изображенной на рисунке 8.5, с параметрами R₁=1,8 кОм, R₂=3,3 кОм, R₃=1,2 кОм, L₁=3 мГн, L₃=0,6 мГн, C₁=680 пФ, C₃=480 пФ, е₁=24 cos(10⁶t - 69⁰), B, е₂=18 cos(10⁶t - 57⁰), B:

• определить методом комплексных амплитуд текущие комплексы, действующие и мгновенные значения токов ветвей;

• найти комплексные действующие значения напряжений всех пассивных элементов цепи;

• построить векторные диаграммы токов и напряжений;

• проверить выполнение условия баланса мощностей;

• определить потенциалы точек, указанных на схеме, полагая _=0.

Решение

Запишем систему уравнений по первому и второму законам Кирхгофа в комплексной форме:

где

.

В матричной форме система уравнений будет иметь следующий вид:

.

Определитель системы имеет вид:

.

Для определения комплексных амплитуд токов , , найдем соответствующие определители ₁, ₂, ₃:

Произведем вычисления:

Найдем определители , ₁, ₂, ₃:

Рассчитаем комплексные амплитуды токов:

Действующие значения токов будут равны:

Определим текущие комплексы i₁(t), i₂(t), i₃(t):

Рассчитаем комплексные действующие значения напряжений на всех пассивных элементах:

Для построения векторной диаграммы запишем уравнение Кирхгофа для узла 1 и выражения для напряжения между узлами 1 и 2:

Выполняем построение векторных диаграмм в соответствии с рисунком 8.6.

Построение векторных диаграмм начнем с векторов токов. Выбираем масштаб 1 см–1 мА. Под углом -100,9⁰ к действительной оси откладываем вектор I₁ длиной 5,95 см, из его конца под углом 61,7⁰ к действительной оси откладываем вектор I₂ длиной 4,9 см, а из конца последнего откладываем под углом 128,6⁰ к действительной оси вектор I₃. Получим треугольник, одна из вершин которого находится в начале координат, что свидетельствует о равенстве нулю алгебраической суммы токов в узле. Векторные диаграммы напряжений строим исходя из приведенных выражений для напряжения между узлами схемы. Выбираем масштаб: 1 см–2 В. Построим вектор , используя первое из записанных равенств. Из начала координат под углом -69⁰ к действительной оси откладываем вектор E₁ длиной 8,5 см. Из его конца – вектор длиной 5,35 см, который будет параллелен вектору и противоположно ему направлен. Из конца последнего вектора перпендикулярно ему откладываем вектор длиной 8,9 см и направленный влево от вектора . И, наконец, из конца вектора в противоположном ему направлении откладываем вектор длиной 4,4 см. Конец вектора соединяем с началом координат и получаем вектор длиной приблизительно 1,8 см, расположенный под углом -102,5⁰ к действительной оси. Аналогичным образом строим вектор , используя сначала второе, а затем и третье выражения.

Проверяем выполнение условия баланса мощностей. Комплексная мощность источников будет равна:

Комплексная мощность потребителей имеет вид:

=P_п+jQ_п.

Найдем P_п и Q_п:

Таким образом,

Сравнивая полученные результаты, видим, что , т.е. баланс комплексных, а следовательно, и активных, и реактивных мощностей выполняется.

Найдем потенциалы указанных на схеме точек: