8. Примеры выполнения индивидуальных заданий

8.1. Пример решения задачи по расчёту многоконтурной электрической цепи постоянного тока с помощью законов Кирхгофа

Дана схема электриче-ской цепи постоянного тока, изображенная на рисунке 8.1, и заданы параметры её эле-ментов: R₁=22 Ом, R₃=14 Ом, R₄=20 Ом, R₅=16 Ом, R₆=24 Ом, E₂=120 B, E₃=124 B, E₄=112 B, E₅=116 B.

Используя схему:

• построить граф, определить число независимых уравнений, составленных на основе 1 и 2-го законов Кирхгофа, выбрать системы независимых узлов и контуров схемы цепи;

• составить систему уравнений по законам Кирхгофа для независимых узлов и контуров схемы, записать её в матричной форме. Определить значения всех элементов квадратной матрицы коэффициентов и матрицы-столбца свободных членов;

• решить полученную систему уравнений и определить значения токов всех ветвей рассматриваемой схемы цепи;

• роверить выполнение условия баланса мощностей;

• определить потенциалы точек, указанных на схеме. Построить потенциальную диаграмму для любого контура, содержащего не менее трех э.д.с.

Решение

Для построения графа схемы изобразим вначале узлы а, в, г, е, а затем соединим их отрезками линий, заменяющих соответствующие ветви, как показано на рисунке 8.2. Укажем направление токов в ветвях графа.

При выборе независимых контуров наряду с пост-роением графа необходимо построить и его дерево. Для этого соединим между собой узлы а, в, г, е так, чтобы не образовать ни одного контура, как показано на рисунке 8.3а.

Для нахождения независимых контуров добавляем к полученному дереву по одной ветви (пунктирные линии на рисунках 8.3б, в, г) так, чтобы каждый раз получался новый контур. Видим, что число независимых контуров равно трем (в-г-а-в; а-г-е-а; в-а-е-в).

Находим эти контуры на схеме и выбираем направления их обхода (указаны стрелками). Для найденных контуров записываем уравнения по второму закону Кирхгофа:

I₁R₁- I₄R ₄=-E₂- E₄ (контур в-г-а-в);

I₃ R₃- I₅ R₅= E₂- E₃+E₅ (контур а-г-е-а);

I₄R₄+ I₅ R₅+ I₆R₆= E₄- E₅ (контур в-а-е-в).

Найдем узловые уравнения. В качестве базисного узла выберем узел а. Тогда узлы в, г, е будут независимыми. Запишем для них уравнения по первому закону Кирхгофа:

Перепишем полученную систему уравнений совместно с ранее полученными уравнениями для контуров:

Чтобы записать полученную систему уравнений в матричной форме, подставим численные значения параметров и перепишем её в виде:

-I₁+0I₂+0I₃-I₄+0I₅+I₆=0;

I₁+I₂-I₃+0I₄+0I₅+0I₆=0;

0I₁+0I₂+I₃-0I₄+I₅-I₆=0;

22I₁+0I₂+0I₃-20I₄+0I₅+0I₆=-232;

0I₁+0I₂+14I₃+0I₄-16I₅+0I₆=112;

0I₁+0I₂+0I₃+20I₄+16I₅+24I₆=-4.

Запишем систему в матричной форме:

.

Решая полученную систему уравнений на ЭВМ с помощью программы «Решение систем линейных уравнений методом Гаусса» (автор И.М. Мальцев), получаем следующие значения токов:

I₁=-6,145A, I₂=9,182A, I₃=3,037 A,

I₄=4,84A, I₅=-4,342A, I₆=-1,305 A.

Проверим правильность выполнения расчета, используя уравнения для узлов:

-I₁-I₄+I₆=-(-6,145)-4,84-1,305=0;

I₁+I₂-I₃=-6,145+9,182-3,037=0;

I₃+I₅-I₆=3,037-4,342-(-1,305)=0.

Первый закон Кирхгофа выполняется.

Проверим выполнение условия баланса мощностей:

1209,182-1243,037+1124,84-116(-4,342)=

=(-6,145)²22+(3,037)²14+(4,84)²20+

+(-4,342)²16+(-1,305)²24,

1101,84-378,588-6,588+542,08+503,672=830,7425+129,12716+468,512+ +301,64742 +40,8726,

1771 Вт1770,902 Вт.

Баланс мощностей выполняется.

Для построения потенциальной диаграммы выбираем контур а-г-д-е-а c тремя э.д.с. Потенциал узла а выбираем равным нулю: _a=0. Tогда потенциалы точек г, д, е контура будут равны:

_г=_a+E₂=0+120=120, В;

_д=_г-I₃R₃=120-3,03714=77,482, В;

_е=_д-E₃=77,482-124=-46,518, В;

_a=_e+E₅+I₅R₅=-46,518+116-4,34216=0.

Потенциальная диаграмма приведена на рисунке 8.4.