ОТЦ модули / ОТЦ_Модуль2

2.2. Понятие о комплексной частотной характеристике

Комплексные частотные характеристики идеальных пассивных элементов

Частотные и резонансные свойства электрической цепи предопределяются частотными характеристиками сопротивлений или проводимостей. Как отмечалось ранее, комплексное сопротивление цепи

Z f ( ) может быть представлено в виде:

.

Z R jX( )

или в показательной форме:

.

Z R X 2( ) ej ( ) ,

где ( ) arctg X( ) . R

В аналогичном виде может быть представлена и комплексная проводимость цепи.

Рассмотрим комплексные частотные характеристики идеальных пассивных элементов – индуктивностей и ёмкостей. Индуктивность и ёмкость представляют собой простейшие одноэлементные реактивные двухполюсники.

Двухполюсник – электрическая цепь или часть цепи, имеющая два вывода.

Комплексное сопротивление индуктивного элемента во всём спектре частот имеет положительный знак, а комплексная проводимость – отрицательный:

j

ZL jxL j L L e 2 ,

Комплексное сопротивление ёмкостного элемента во всём спектре частот имеет отрицательный знак, а комплексная проводимость – положительный.

23

Для рассматриваемых реактивных двухполюсников комплексные сопротивления и проводимости являются мнимыми.

Рис. 2.3. Частотные характеристики индуктивности и ёмкости

Необходимо отметить, что как сопротивления, так и проводимости рассматриваемых элементов возрастают по мере роста частоты, т.е.

Это является общим свойством не только одноэлементных, но и всех реактивных двухполюсников,.

2.3.Последовательный колебательный контур. Резонанс напряжений

Последовательный колебательный контур представляет собой неразветвлённую электрическую цепь, состоящую из последовательно соединённых элементов r, L, C (рис. 2.4).

Рис. 2.4. Последовательный колебательный контур

24

Комплексное сопротивление такой цепи определяется выражением:

Z r j( L 1 ).

C

При L 1 наступает резонанс напряжений, и поскольку x=0,

C

ток цепи совпадает по фазе с напряжением. Частота ω0, на которой xL=xC, определяется выражением:

0 1

LC

и называется резонансной частотой последовательного колебательного контура.

Мгновенные значения энергии контура определяются формула-

ми:

wL Li2 ; wC CuC2 .

2 2

Если i=Im·sin( 0t), то uс=Uсmcos t, и тогда:

wL L Im2 sin2 0t ,

2

wL C Ucm2 cos2 t.

2

Максимальные значения этих энергий равны друг другу, т.к.

распределение энергии магнитного и электрического полей, суммарное значение которой постоянно:

При резонансе напряжений в цепи не происходит обмена энергией между источником и реактивными элементами цепи, а вся электрическая энергия, поступающая от источника, расходуется в сопротивлении r.

Добротностью последовательного колебательного контура называется величина Q, определяемая выражением:

Q 0 wМАКС .

P

25

вым сопротивлением резонансного контура. В условиях, близких к резонансу, напряжения на индуктивности и ёмкости могут быть весьма велики, что необходимо учитывать во избежание повреждения изоляции. Напряжения на реактивных элементах при резонансе определяются из выражения:

U=E, приложенное к резонансному контуру.

В радиотехнике широко используется понятие относительной расстройки δ частоты по отношению к резонансной частоте контура:

0 1.0 0

Полное сопротивление цепи выражается через δ следующим образом:

arctgQ ( 2) .

1

Ток в цепи:

1

26

На частотах, близких к резонансной, δ<<1, поэтому:

Z r(1 j2 Q) r1 (2 Q)2 ej ,

ность расчёта Z не превышает 10 %.

Рассмотрим зависимость относительного тока в контуре I от

I0

относительной расстройки δ (рис. 2.5), т.е. резонансные кривые контура.

Рис. 2.5. Резонансные кривые последовательного колебательного контура

Чем острее резонансная кривая, тем лучше избирательность контура. Чем выше добротность, тем острее резонансная кривая и тем лучше избирательность.

На рисунках 2.6, 2.7 представлены частотные характеристики контура: зависимость сопротивления и фазового сдвига от частоты.

27

откуда

Найдём полосу пропускания δ2- δ1:

1

2 1 Q

или

2 1 1 d .0 Q

Величина d, обратная добротности контура, называется затуханием контура. В радиотехнических устройствах к одному из реактивных элементов колебательного контура, например ёмкости, подключается нагрузка в виде сопротивления rн. Из-за этого возрастают потери в цепи и снижается добротность. Заменяя параллельное соединение элементов C и r последовательным соединением C и некоторым вносимым сопротивлением rвн для частоты 0 , получим с учётом 0

С∙rн>>1:

1

rвн rн( 0C)2 .

Таким образом, добротность нагруженного контура равна:

При rвн>>r выражения для Qн и dн имеют вид:

Внутреннее сопротивление ri источника ЭДС добавляется к сопротивлению r контура и снижает его добротность.

29