Добавил:

menson13 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

Математический анализ

Файл:

Терехина Фикс ВМ 2

.PDF

Скачиваний:

Добавлен:

28.09.2022

Размер:

2.22 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 177 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

arctg 2p

x1=2

0 =

+ (2px3)2

1+4x3

1 + 4x3

arcctg x3 0 = ;

x3 0 = ;

3x2:

+ (x3)2

1 + x6

pEREJDEM K PRIMERAM, W KOTORYH NUVNO, KROME TABLICY PROIZWODNYH, ISPOLXZOWATX PRAWILA DIFFERENCIROWANIQ SUMMY (RAZNOSTI), PROIZWE- DENIQ I ^ASTNOGO FUNKCIJ.

1: y = sin x + lnxx:

wOSPOLXZUEMSQ PRAWILAMI DIFFERENCIROWANIQ SUMMY I ^ASTNOGO I TABLICEJ PROIZWODNYH:

v)0

= u0

0 =

u0 v ; u v0

v !

= (sin x)0

= cos x +

x0 ln x

; x

(ln x)0

ln x

ln2 x

= cos x + ln x

; x

= cos x + ln x ; 1

ln2 x

arcsin x ;

3x2

+ (x3 ;

2: y = x

2) px5:

wOSPOLXZUEMSQ PRAWILAMI DIFFERENCIROWANIQ SUMMY (RAZNOSTI), PRO-

IZWEDENIQ, WYNESENIEM POSTOQNNOGO MNOVITELQ ZA ZNAK PROIZWODNOJ I

TABLICEJ PROIZWODNYH:

(C u)0 = C u0:

(u v)0

= u0 v0 (u v)0 = u0

v + u

= x0 arcsin x+x

(arcsin x)0;7

)0+(x

;2)0 px5+(x

;2)( px5)0 =

= arcsin x + x

; 7 2x + 3x2 px5 + (x3 ; 2)(x5=3)0 =

;

2 3

2=3

= arcsin x +

;

x + 3x

px5

+ (x

; 2)3

) =

1 ; x2

= arcsin x +

;

7x + 3x11=3 +

(x3 ; 2)x2=3:

;

3: y = 6x1=8 arctgx +

; p

(3x)0p

3x (p

= 1

;

(x1=8)0

arctg x

+ x1=8

(arctg x)0

;

6 h

(px)2

ln 3p

= 61 "81x;7=8 arctgx+x1=8

#+2 x;3 0

;

;2px

1+x2

arctg x

x1=8

1 + 2

3x;4

ln 3

;

7=8

1=8

;

2xpx

1 + x

;

arctg x

;

3 (2x ln 3

;

8x7=8

1 + x2

2x3=2

oBRA]AEM WNIMANIE NA TO,

^TO WYRAVENIQ WIDA

(W NA[EM SLU^AE

) UDOBNEE DIF-

f(x)

FERENCCIROWATX NE KAK DROBX, A PREDSTAWIW EGO W WIDE PROIZWEDENIQ C f1

(x) (W DANNOM

PRIMERE MY ZAPISALI 2 (x

)), A WYRAVENIQ WIDA

(x)

PREDSTAWLQTX W WIDE

f(x) I

DIFFERECIROWATX PROIZWEDENIE KONSTANTY NA FUNKCI@, PRI \TOM KONSTANTA WYNOSITSQ ZA

ZNAK PROIZWODNOJ.

4: y = 10x

tg 3x:

tg 3x

ln 10 (x tg 3x)0 =

= j (au)0

= au

ln a

= 10x

= 10x tg 3x ln 10

tg 3x + x (tg 3x)0

tg 3x

(3x)0

(tg u)

= cos2 u

= 10

ln 10

0tg 3x

+ x cos2 3x1 =

= 10

tg 3x + x

x tg 3x ln 10

3! :

cos2 3x

sin2 5x

5: y = ctg (lg 3) + 4

arcsin

0 =

u0v

; v0u

y0 = (C)0 = 0 (u + v)0 = u0 + v0

v !

1 (sin2 5x)0

arcsin

;

sin2 5x

(arcsin

= 0 +

arcsin

(u2)0 = 2u u0

(arcsin u)0 =

2 sin 5x

(sin 5x)0

arcsin

sin2;5x

;

q1 ; (1=x)2

arcsin

2 sin 5x

cos 5x 5 arcsin x ; sin

5x q1 ; (1=x)2 ;x2

arcsin

2.1.6. lOGARIFMI^ESKOE DIFFERENCIROWANIE

pRAWILO LOGARIFMI^ESKOGO DIFFERENCIROWANIQ SOSTOIT W TOM, ^TO PROIZWODNAQ FUNKCII MOVET BYTX NAJDENA KAK PROIZWEDENIE SAMOJ FUNK- CII NA PROIZWODNU@ EE NATURALXNOGO LOGARIFMA

= f(x)

(ln f(x))

(f(x))

rASSMOTRIM PRIMERY.

6: y = ln 0

1 + 2;x2

1 :

;

arctg (2

;

7x)

pREVDE,

^EM DIFFERENCIROWATX DANNU@ FUNKCI@, UPROSTIM WYRAVE-

NIE, ISPOLXZUQ SWOJSTWO LOGARIFMA ln ab = ln a ; ln b:

y = ln 1 + 2;x2 ; ln (1 ; arctg (2 ; 7x)):

1 + 2;x2

arctg (2

7x))0

y0 =

(ln u)0

= 1 + 2;x2

;

; arctg (2 ;

7x)

;u0

;

= (a

= a

ln a u0

(arctg u)0

1 + u2

7x)0

2;x

ln 2

(

x2)0

;

;1 + (2

;

7x)2

;

7x)

1 + 2;x

;

arctg (2

;

= 2;x2 ln 2

(;2

2x)

;

;1 + (2

; 7x)2

(;7)

7x)

1 + 2

arctg (2

2;x

;

= ;2x

2 ln 2

; [1 + (2 ; 7x)2] [1 ; arctg (2 ; 7x)]

1 + 2;x

= ln 5v

7: y

(2x

;

sin 3x2)

14:

p3 x

wNOWX UPROSTIM WYRAVENIE, ISPOLXZUQ SWOJSTWA LOGARIFMA

b) = ln a + ln b

ln a

= b ln a: iTAK,

ln(a

ln a

= b

ln pa = ln(a) b

POSLE PREOBRAZOWANIQ FUNKCII POLU^IM

y =

2ln(2x

;

sin 3x2) + 4

0x +

13 :

pxA5

nAHODIM PROIZWODNU@

y0 = 1

ln(2x

;

sin 3x2)

0 + 4

2 ln

1 30

9 =

< h

pxA 5

sin 3x2)0

x +

(2x

;

+ 4

;

sin 3x

x +

1=3

2 ; cos 3x

)0 + 4

= 1 8

(3x

1 + 8

(x;

;

x +

sin 3x

= 1 8

4=3

2 ; cos 3x

26x + 4

1 + 8 (;

)8 (x;

)

;

sin 3x

x + 3

5 >

= 1

2 ;

6x cos 3x

+ 4

; 3 px4

;

x + 3

5 >

sin 3x

dWA POSLEDNIH PRIMERA POKAZYWA@T, ^TO PREDWARITELXNOE PREOBRA- ZOWANIE ISHODNOJ FUNKCII S ISPOLXZOWANIEM SWOJSTW LOGARIFMA ZNA-

^ITELXNO UPRO]AET PROCESS DIFFERENCIROWANIQ. pO\TOMU, ESLI LOGA- RIFM FUNKCII OKAZYWAETSQ PRO]E SAMOJ FUNKCII (A \TO BYWAET, KOGDA FUNKCIQ SODERVIT, W OSNOWNOM, OPERACIQ UMNOVENIQ, DELENIQ, WOZWEDE- NIQ W STEPENX, IZWLE^ENIQ KORNQ), TO PRIMENQETSQ PRIEM LOGARIFMI- ^ESKOGO DIFFERENCIROWANIQ, SUTX KOTOROGO RASSMOTRIM NA PRIMERAH.

	(x + 1)5 p			sin2 x:
8: y =		x ; 1	3
	(x + 4)3 ex

pONQTNO, ^TO, POLXZUQSX IZWESTNYMI PRAWILAMI DIFFERENCIROWANIQ PROIZWEDENIQ I ^ASTNOGO, MY POLU^IM O^ENX GROMOZDKOE WYRAVENIE.

sDELAEM SLEDU@]EE:

PROLOGARIFMIRUEM NA[E WYRAVENIE

ln y = ln 8

(x + 1)

x3; 1x3 sin x 9

(x + 4)

ln y = ln :

(x + 1)5

sin2 x

(x + 4)3

ex3

;

o ; 2

ln y = ln h

(x + 1)

i +1 ln px ; 1 + ln sin

x ; ln h(x + 4)

i ; ln e

ln y = 5 ln(x + 1) + 2 ln(x ; 1) + 2 ln sin x ; 3 ln(x + 4) ; x3:

w ITOGE LOGARIFM ISHODNOJ FUNKCII SODERVIT O^ENX PROSTYE DLQ DIFFERENCIROWANIQ SLAGAEMYE. sLEDU@]IM \TAPOM DIFFERENCIRUEM

PO^LENNO OBE ^ASTI POLU^ENNOGO WYRAVENIQ S U^ETOM TOGO, ^TO

(ln y)0 =

y0 - PROIZWODNAQ SLOVNOJ LOGARIFMI^ESKOJ FUNKCII.

(sin x)0

; 3x2:

y = 5

+ 2

; 3

x + 1

x ; 1

sin x

x + 4

wYRAVAEM OTS@DA y0

y0 = y

( 5

+ 1

+ 2

cos x

3x2

) :

x + 1

x ; 1

sin x

;

x + 4

;

wMESTO y PODSTAWLQEM ISHODNU@ FUNKCI@ I POLU^AEM OKON^ATELXOE WYRAVENIE DLQ PROIZWODNOJ

y0 = (x+1)5 p

x3sin2 x

9 :

x3;1

+2ctg x

3x2

2(x

;x+4

;

(x+4)

<x+1

;

3 x(x

+ 1)

9: y =

uarcsin px

x(x2 + 1)

1=3

1) lOGARIFMIRUEM ISHODNU@ FUNKCI@

ln y = ln 0arcsin px1

ln y =

3 nln x + ln(x2 + 1) ; ln h arcsin px io :

2) dIFFERENCIRUEM OBE ^ASTI POLU^ENNOGO URAWNENIQ PO^LENNO PO x U^ITYWAQ, ^TO y; FUNKCIQ x:

(x2

+ 1)0

(arcsin p

+ 1

; arcsin px

(px)0

; arcsin px

+ 1

(px)2

;

1 :

9 :

+ 1

; arcsin px p1

;

x 2px =

3) rE[AEM POLU^IW[EESQ URAWNENIE OTNOSITELXNO y0 I PODSTAWLQQ WMES-

TO FUNKCII y EE WYRAVENIE IZ USLOWIQ ZADA^I, POLU^IM

x(x2

+ 1) 1 1

= v

+ 1

; arcsin px

9 :

uarcsin px 3 <x

2px =

;

2.1.7. pROIZWODNAQ POKAZATELXNO-STEPENNOJ FUNKCII u(x)v(x)

pRIEM LOGARIFMI^ESKOGO DIFFERENCIROWANIQ O^ENX \FFEKTIWEN PRI

DIFFERENCIROWANII POKAZATELXNO-STEPENNOJ FUNKCII y = [u(x)]v(x).

1-YJ SPOSOB.

10: y = (1 ; p

)cos 3x:

1) lOGARIFMIRUEM ISHODNU@ FUNKCI@

ln y = ln

)cos 3x

ln y = cos 3x

ln(1

;

)

dIFFERENCIRUEM OBE ^ASTI POLU^ENNOGO URAWNENIQ PO^LENNO PO x

U^ITYWAQ, ^TO y { FUNKCIQ x.

= (cos 3x)0

ln(1

) + cos 3x

ln(1

)

;

3 sin 3x

ln(1

) + cos 3x

;

yy0

= ;3 sin 3x ln(1 ; p

1 :

) + cos 3x

2p1

;

3) rE[AEM POLU^IW[EESQ URAWNENIE OTNOSITELXNO y0

I PODSTAWLQQ WMES-

TO FUNKCII y EE WYRAVENIE IZ USLOWIQ ZADA^I, POLU^IM

9 :

y0 = (1

px)cos 3x

3 sin 3x

ln(1

px)

cos 3x

;

2px =

2-OJ SPOSOB.

eSLI PRIEM LOGARIFMI^ESKOGO DIFFERENCIROWANIQ PRIMENITX K FUNK- CII [ U(x) ]V (x) I RE[ITX ZADA^U NAHOVDENIQ PROIZWODNOJ W OB]EM WIDE, MOVNO POLU^ITX FORMULU PROIZWODNOJ POKAZATELXNO-STEPENNOJ FUNK- CII

UV 0 = V UV ;1 U0 + UV ln U V 0

T.E. PROIZWODNAQ POKAZATELXNO-STEPENNOJ FUNKCII RAWNA SUMME PROIZ- WODNYH \TOJ FUNKCII KAK OT STEPENNOJ ( W PERWOM SLAGAEMOM FUNKCIQ V (x) WYPOLNQET ROLX POSTOQNNOGO ^ISLA n { POKAZATELQ STEPENI) I KAK OT POKAZATELXNOJ ( WO WTOROM SLAGAEMOM FUNKCIQ U(x) IGRAET ROLX POSTOQNNOGO ^ISLA a - OSNOWANIQ STEPENI). pROILL@STRIRUEM PRIME- NENIE FORMULY NA PRIMERE.

11: y = (7x)px2;3x:

y0 = p

(7x)p

+ (7x)p

x2;3x

(7x)0

x2;3x

;

ln(7x)

;

= px2

;

(7x)px2;3x;1

7 + (7x)px2;3x

(ln 7x)

; 3x)0

2px2

; 3x

px2

= 7

(7x)px

;3x;1 + (7x)px

;3x

ln(7x)

; 3

;

2px2

;

2.1.8. pROIZWODNAQ PARAMETRI^ESKOJ FUNKCII

pUSTX FUNKCIQ y(x) ZADANA PARAMETRI^ESKI

8 x = x(t)

t0 t t1

< y

= y(t)

PRI^EM x(t)

I y(t) { DIFFERENCIRUEMYE W INTERWALE [ t0 t1 ] FUNK-

CII, I x(t)

IMEET OBRATNU@ DIFFERENCIRUEMU@ FUNKCI@ t(x): tOGDA

IME@T MESTO FORMULY DLQ NAHOVDENIQ PROIZWODNOJ FUNKCII y PO NE-

ZAWISIMOJ PEREMENNOJ x I x PO y.
y0	=	y0	x0	=	x0
		t			t :
x		xt0	y		yt0

|TI FORMULY DA@T WOZMOVNOSTX NAHODITX PROIZWODNYE PARAMETRI- ^ESKI ZADANNYH FUNKCIJ, NE NAHODQ WYRAVENIQ NEPOSREDSTWENNOJ ZA- WISIMOSTI y OT x: rASSMOTRIM PRIMERY.

x = et

cos t

nAJTI

sin t:

< y = e

(et sin t)0

sin t + et cos t

t =

xt0

(et cos t)t0

et cos t ; et sin t

x = t3 + 3t + 1

nAJTI y0 :

< y =

;

4)1=2

( (t

4)3)0

;

xt0

3t2 + 3

(t3 + 3t + 1)t0

sin t + cos t: cos t ; sin t

= pt ; 4 : 2(t2 + 1)

	8	2			y
3:		x = arctg 3t		nAJTI	x0 :
3:	< y = ln(1 + 9t		):	nAJTI	x0 :
	< y = ln(1 + 9t		):
	:				69

(3t)0

(arctg 3t)0

1 + (3t)2

1 + 9t

x0 =

yt0

(ln(1 + 9t2))t0

18t

1 + 9t2

8 x =

(1 + 9t

1 +2t2

nAJTI x0

< y =

1 + t2

nAJDEM PROIZWODNYE FUNKCIJ x(t) I y(t) PO t OTDELXNO, A ZATEM POD-

STAWIM W FORMULU

= 3(1 + t2) ; 3t(2t) = 3 + 3t2 ; 6t2

3 ; 3t2

1 + t2 !

(1 + t2)2

y0 =

3t2

= 6t(1+t2);3t2(2t) = 6t+6t3 ;6t3

2 1

1 + t

(1+t

)

(1+t

)

(1+t

)

; 32t

3(1

;

t2)

;

t =

(1 + t )

yt0

(1 + t2)2

oTMETIM,

^TO

= yt0 =

xt0 1 ; t2

2.1.9. dIFFERENCIROWANIE NEQWNOJ FUNKCII

o P R E D E L E N I E. fUNKCIQ

y = f(x) NAZYWAETSQ NEQWNOJ FUNKCIEJ

NEZAWISIMOJ PEREMENNOJ x

ESLI ONA ZADANA URAWNENIEM

F (x y) = 0 NE-

RAZRE[ENNYM OTNOSITELXNO y:

pRI PODSTANOWKE y = f(x)

W RAWENSTWO

F (x y) = 0

WMESTO y ONO

OBRA]AETSQ W TOVDESTWO, T.E. F (x

f(x)) 0:

nAPRIMER,

x2 + y2

9 = 0

NEQWNO OPREDELQET DWE FUNKCII

y = p

y =; p

;

x2 TAK KAK PRI PODSTANOWKE IH W URAWNENIE

;

2 ;

; x

) ;

9 = 0:

POLU^IM TOVDESTWO:

+ (9

zAMETIM, ^TO NE WSEGDA IZ URAWNENIQ F (x y) = 0 UDAETSQ WYRAZITX

FUNKCI@

y = f(x) W QWNOM WIDE. tAK, IZ RAWENSTWA

exy + sin(x + 2y) ;

2x2 = 0

WYRAZITX QWNO FUNKCI@ NEWOZMOVNO.

dLQ NAHOVDENIQ PROIZWODNOJ y0

NEQWNO ZADANNOJ FUNKCII ISPOLXZUET-

SQ PROSTOJ PRIEM:

{OBE ^ASTI RAWENSTWA F (x y) = 0 DIFFERENCIRU@TSQ PO x, S^ITAQ,

^TO y ZAWISIT OT x, S U^ETOM PRAWILA DIFFERENCIROWANIQ SLOVNOJ FUNKCII

{IZ POLU^ENNOGO RAWENSTWA, KAK IZ URAWNENIQ, NAHODQT y0: rASSMOT- RIM PRIMERY.

1: x2 + y2 ; 9 = 0:

dIFFERENCIRUEM \TO RAWENSTWO PO PEREMENNOJ x, S^ITAQ, ^TO y ESTX FUNKCIQ x, T.E. PRI DIFFERENCIROWANII SLAGAEMOGO, SODERVA]EGO y,

BUDEM PRIMENQTX PRAWILO DIFFERENCIROWANIQ SLOVNOJ FUNKCII.

pOLU^IM

2x + 2y

= 0:

;

)

rE[AEM \TO URAWNENIE OTNOSITELXNO y0 :

y0 =

2: exy + sin(x + 2y) ; 2x2 = 0:

; (2x

) + (sin(x + 2y))

= 0

dEJSTWUEM ANALOGI^NO

xy 0

;

exy

(xy)0 + cos(x + 2y)

(x + 2y)0

4x = 0

exy

+ x

) + cos(x + 2y)

(1 + 2y0 )

;

= 0:

wYRAVAEM y0

exy + cos(x + 2y) + 2y0

exy + x

cos(x + 2y)

;

4x = 0

exy

= 4x

+ 2 cos(x + 2y)

;

exy

;

cos(x + 2y)

4x ; y

; cos(x + 2y)

x exy + 2 cos(x + 2y)

2.1.10. dIFFERENCIAL FUNKCII

pUSTX y = f(x) IMEET W TO^KE x0 KONE^NU@, NE RAWNU@ NUL@, PRO- IZWODNU@ y00 = fx0 (x0). mOVNO POKAZATX, ^TO PRIRA]ENIE FUNKCII W OKRESTNOSTI \TOJ TO^KI MOVET BYTX PREDSTAWLENO W WIDE SUMMY DWUH SLAGAEMYH

y = yx0 (x0) x + x

GDE { BESKONE^NO MALAQ WELI^INA PRI x ! 0:

gLAWNOJ ^ASTX@ POLNOGO PRIRA]ENIQ FUNKCII BUDET QWLQTXSQ PER- WOE SLAGAEMOE, (ONO QWLQETSQ PROIZWEDENIEM KONSTANTY NA B.M.W.), TOGDA KAK SLAGAEMOE x PREDSTAWLQET SOBOJ BESKONE^NO MALU@ WELI^INU BOLEE WYSOKOGO PORQDKA MALOSTI PO SRAWNENI@ S x I c yx0 (x0) x (TAK KAK QWLQETSQ PROIZWEDENIEM DWUH BESKONE^NO MALYH WELI^IN).

y dy:

o P R E D E L E N I E. dIFFERENCIALOM FUNKCII y = f(x) W TO^KE x0 NAZYWAETSQ GLAWNAQ LINEJNAQ OTNOSITELXNO PRIRA]ENIQ ARGUMENTA x ^ASTX PRIRA]ENIQ FUNKCII y:

dIFFERENCIAL OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM dy.

pRIRA]ENIE FUNKCII I EE DIFFERENCIAL QWLQ@TSQ \KWIWALENTNYMI BESKONE^NO MALYMI WELI^INAMI, IH RAZNOSTX ESTX WELI^INA BESKONE^- NO MALAQ BOLEE WYSOKOGO PORQDKA MALOSTI PO SRAWNENI@ S KAVDOJ IZ NIH

f O R M U L A W Y ^ I S L E N I Q DIFFERENCIALA.

dIFFERENCIAL FUNKCII y = f(x) W TO^KE x0 RAWEN PROIZWEDENI@ PRO-

IZWODNOJ \TOJ FUNKCIII f		0	(x), WY^ISLENNOJ W TO^KE		x0, NA PRIRA]ENIE
	x
NEZAWISIMOJ PEREMENNOJ x:
dy = f0 (x0)	x		ILI dy = y0 (x0)	x	(1):
x			x
x			x

sOGLASNO \TOJ FORMULE DIFFERENCIAL I PRIRA]ENIE NEZAWISIMOJ PE- REMENNOJ RAWNY MEVDU SOBOJ, TAK KAK PRI y = x IMEEM y0 = x0 = 1 I

dy = dx = 1 x = x:			iTAK, dx = x:
tOGDA FORMULA WY^ISLENIQ DIFFERENCIALA PRIMET TAKOJ WID

	dy = f0 (x0)	dx		ILI	dy = y0 (x0)	dx	.	(2)
	x				x

fORMULY (1) I (2) NAHOVDENIQ DIFFERENCIALA RAWNOZNA^NY.

i N W A R I A N T N O S T X (NEIZMENNOSTX) FORMY DIFFERENCIALA. fORMULA PERWOGO DIFFERENCIALA SPRAWEDLIWA I DLQ SLU^AQ SLOVNOJ FUNKCII y = f[x(t)]

dy = y0	x0	dt = y0	dx	dx = x0	dt:
x	t	x		t

nESMOTRQ NA TO, ^TO DIFFERENCIAL I PROIZWODNAQ FUNKCII OTLI^A@T- SQ LI[X MNOVITELEM dx ILI x SUTX IH RAZNAQ.

g E O M E T R I ^ E S K I DIFFERENCIAL RAWEN PRIRA]ENI@ ORDINATY KASATELXNOJ, PROWEDENNOJ K GRAFIKU FUNKCII W TO^KE x0: pROIZWODNAQ VE ^ISLENNO RAWNA UGLOWOMU KO\FFICIENTU \TOJ KASA- TELXNOJ. iZ RISUNKA 2.4.a WIDNO, ^TO PRIRA]ENIE FUNKCII y RAWNO WELI^INE OTREZKA aw = as+sw. oTREZOK

as = tg x = yx0 (x0) x = dy:

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 177 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математический анализ

#
28.09.20221.01 Mб4glv_1.pdf
#
28.09.2022954.28 Кб2glv_2.pdf
#
28.09.2022136.73 Кб3Таблица интегралов.pdf
#
28.09.202268.01 Кб2Таблица производных.pdf
#
28.09.20222.22 Mб9Терехина Фикс ВМ 2.PDF