Добавил:

menson13 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

Математический анализ

Файл:

Терехина Фикс ВМ 2

.PDF

Скачиваний:

Добавлен:

28.09.2022

Размер:

2.22 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1714 15 16 17 > Следующая >>>

o P R E D E L E N I E.	wYRAVENIE F (x y z) = 0 OPREDELQET NEQW-
NU@ FUNKCI@ z = z(x y),	ESLI SPRAWEDLIWO TOVDESTWENNOE RAWENSTWO
F [x y z(x y)] = 0.

gEOMETRI^ESKIM PREDSTAWLENIEM FUNKCII DWUH NEZAWISIMYH PEREMEN- NYH, T.E. EE GRAFIKOM, WSEGDA QWLQETSQ NEKOTORAQ POWERHNOSTX.

nAPRIMER, GRAFIKOM FUNKCII z = p25 ; x2 ; y2 QWLQETSQ WERHNQQ POLOWINA SFERI^ESKOJ POWERHNOSTI x2 + y2 + z2 = 25:

o P R E D E L E N I E: pRI ANALITI^ESKOM SPOSOBE ZADANIQ FUNKCII, T.E. S POMO]X@ NEKOTOROGO ANALITI^ESKOGO WYRAVENIQ, POD OBLASTX@ OPREDE- LENIQ FUNKCII PONIMA@T MNOVESTWO WSEH ZNA^ENIJ NEZAWISIMYH PEREMEN- NYH, PRI KOTORYH \TO WYRAVENIE IMEET SMYSL.

dLQ FUNKCII 2-H PEREMENNYH OBLASTX OPREDELENIQ ESTX MNOVESTWO TO- ^EK PLOSKOSTI, OGRANI^ENNOE NEKOTOROJ ZAMKNUTOJ LINIEJ (ZAMKNUTAQ, ILI ZAKRYTAQ OBLASTX), ILI NEOGRANI^ENNOE (OTKRYTAQ OBLASTX).

zADA^A 1. nAJTI I GRAFI^ESKI PROILL@STRIROWATX OBLASTI OPRE- DELENIQ SLEDU@]IH FUNKCIJ

1: z = ln(x ; y2 ; 4):

lOGARIFMI^ESKAQ FUNKCIQ OPREDELENA TOLXKO DLQ POLOVITELXNYH ZNA- ^ENIJ ARGUMENTA, PO\TOMU

x ; y2 ; 4 > 0 ) y2 < (x ; 4):

oBLASTX OPREDELENIQ DANNOJ FUNKCII IZOBRAVENA NA RISUNKE 4.1. gRA- NICA OBLASTI (PARABOLA y2 = (x ;4) ) NE WHODIT W OBLASTX I IZOBRAVA- ETSQ PUNKTIRNOJ LINIEJ (OBLASTX NEZAMKNUTAQ).

rIS. 4.1. rIS. 4.2.

133

ZAMKNUTOJ.

2: z = ln(x + y):

rASSUVDAQ ANALOGI^NO, POLU^IM: y > ;x T.E. OBLASTX OPREDELENIQ PREDSTAWLQET SOBOJ ^ASTX PLOSKOSTI, RASPOLOVENNOJ WY[E PRQMOJ y = ;x ZA ISKL@^ENIEM TO^EK SAMOJ PRQMOJ y = ;x (RIS. 4.2.)

3: z = p16 ; x2 ; y2:

qSNO, ^TO FUNKCIQ OPREDELENA TOLXKO DLQ NEOTRICATELXNYH ZNA^ENIJ PODKORENNOGO WYRAVENIQ. sLEDOWATELXNO, OBLASTX OPREDELENIQ OPI[ET- SQ NERAWENSTWOM

16 ; x2 ; y2 0 ) x2 + y2 16:

|TO MNOVESTWO WSEH TO^EK KRUGA RADIUSA r = 4 WKL@^AQ GRANICU (RIS. 4.3). oBLASTX

rIS. 4.3. rIS. 4.4.

4: z = q(x2 + y2 ; 1)(9 ; x2 ; y2):

A) dROBX OPREDELENA PRI WSEH ZNA^ENIQH PEREMENNYH x I y PRI KO- TORYH ZNAMENATELX NE OBRA]AETSQ W NOLX.

b) pODKORENNOE WYRAVENIE DOLVNO BYTX STROGO POLOVITELXNYM

(x2 + y2 ; 4)(9 ; x2 ; y2) > 0: pROIZWEDENIE SOMNOVITELEJ POLOVITELXNO W DWUH SLU^AQH

1) 8 x2 + y2		2 ; 42 > 0	2) 8 x2 + y2		2 ; 42 < 0
<	9 ; x	; y > 0	<	9 ; x	; y < 0:
:			:

pERWAQ SISTEMA NERAWENSTW WYPOLQETSQ PRI USLOWII

4 < x2 + y2 < 9 A NERAWENSTWA WTOROJ SISTEMY ODNOWREMENNO NE WYPOLNQ@TSQ. tAKIM OBRAZOM, OBLASTX@ OPREDELENIQ SLUVIT KOLX- CO 4 < x2 + y2 < 9 OGRANI^ENNOE OKRUVNOSTQMI S CENTROM W NA^ALE

134

KOORDINAT I RADIUSAMI 2 I 3. sAMI OKRUVNOSTI NE WHODQT W OBLASTX OPREDELENIQ (RIS. 4.4).

5: z = arcsin xy :

fUNKCIQ arcsin xy OPREDELENA DLQ TEH ZNA^ENIJ x DLQ KOTORYH

	y		y
	x		1 ) ;1 x 1 ) ;x y x:

iTAK, GRANICAMI OBLASTI OPREDELENIQ QWLQ@TSQ PRQMYE
y = x		y = ;x (RIS. 4.5). w OBLASTX OPREDELENIQ NE WHODIT NA^ALO

KOORDINAT, TAK KAK W \TOJ TO^KE ISHODNAQ FUNKCIQ NE OPREDELENA.

rIS. 4.5.

rIS. 4.6.

6: z = px sin y:

dLQ NAHOVDENIQ OBLASTI OPREDELENIQ NEOBHODIMO RE[ITX NERAWENSTWO x sin y 0. oNO DOPUSKAET DWA RE[ENIQ

1) 8 x 0		=	8 x		0
< sin y 0		)	< 2 k		y + 2k k = 0 1 2 :::
: x	0	=	: x		0
2) 8		=	8		2k y 2 + 2k k = 0 1 2 :::
< sin y 0		)	<	+	2k y 2 + 2k k = 0 1 2 :::
:			:

oBLASTX OPREDELENIQ SOSTOIT IZ POLUPOLOS (rIS. 4.6.)

135

4.2. dIFFERENCIROWANIE FUNKCIJ

4.2.1. ~ASTNYE PROIZWODNYE FUNKCII

o P R E D E L E N I E.	~ASTNOJ PROIZWODNOJ z0 FUNKCII	z = f(x y) PO
	x

NEZAWISIMOJ PEREMENNOJ x NAZYWAETSQ PREDEL OTNO[ENIQ ^ASTNOGO PRIRA-

]ENIQ FUNKCII xz		PO PEREMENNOJ x K PRIRA]ENI@ ARGUMENTA x PRI
USLOWII, ^TO x ! 0
z0	= lim xz =	lim f(x + x y) ; f(x y)
x	x!0 x	x!0	x

aNALOGI^NO ^ASTNAQ PROIZWODNAQ FUNKCII z = f(x y) PO y.
z0	= lim yz = lim f(x y + y) ; f(x y)
y	y!0 y	y!0	y

oTMETIM, ^TO ^ASTNYE PRIRA]ENIQ FUNKCII NAHODQTSQ PRI USLOWII, ^TO PRIRA]ENIE POLU^AET TOLXKO ODNA PEREMENNAQ, DRUGAQ PRI \TOM OSTAETSQ NEIZMENNOJ.

dLQ FUNKCII 3-H PEREMENNYH u = u(x y z) TRI ^ASTNYH PROIZWOD- NYH PO WSEM NEZAWISIMYM PEREMENNYM OPREDELQ@TSQ ANALOGI^NO

u0 = lim xu			= lim u(x + x y z) ; u(x y z)
x	x!0	x	x!0					x
	x!0	x	x!0					x
u0 = lim		yu	= lim	u(x y + y z) ; u(x					y z)
y	y!0	y	y!0				y
	y!0	y	y!0				y
u0 = lim zu			= lim u(x y z + z) ; u(x						y z)
z	z!0	z	z!0				z
	z!0	z	z!0				z
~ASTNYE PROIZWODNYE OBOZNA^A@TSQ:
DLQ	z = z(x y) : z0			z0	ILI	@z		@z
			x	y		@x		@y
						@x		@y
DLQ	u = u(x y z) :			u0	u0	u0		ILI @u	@u	@u:
				x	y	z		@x	@y	@z
								@x	@y	@z
pRAWILO WY^ISLENIQ ^ASTNYH PROIZWODNYH.										wY^ISLENIE ^AST-

NYH PROIZWODNYH OSU]ESTWLQETSQ PO PRAWILAM I FORMULAM DIFFERENCI- ROWANIQ FUNKCII ODNOJ PEREMENNOJ S U^ETOM TOGO, ^TO W PROCESSE DIF- FERENCIROWANIQ PEREMENNOJ QWLQETSQ LI[X TA PEREMENNAQ, PO KOTOROJ PROWODITSQ DANNOE DIFFERENCIROWANIE, A OSTALXNYE PEREMENNYE S^ITA- @TSQ KONSTANTAMI.

nAPOMNIM, ^TO PROIZWODNAQ KONSTANTY RAWNA NUL@, I PRI NAHOVDENII PROIZWODNYH KONSTANTA WYNOSITSQ ZA ZNAK PROIZWODNOJ.

136

zADA^A 2. nAJTI ^ASTNYE PROIZWODNYE PERWOGO PORQDKA FUNKCIJ

1: z = 5x2 + 3y2:

= 10x

TAK KAK 3y2

= const PRI DIFFERENCIROWANII PO x.

= 6y

TAK KAK 5x2 = const PRI DIFFERENCIROWANII PO y.

z = (2x + 3) ln y:

= 2

ln y

TAK KAK ln y

QWLQETSQ POSTOQNNYM MNOVITELEM PRI

DIFFERENCIROWANII PO x.

= (2x + 3)

TAK KAK (2x

+ 3) QWLQETSQ POSTOQNNYM MNOVITELEM

PRI DIFFERENCIROWANII PO y.

z = xy

= y

xy;1

= xy

ln x

FUNKCIQ QWLQETSQ STEPENNOJ FUNKCIEJ OTNOSITELXNO PEREMENNOJ x

c POSTOQNNYM POKAZATELEM STEPENI n = y,

FUNKCIQ QWLQETSQ POKAZATELXNOJ FUNKCIEJ OTNOSITELXNO PEREMEN-

NOJ y c POSTOQNNYM OSNOWANIEM a = y.

z = (x4 + x2 + 1)cos 7y:

= cos 7y

(x4 + x2

+ 1)cos 7y;1

(x4 + x2 + 1)0

(x4 + x2 + 1)cos 7y;1

(4x3 + 2x):

= cos 7y

= (x4 + x2 + 1)cos 7y

ln(x4

+ x2 + 1)

(cos 7y)0

+ 1) (;7 sin 7y):

(x4 + x2 + 1)cos 7y ln(x4 + x2

z = arcsin xy :

!x =

;

(y=x)2

;

(y=x)2

;y=x

;x2 !

(y=x)2

@zq

;

(y=x)2

(y)0

1=x

@y=

x!y =

;

(y=x)2

;

q ;

pRI DIFFERENCIROWANII ARGUMENTA

W PERWOM SLU^AE MY WYNESLI

ZA ZNAK PROIZWODNOJ POSTOQNNYJ MNOVITELX y, A WO WTOROM 1=x:

137

e ;

7: z = py

tg e

cos2 (e5x;3y) e

@x = py

;

wYRAVENIE

PRI DIFFERENCIROWANII PO x QWLQETSQ POSTOQNNYM

MNOVITELEM I WYNOSITSQ ZA ZNAK PROIZWODNOJ, KROME TOGO, PRI DIFFE-

RENCIROWANII WYRAVENIQ (5x

;

3y) PO x

PROIZWODNAQ (

;

3y)0 = 0.

@y =

py y

;

+ py tg

;

y =

2=3

2 5x 3y

5x 3y

e5x;3y

= 3 (y;

) tg

cos2 (e5x;3y) (;3):

;

+ py 2 tg e

;

fUNKCIQ OTNOSITELXNO PEREMENNOJ y QWLQETSQ PROIZWEDENIEM, PO\TOMU,

PREVDE WSEGO,

PRIMENQEM PRAWILO DIFFERENCIROWANIQ PROIZWEDENIQ,

KROME TOGO, PRI DIFFERENCIROWANII WYRAVENIQ (5x ; 3y) PO y PROIZ-

WODNAQ (5x)0 = 0:

8: z

= ln(x

2 ; e;y2 )

p3x ; 2

) x0 p3x ;

; ln(x2

p3x ; 2 x0 =

= ln(x2 ; e;y

; e;y

)

(p3x ; 2)2

(2x) p3x ; 2 ; ln(x2 ; e;y

)

x2 ; e;y2

3x ; 2

3x ;

fUNKCIQ OTNOSITELXNO PEREMENNOJ x PREDSTAWLQET SOBOJ DROBX, PO\TO-

MU, PREVDE WSEGO, PRIMENQEM PRAWILO DIFFERENCIROWANIQ DROBI, ZATEM

PRI DIFFERENCIROWANII WYRAVENIQ

(x2 ; e;y2 ) PO PEREMENNOJ x U^TEM, ^TO PROIZWODNAQ e;y2 x0 =0:

ln(x2

e;y2 )

e;y2 0 =

3x;2

p3x;2

x2 ;e;y

;

= p

;e;y

(;2y) :

; e;y2

3x ; 2

fUNKCIQ OTNOSITELXNO PEREMENNOJ y UVE NE BUDET DROBX@, TAK KAK y

WHODIT TOLXKO W ^ISLITELX, PO\TOMU WYNOSIM MNOVITELX

ZA ZNAK PROIZWODNOJ. kROME TOGO, U^TEM, ^TO PRI DIFFERENCI-

;

) PO PEREMENNOJ y PROIZWODNAQ x2 y0 = 0:

ROWANII WYRAVENIQ (x2 ; e;y

138

9: u = x2y + sin (x + 2y) + (3z)2t + x arctg z:

= 2xy + cos(x + 2y) + arctg z

= x2 + cos(x + 2y) 2

= 2t(3z)2t;1 3 + x

= (3z)2t ln(3z) 2:

1 + z2

zADA^A 3. nAJTI ZNA^ENIQ WSEH ^ASTNYH PROIZWODNYH FUNKCII

u = e

x2+y2

Mo(0 1

=2):

sin z

W TO^KE

nAHODIM SNA^ALA WSE ^ASTNYE PROIZWODNYE FUNKCII

@x@u = ex2 + y2 2x sin2 z

@u@y = ex2 + y2 2y sin2 z

@u@z = ex2 + y2 2 sin z cos z:

wMESTO PEREMENNYH x

y I z PODSTAWLQEM KOORDINATY TO^KI Mo

@x@u!Mo

= e02+12 2 0 sin2( =2) = 0

@u@y !Mo

= e02+12 2 1 sin2( =2) = 2e

@u@z !Mo

= e02+12 2 sin( =2) cos( =2) = 0:

zADA^A 4.

dOKAZATX, ^TO FUNKCIQ u = p

UDOWLETWORQET

x2 + y2 + z2

URAWNENI@

@x@u!2

@u@y !2

+ @u@z !2

= 1:

nAJDEM ^ASTNYE PROIZWODNYE FUNKCII

2x = p

x2 + y2 + z2

= p

@z = p

+ y2

+ z2

+ y2 + z2

pODSTAWIM W URAWNENIE WYRAVENIQ ^ASTNYH PROIZWODNYH

! +

! =

+ y2 + z2

= x2 + y2 + z2 + x2 + y2 + z2 + x2 + y2 + z2 = x2 + y2 + z2 = 1: wYWOD: FUNKCIQ UDOWLETWORQET URAWNENI@.

139

OSNOWNYMI.

4.2.2. dIFFERENCIROWANIE SLOVNYH FUNKCIJ

1. pUSTX FUNKCIQ z = z(u v) { DIFFERENCIRUEMAQ FUNKCIQ PO PERE- MENNYM u I v, A FUNKCII u = u(x y) I v = v(x y) { DIFFERENCIRUEMYE FUNKCII PO PEREMENNYM x I y. tOGDA FUNKCIQ z = z(u v) { SLOVNAQ FUNKCIQ PEREMENNYH x I y. pEREMENNYE u I v NAZYWA@TSQ PROMEVU- TO^NYMI, A x I y ;

~ASTNYE PROIZWODNYE SLOVNOJ FUNKCII PO OSNOWNYM PEREMENNYM RAWNY SUMME PROIZWEDENIJ ^ASTNYH PROIZWODNYH \TOJ FUNKCII PO PROMEVUTO^- NYM ARGUMENTAM NA PROIZWODNYE PROMEVUTO^NYH ARGUMENTOW PO OSNOW-

NYM.

@z @u

@z @v

@u @x

@u @y

@v @y

: (1)

2. pUSTX FUNKCIQ z = z(x

y) { DIFFERENCIRUEMAQ FUNKCIQ PO PE-

REMENNYM x I y, A FUNKCII x = x(t) I y = y(t) { DIFFERENCIRUEMYE FUNKCII PO PEREMENNOJ t. tOGDA FUNKCIQ z = z(x y) { SLOVNAQ FUNK- CIQ PEREMENNOJ t. pEREMENNYE x I y ; PROMEVUTO^NYE, t ; OSNOWNOJ ARGUMENT. pROIZWODNAQ SLOVNOJ FUNKCII z = z(x y) PO OSNOWNOJ PE- REMENNOJ t WYRAVAETSQ FORMULOJ

dz		@z dx		@z dy
dt	=	@x dt	+	@y dt	:	(2)
3. pUSTX FUNKCIQ z = z(x						y) { DIFFERENCIRUEMAQ FUNKCIQ PO PE-

REMENNYM x I y, A FUNKCIQ y = y(x) { DIFFERENCIRUEMAQ FUNKCIQ PO PEREMENNOJ x. tOGDA FUNKCIQ z = z(x y) { SLOVNAQ FUNKCIQ PERE- MENNOJ x. (w DANNOM SLU^AE PEREMENNAQ x QWLQETSQ I PROMEVUTO^NOJ PEREMENNOJ WMESTE S PEREMENNOJ y I OSNOWNOJ). pROIZWODNAQ SLOVNOJ

FUNKCII z = z(x			y) PO PEREMENNOJ x WYRAVAETSQ FORMULOJ
dz	@z	dx	@z	dy
dx	= @x	dx + @y		dx	:
\|TA FORMULA POLU^AETSQ IH PREDYDU]EJ ZAMENOJ t NA x. u^TEM, ^TO
dxdx = 1 I OKON^ATELXNO POLU^IM
dz	@z	@z	dy
dx	= @x	+ @y	dx	:	(3)

dxdz { NAZYWAETSQ POLNOJ PROIZWODNOJ, ONA OTRAVAET ZAWISIMOSTX z OT

140

x I y, A TAKVE ZAWISIMOSTX y OT x, A			@x@z { ^ASTNAQ PROIZWODNAQ, KOTORAQ
BERETSQ PRI USLOWII, ^TO y I x { NEZAWISIMYE PEREMENNYE. rASSMOTRIM
PRIMERY.
1: z = ln tguv		GDE u = cos (x2y3)	v = 2x ; 5y:
nAJTI @z	I @z	:
@x	@y

~ASTNYE PROIZWODNYE NAHODIM PO FORMULAM (1). nAJDEM WSE WHODQ]IE W \TI FORMULY PROIZWODNYE OTDELXNO

ln tg

cos2

u 0

= ln tg

cos2

= (cos(x2y3))0

;

sin(x2y3)

@v = (2x 5y)0 = 2:

;

pODSTAWLQEM POLU^ENNYE PROIZWODNYE W WYRAVENIE DLQ

I POLU-

^AEM

; sin(x2y3) 2x

y3 +

@u @x +

cos2

2 =

v;2

xy3

sin(x2y3) +

cos2

aNALOGI^NO NAHODIM PROIZWODNU@ PO y. zAMETIM, ^TO W FORMULAH (1) PERWYE SOMNOVITELI W KAVDOM SLAGAEMOM ODINAKOWYE, PO\TOMU NAHO- DIM TOLXKO PROIZWODNYE FUNKCIJ u I v PO y

=(cos(x2y3))0y = ; sin(x2y3) 3y2 x2 = ; sin(x2y3) 3x2y2

=(2x ; 5y)0y = ;5:

pODSTAWLQEM WSE PROIZWODNYE W WYRAVENIE DLQ

I POLU^AEM

@z@y = @u@z @u@y + @z@v

+	1	1				;u
		u		u
	tg		cos2		v2

		v		v

;

sin(x2y3)

3x2y2

cos2

3x2y2

sin(x2y3);

(;5)=

v tg

cos2

141

	2		1				dz

2: z = px e3x;y		GDE x = t5	+ ln t y =		:	nAJTI		:
				sin t			dt

pROIZWODNU@ NAHODIM PO FORMULE (2). nAJDEM WSE WHODQ]IE W \TI FOR-

MULY PROIZWODNYE OTDELXNO

+px e3x;y

+3px1

@x =

e3x;y

3 = e3x;y

= px e3x;y

(;2y)

dt = 5t4

+ t

dt = ;

cos t:

sin2 t

pODSTAWLQEM POLU^ENNYE PROIZWODNYE W WYRAVENIE DLQ

dzdt = @x@z dxdt + @y@z dydt

= e3x;y2 0

2p1

+ 3p

5t4 + 1t ! +

+px e

cos t

;

(;2y) ;sin2 t :

z =

GDE

y = x2 e;x

nAJTI

;

NAHODITSQ PO FORMULE (3). nAJDEM OTDELXNO

pOLNAQ PROIZWODNAQ

WSE PROIZWODNYE, WHODQ]IE W \TU FORMULU

dxdy = 2x e;x + x2 e;x (;1) = e;x (2x ; x2)

@x@z = y

!x0

= ;

@y@z =

(3x 1)2

;

pODSTAWLQEM POLU^ENNYE PROIZWODNYE W WYRAVENIE DLQ

dz =

+ e;x

(2x ; x2):

;

(3x ; 1)2

3x ; 1

4.2.3. dIFFERENCIROWANIE NEQWNYH FUNKCIJ

rANEE MY OPREDELQLI NEQWNU@ FUNKCI@ ODNOJ PEREMENNOJ

F (x y) = 0	GDE	y = y(x) T:E: F (x y(x)) 0:
o^EWIDNO, ^TO I dFdx		= 0:
s DRUGOJ STORONY, MOVNO NAJTI POLNU@ PROIZWODNU@ FUNKCII DWUH PE-
REMENNYH F (x	y) POLXZUQSX FORMULOJ (3) PROIZWODNOJ SLOVNOJ FUNK-
CII

142

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1714 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математический анализ

#
28.09.20221.01 Mб4glv_1.pdf
#
28.09.2022954.28 Кб2glv_2.pdf
#
28.09.2022136.73 Кб3Таблица интегралов.pdf
#
28.09.202268.01 Кб2Таблица производных.pdf
#
28.09.20222.22 Mб9Терехина Фикс ВМ 2.PDF