Добавил:

menson13 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

Математический анализ

Файл:

Терехина Фикс ВМ 2

.PDF

Скачиваний:

Добавлен:

28.09.2022

Размер:

2.22 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 173 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

rASSMOTRIM PRIMERY WY^ISLENIQ PREDELA FUNKCII PRI

x ! 1: oTMETIM, ^TO PRINCIPIALXNYH OTLI^IJ W TEHNIKE WY^ISLE- NIQ TAKIH PREDELOW I PREDELOW ^ISLOWYH POSLEDOWATELXNOSTEJ NET.

14:	lim 5x2 + 6x + 21	=	1	!	= lim	5x2	=	5
								;2
	x!1 2 ; 4x ; 2x2		1		x!1 ;2x2

w DANNOM PRIMERE, O^EWIDNO, OTWET NE ZAWISIT OT TOGO, STREMITSQ x K ;1 ILI K +1:

15:

lim

5x3 + 3x + 1 =

= lim

5x3

x!1 1 ; 5x + 2x2

x!1 2x2

xlim x =

x !

;1:

+ 25

16:

lim

px:+ 3 + px

1 =

+ x

+ 4

; x

pRI WYDELENII GLAWNOGO ^LENA W ^ISLITELE NEOBHODIMO U^ESTX, ^TO

+ 25

=j x j :

= j x j T:E: x

pRI^EM, PRI

! ;1 MY ZAMENIM j x j=

A PRI x ! +1 MY ZAMENIM j x j= +x:

|TO ZAME^ANIE NEOBHODIMO U^ITYWATX W TEH SLU^AQH, KOGDA IZWLEKA-

@TSQ KORNI L@BOJ ^ETNOJ STEPENI, T.E.

= 8 j

;

^ETNOE

pxn

< x

n ; NE^ETNOE:

iTAK,

;xx

8 xlim!1

= 1

x ! ;1

+ 25

xlim

= xlim j x j

;

lim

;

x!1 ;x

w DANNOM PRIMERE OTWET ZAWISIT OT ZNAKA BESKONE^NOSTI

>: .

(w LITERATURE MOVNO WSTRETITX I TAKOE TRAKTOWANIE \TOJ SITUACII: RAZ NET EDINOGO PREDELA PRI x ! ;1 I x ! +1 TO PREDEL PRI x ! 1 WOOB]E NE SU]ESTWUET).

3=4

p2x

17:

lim

px3 + 3 + p2x3

; 1

lim

= 0:

p6 x8 + x7 + 1

x4=3

x!+1

;

x!+1

TAK KAK

dANNYJ PREDEL MOVET BYTX WY^ISLEN TOLXKO PRI x

PRI x ! ;1 WYRAVENIE p2x3

; 1 NE IMEET SMYSLA. w ZNAMENATELE

+ x

+ 1 ; x

= x

4=3

I ZNAK MODULQ NE TREBUETSQ, TAK KAK

+1: pREDEL RAWEN NUL@, TAK KAK W ZNAMENATELE BESKONE^NO BOLX-

[AQ WELI^INA RASTET GORAZDO BYSTREE, ^EM W ^ISLITELE.

1.3.2. nEOPREDELENNOSTX WIDA

(1 ; 1)

18:

xlim

;

1 = (1 ; 1) =

2x2

;

2x + 1

pERWAQ I WTORAQ DROBI QWLQ@TSQ B.B.W.,

TAK KAK W ^ISLITELQH DROBEJ

STEPENX, W KOTORU@ WOZWODITSQ B.B.W. x BOLX[E, ^EM STEPENX x W ZNAME- NATELQH.

nEOPREDELENNOSTX \TOGO WIDA SWODITSQ K UVE RASSMOTRENNOJ NEOPREDE-

LENNOSTI 1! PRIWEDENIEM WSEGO WYRAVENIQ W SKOBKAH K OB]EMU ZNA- MENATEL@, A1ZATEM WYDELQEM GLAWNYE ^LENY W ^ISLITELE I ZNAMENATELE

= lim x3(2x + 1) ; x2(2x2 ; 1) =

1 =

(2x + 1)(2x2

= lim

2x + x

; 2x + x

= lim

x!1

(2x)(2x2)

x!1 4x3

19:

lim

x2 + 2x

= (

) = +

;

1 ; 1

x!+1

TAK KAK O^EWIDNO, ^TO WYRAVENIE x2 + 2x ; 1 x W SILU BOLX[EJ STEPENI x:

20: lim p5x2 + 2x ; 1 ; px2 + 4 = (1 ; 1) = +1,

x!+1

TAK KAK RAZNOSTX GLAWNYH ^LENOW WYRAVENIJ p5x2 + 2x ; 1 I px2 + 4 RAWNA p5x ; x = (p5 ; 1)x I QWLQETSQ BESKONE^NO BOLX[OJ WELI^INOJ.

rASSMOTRIM PRIMER, W KOTOROM GLAWNYE ^LENY DWUH B.B.W. ODINAKO-

WYE, I DLQ NAHOVDENIQ RAZNOSTI \TIH WELI^IN NEOBHODIMO PRIWLEKATX WTOROSTEPENNYE ^LENY, IME@]IE MENX[U@ STEPENX x:

21: lim px2 + 2x ; px2 ; 3 = (1 ; 1) :

x!1

dLQ TOGO, ^TOBY SWESTI \TU NEOPREDELENNOSTX K NEOPREDELENNOSTI WIDA

UMNOVIM I RAZDELIM \TO WYRAVENIE NA SOPRQVENNOE

lim1 p

; p

+ p

x2 + 2x

x2 ;

x2 + 2x

x2 ; 3

x!1

px2 + 2x + px2 ; 3

pREOBRAZUEM W ^ISLITELE POLU^ENNU@ RAZNOSTX KWADRATOW

+ 2x)

;

; 3)

lim (

; (

= lim (x

+ 2x)

; (x

; 3

x!1

px2 + 2x + px2

x!1 px2 + 2x + px2 ; 3

= lim

x2 + 2x

; x2

+ 3

= lim

2x + 3

x!1 px2 + 2x + px2 ; 3

x!1 px2 + 2x + px2

; 3

wYDELQEM GLAWNYE ^LENY S U^ETOM ^ETNOSTI STEPENI KORNEJ W ZNAME- NATELE

lim

;

! ;1

8 x!1

;

xlim

lim x

= +1

> x!1 x

rASSMOTRIM E]E ODIN SPOSOB WY^ISLENIQ PODOBNOGO TIPA PREDELOW S

POMO]X@ \KWIWALENTNYH BESKONE^NO MALYH WELI^IN.

22:

lim

+ 2x

;

x2 + 7x

;

= (

1 ; 1

) :

x!1

wYNESEM ZA SKOBKI I ZA ZNAK KWADRATNOGO KORNQ j x j

= lim

1 + 2x ; 1

; v

1 + 7x ; 3

x!1 j

j 0v

; 1

7x ; 3

= 7 QWLQ@TSQ BESKONE^NO

wYRAVENIQ

MALYMI PRI x

! 1

SLEDOWATELXNO, MOVNO WOSPOLXZOWATXSQ TABLICEJ

\KWIWALENTNYH B.M.W.

(x)

q1 + (x)

q1 + (x) ; 1

)

+ 1:

(x)

tOGDA

1 +

+ 1

1 +

+ 1:

pODSTAWLQQ, POLU^IM

xlim!1 j x j (

+ 1!

;

+ 1!) =

= lim

= ;5

lim j x j =

(2x

;

2x)

x!1 j

x!1

lim

;x =

! ;1

x!1

= >

xlim!1 x

= ;

x ! +1:

x + p3

23:

lim

;

= (

) =

x!1

1 ; 1

= lim

4 ; x2

= lim

;x2

x!1

;

x!1

;

= lim

:::

+ 1

;

x v1 +

1 +

x 3 x

x!1

;

+ 1

x!1

;

3 x

= lim

w \TOM PRIMERE

MY SNA^ALA WYNESLI ZA ZNAK KUBI^ESKOGO KORNQ (

x3)

;x !

;

ZATEM U^LI, ^TO WELI^INA 4 ; x2

;x2

PRI x ! 1

A ZATEM ISPOLXZOWALI TABLICU \.B.M. WELI^IN.

1.3.3. nEOPREDELENNOSTX WIDA

00!

nEOPREDELENNOSTX TAKOGO WIDA WOZNIKAET PRI WY^ISLENII PREDELOW OT- NO[ENIQ DWUH BESKONE^NO MALYH WELI^IN. dLQ RASKRYTIQ \TOJ NEOPRE- DELENNOSTI \FFEKTIWNO ISPOLXZUETSQ SWOJSTWO: PREDEL OTNO[ENIQ DWUH B.M.W. MOVNO ZAMENITX PREDELOM OTNO[ENIQ \KWIWALENTNYH IM B.M.W. dLQ SOSTAWLENIQ WELI^IN, \KWIWALENTNYH ^ISLITEL@ I ZNAMENATEL@, POLXZU@TSQ TABLICEJ \KWIWALENTNYH BESKONE^NO MALYH WELI^IN, S PO- MO]X@ KOTOROJ BESKONE^NO MALU@ WELI^INU ! 0 PRI x ! x0 MOVNO PREDSTAWITX W WIDE

(x) A (x ; x0)k

GDE A { const, k { PORQDOK MALOSTI DANNOJ WELI^INY.
w ^ASTNOSTI,	ESLI (x) ! 0 PRI x ! 0 MOVNO ZAPISATX (x) A xk:
		A
eSLI (x)	! 0 PRI x ! 1 TO (x)		:
		xk

24: zAPISATX WELI^INY, \KWIWALENTNYE DANNYM PRI x ! 0 W WIDE

(x) A xk:

rE[AQ \TU ZADA^U, MY FAKTI^ESKI OPREDELQEM PORQDOK MALOSTI k

DANNOJ B.M.W. OTNOSITELXNO x ! 0: iSPOLXZUEM TABLICU \KWIWALENT-

NYH B.M.W.

1: sin

3x 3x:

(TAK KAK PRI x ! 0

(x2 + 4) ! 4).

2: x5 + 4x3

= x3(x2 + 4)

4x3,

3: arcsin (5x2 + 3x) 5x2 + 3x = x(5x + 3)

(TAK KAK PRI x ! 0

(5x + 3) ! 3).

4: tg 23x (3x)2 = 9x2:

5: 1 ; cos 7x

(7x)2

2 x2:

5=6

6: ln(1 ; px sin px) ; px sin px ; px px = ;x

7: ln (cos

x) = ln[1 ; (1 ; cos x)] ;(1 ; cos x) ;

2 = ;

2x2:

8: earctg 2x3 ; 1 arctg 2x3 2x3:

9: ex ; e4x = ex(1

; e3x)

(;3x) = ;3x

TAK KAK PRI x ! 0

! 1.

10: ep

; x = p

(1 ; p

) = x1=2,

;

; x

TAK KAK PRI

x ! 0

(1 ; px) ! 1.

ILI

11: p1

;

; 5

12: p1 + x ; 1

2 =

ILI

p1 + x 1 + 2x:

nAPRIMER,

sin x

01 +

3x + x2

2 =

13: p8 + 3x + x

;

3x + x

3x + x2

= 2 v1 +

;

2 = 2 0 v1 +

;

x(3 + x)

B t

3x + x2

4x,

(TAK KAK PRI x ! 0

(3 + x) ! 3).

(x=4)

14: p4 + x ; 2 = 2 s1 +

4 ; 1! 2

15: sin

tg x = sin x

= sin x

cos x ; 1

;

; cos x!

cos x

1 3

TAK KAK PRI x ! 0 cos x ! 1.

x (; 2 ) = ;2x

x ; tg x ;

iTAK,

sin

2x3:

16: sin2

x ; tg 2x = (sin x + tg x)(sin x ; tg x)

sin x

1 +

! (;2x3) x 2 (;2x3) = ;x4:

cos x

z A M E ^ A N I E. dWA POSLEDNIH PRIMERA ILL@STRIRU@T OTME^ENNOE WY[E OBSTOQTELXSTWO: RAZNOSTX DWUH \KWIWALENTNYH B.M.W. (NAPRIMER,tg x x) QWLQETSQ B.M.W. BOLEE WYSOKOGO PORQDKA MALOSTI PO

SRAWNENI@ S x:

z A M E ^ A N I E. dLQ RE[ENIQ PRIMEROW TAKVE POLEZNO ISPOLXZOWATX TAKOE SWOJSTWO: SUMMA BESKONE^NO MALYH WELI^IN \KWIWALENTNA TOJ IZ NIH, PORQDOK MALOSTI KOTOROJ NAIMENX[IJ.

sin 5x + tg 2x + ln(1 + x3) 5x TAK KAK tg2x x2 ln(1 + x3) x3

QWLQ@TSQ BESKONE^NO MALYMI BOLEE WYSOKOGO PORQDKA MALOSTI PO SRAW- NENI@ S (5x) T.E. OSNOWNOJ WKLAD W ISHODNU@ B.M.W. WNOSIT WELI^INA,

STEPENX KOTOROJ MENX[E

1 + px + x

1)2

p3 x:

;

parcsin x + (cos x

;

+ sin 3x

25: zAPISATX WELI^INY, \KWIWALENTNYE DANNYM PRI x ! x0 W WIDE

(x) A (x ; x0)k:

pRI ZAMENE B.M.W. NA \KWIWALENTNYE PRI x ! x0 TAKVE MOVNO POLXZO-

WATXSQ TABLICEJ \KWIWALENTYH B.M.W., W RQDE SLU^AEW PRIBEGAQ K ZAME- NE PEREMENNOJ x ; x0 = t GDE t ! 0 I MY PRIHODIM K SLU^A@, RAS- SMOTRENNOMU W PREDYDU]EJ ZADA^E. rE[AQ \TU ZADA^U, MY FAKTI^ESKI OPREDELQEM PORQDOK MALOSTI k DANNOJ B.M.W. OTNOSITELXNO (x;x0) ! 0:

1: e(x;1)2 ; 1

(x ;

1)2

PRI x !

1 ZDESX (x) = (x ; 1)2:

2: sin

(1 + x) (1 + x)

PRI x ! ;1 ZDESX

(x) = (x + 1):

;

1 =

1 + (x

PRI x

3: px

;

dEJSTWITELXNO, W DANNOM SLU^AE

= 1 I ROLX B.M.WELI^INY (x)

WYPOLNQET WELI^INA (x ; 1) ! 0:

4: ln x = ln(1 + (x ; 1)) (x ; 1)

PRI x ! 1:

dEJSTWITELXNO, WELI^INA ln x QWLQETSQ B.M.W. PRI x ! 1 T.E. x0 = 1 I, KAK I W PREDYDU]EM PRIMERE, ROLX B.M.WELI^INY (x) WYPOLNQET WELI^INA (x ; 1) ! 0:

5: ln (5 ; 2x) ;2(x ; 2)

PRI x ! 2:

dEJSTWITELXNO, WELI^INA ln(5 ; 2x) QWLQETSQ B.M.W. PRI x

! 2: dLQ

TOGO, ^TOBY POLU^ITX \KWIWALENTNU@ B.M.W. W WIDE

A (x ;

2)k MOVNO SDELATX ZAMENU :

x ; 2 = t ) x = 2 + t

GDE t !

tOGDA ln(5

; 2x) = ln[5 ;

2(2 + t)] = ln(1 ; 2t) ;2t:

wOZWRA]AQSX K STAROJ PEREMENNOJ, POLU^IM

ln(5 ; 2x) ;2(x ; 2):

6: p

; 4

5(x

8; 3)

5x + 1

PRI x ! 3:

dEJSTWITELXNO, WELI^INA

5x + 1 ;

4 QWLQETSQ B.M.W. PRI

x ! 3: dLQ TOGO, ^TOBY POLU^ITX \KWIWALENTNU@ B.M.W. W WIDE

A (x ;

3)k SDELAEM SNA^ALA ZAMENU:

x ; 3 = t ) x = 3 + t

GDE t ! 0:

tOGDA

4 = p

4 = 4v

1 +

5x + 1

;

4 =

5(3 + t) + 1

;

16 + 5t

;

4 =

(5t=16) =

= 4

1 +

;

wWERNEMSQ K STAROJ PEREMENNOJ

5x + 1 ; 4 8

(x ; 3):

7: sin 7 x 7 (x + 5)

PRI x ! ;5:

dEJSTWITELXNO, WELI^INA sin 7 x QWLQETSQ B.M.W. PRI x ! ;5: dLQ TO-
GO, ^TOBY POLU^ITX \KWIWALENTNU@ B.M.W. W WIDE A		(x + 5)k SDELAEM
SLEDU@]EE:
sin 7 x = sin 7 [(x + 5) ; 5] = sin[7 (x + 5) ; 35 ] =
= ; sin 7 (x + 5) ;7 (x + 5):	( (x) = 7 (x + 5)):
x
8: ln x ; 1 e ; 1 PRI x ! e:

dEJSTWITELXNO, WELI^INA ln x ;

1 QWLQETSQ B.M.W. PRI x ! e. dLQ TOGO,

^TOBY WYDELITX WELI^INU (x

;

e) PREOBRAZUEM ISHODNOE WYRAVENIE

ln x ; 1 = ln x ; ln e = ln xe

sDELAEM ZAMENU

x ; e = t

) x = t + e GDE t ! 0:

+ e

tOGDA POLU^IM

= ln

1 + e!

wOZWRA]AEMSQ K STAROJ PEREMENNOJ

ln x

;

x ; e

;

e):

9: 1 ; cos3 x ;

x ;

PRI x ! =4:

sDELAEM ZAMENU

; =4 = t

PRI^EM t ! 0:

tOGDA

1 ; cos3 x ; 4 ! = 1

; cos3 t = (1 ; cos t) (1 + cos t + cos2 t)

2 (1 + 1 + 1) = 3

2 =

x ;

! :

10: epx+3 ; e 2 (x + 2)

PRI x ! ;2.

pREOBRAZUEM ISHODNU@ BESKONE^NO MALU@ WELI^INU

; e = e

;1 ; 1 :

x+3

wELI^INA ep

;1 ; 1

x+3

QWLQETSQ BESKONE^NO MALOJ

PRI x

! ;2: rOLX (x)

WYPOLNQET WELI^INA

x + 3 ; 1:

wOSPOLXZUEMSQ TABLICEJ \KWIWALENTNYH B.M.W.

x + 2

e epx+3;1 ; 1 e (px + 3 ; 1) = e (q1 + (x + 2) ; 1) e

11: ln3(x2 + 9x + 9) 73 (x + 1)3

PRI x ! ;1.

pREOBRAZUEM ARGUMENT LOGARIFMA

(x2 + 9x + 9) = 1 + (x2 + 9x + 8) = 1 + (x + 1)(x + 8):

tOGDA

[(x + 1)(x + 8)]3

ln3(x2 + 9x + 9) = ln3[1 + (x + 1)(x + 8)]

[7(x + 1)]3

TAK KAK

(x + 8) ! 7

PRI x ! ;1.

26:

zAPISATX WELI^INY, \KWIWALENTNYE DANNYM PRI

x ! 1 W

WIDE

(x)

(ZDESX

k ; PORQDOK MALOSTI B:M:W: OTNOSITELXNO 1=x PRI

x ! 1):

1: tg p

PRI x ! 1:

j x j

3x2 + 1

dEJSTWITELXNO, WELI^INA

QWLQETSQ B.M.W. PRI

3x2 + 1

x ! 1 A, ZNA^IT, I

QWLQETSQ B.M.W. PRI x ! 1: wOS-

+ 1

POLXZUEMSQ SNA^ALA TABLICEJ \KWIWALENTNYH B.M.W., A ZATEM WYDELIM

GLAWNU@ ^ASTX B.B.W.

+ 1:

tg p

= p

j x j

3x2 + 1

3x2

1	1
		PRI x ! 1:
2: epx ; 1 px

dEJSTWITELXNO, WELI^INA px QWLQETSQ B.M.W. PRI x ! 1: pO\TOMU PO TABLICE \KWIWALENTNYH B.M.W. MOVEM ZAPISATX

e px ; 1 p

(x ! 1):

x + 5

3: arcsin

PRI x ! 1:

5x4 + x3 ; 4

dEJSTWITELXNO,

PRI x

! 1 ARGUMENT FUNKCII ARKSINUSA STREMIT-

SQ K NUL@ I MOVNO WOSPOLXZOWATXSQ TABLICEJ \KWIWALENTNYH B.M.W., I

U^ESTX, ^TO

PRI x

! 1

x + 5

5x4 + x3

; 4

5x4:

(dLQ BESKONE^NO BOLX[IH WELI^IN GLAWNYMI QWLQ@TSQ ^LENY S BOLX-

[EJ STEPENX@ PEREMENNOJ x

! 1:)

x + 5

arcsin

5x4 + x3 ; 4

5x4

00! S ISPOLX-

rASSMOTRIM PRIMERY RASKRYTIQ NEOPREDELENNOSTI WIDA

ZOWANIEM TABLICY RAZLI^NYH PRIEMOW, W TOM ^ISLE I TABLICY \KWIWA-

LENTNYH B.M.W.

sin 5x

27:

lim

+ 3 =

tg 7x

= lim

x + 3

7x!

x!0

p1 + x

28:

lim

; p1

; 2x

= 0

x!0

TAK KAK

1 + x ; 1 2x

1 + x 1 + 2x

p1 ; 2x ; 1 ;32x = ;3x

p1 ; 2x 1 ; 3x

<<< < Предыдущая 1 23 / 173 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математический анализ

#
28.09.20221.01 Mб4glv_1.pdf
#
28.09.2022954.28 Кб2glv_2.pdf
#
28.09.2022136.73 Кб3Таблица интегралов.pdf
#
28.09.202268.01 Кб2Таблица производных.pdf
#
28.09.20222.22 Mб9Терехина Фикс ВМ 2.PDF