Терехина Фикс ВМ 2

3. nAJTI PROIZWODNU@ SKALQRNOGO POLQ

U = ln(1 + x2 + y2) ; qx2 + y2 W TO^KE M0(3 0 ;4) W NAPRAWLENII WEKTORA NORMALI K POWERHNOSTI

S: x2 ;6x + 9y2 + z2 = 4z + 4 OBRAZU@]EGO OSTRYJ UGOL S OSX@ OZ:

a)nAHODIM ^ASTNYE PROIZWODNYE FUNKCII U(x y z) W TO^KE M0

b) nAHODIM WEKTOR NAPRAWLENIQ. kAK IZWESTNO, KOORDINATAMI WEKTORA NORMALI K POWERHNOSTI, ZADANNOJ URAWNENIEM S :

WYWATX S OS@ OZ OSTRYJ UGOL, TO KOORDINATA z DOLVNA BYTX POLOVI-

163

4.4.4. wEKTOR{GRADIENT SKALQRNOGO POLQ

o P R E D E L E N I E. wEKTOROM-GRADIENTOM SKALQRNOGO POLQ U(x y z) W DANNOJ TO^KE NAZYWAETSQ WEKTOR, KOORDINATAMI KOTOROGO SLUVAT ZNA^ENIQ ^ASTNYH PROIZWODNYH FUNKCII POLQ W \TOJ TO^KE.

;;;;!grad U = (@U@x @U@y @U@z ) :

nAPOMNIM E]E RAZ, ^TO ^ASTNYE PROIZWODNYE FUNKCII U WY^ISLQ@TSQ W TO^KE TO^KE M0:

sOPOSTAWIW OPREDELENIQ WEKTORA-GRADIENTA I PONQTIQ PROIZWODNOJ PO NAPRAWLENI@ I LINIJ (POWERHNOSTEJ) UROWNQ, MOVNO SDELATX SLEDU@- ]IE WAVNYE WYWODY, OB_QSNQ@]IE SUTX WEKTORA-GRADIENTA.

1.wEKTOR-GRADIENT W KAVDOJ TO^KE POLQ NAPRAWLEN PERPENDIKULQR- NO K LINII (POWERHNOSTI) UROWNQ, PROHODQ]EJ ^EREZ DANNU@ TO^KU.

2.wELI^INA PROIZWODNOJ W TO^KE PO NAPRAWLENI@ ESTX PROEKCIQ WEKTORA-GRADIENTA POLQ W DANNOJ TO^KE NA DANNOE NAPRAWLENIE.

3.wELI^INA WEKTORA-GRADIENTA (EGO MODULX) ESTX NAIBOLX[AQ IZ WSEH PROIZWODNYH W DANNOJ TO^KE PO WSEM NAPRAWLENIQM.

nAPRAWLENIE WEKTORA-GRADIENTA PRI \TOM ESTX NAPRAWLENIE, W KOTO- ROM POLE RASTET S NAIBOLX[EJ SKOROSTX@.

rASSMOTRIM PRIMERY.

1: nAJTI WELI^INU I NAPRAWLENIE WEKTORA-GRADIENTA POLQ

U = xz2 ; px3y W TO^KE M0(2 2 4):

164

nAPRAWLENIE WEKTORA-GRADIENTA W TO^KE M1 HARAKTERIZUETSQ EGO NA-

PRAWLQ@]IMI KOSINUSAMI

mODULX WEKTORA-GRADIENTA - WELI^INA NAIBOLX[EJ SKOROSTI IZMENE-

NIQ FUNKCII W TO^KE M2 BUDET RAWEN j;;;;!grad Uj = p1 + 16 + 36 = p53 7 28:

nAPRAWLENIE WEKTORA-GRADIENTA W TO^KE M2 HARAKTERIZUETSQ EGO NA- PRAWLQ@]IMI KOSINUSAMI

cos = p153 cos = ;p453 cos = ; p653:

sRAWNIWAQ WELI^INY WEKTOROW-GRADIENTOW, MOVNO SKAZATX, ^TO NAI- BOLX[AQ SKOROSTX IZMENENIQ FUNKCII W TO^KE M2 PRIMERNO W 2,6 RAZA BOLX[E, ^EM NAIBOLX[AQ SKOROSTX IZMENENIQ FUNKCII W TO^KE M1:

166

sodervanie

gLAWA 1. fUNKCIQ I EE PREDEL

1.1.pONQTIE FUNKCII. oSNOWNYE \LEMENTARNYE FUNKCII : : 3

1.2.pREDEL FUNKCII : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6

1.2.1.pONQTIE PREDELA : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6

1.2.2.bESKONE^NO MALYE I BESKONE^NO BOLX[IE WELI^INY : : : : : : : : 8

1.2.3.oSNOWNYE SWOJSTWA PREDELOW : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 10

1.2.4.zAME^ATELXNYE PREDELY : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 11

1.2.5.sRAWNENIE BESKONE^NO MALYH WELI^IN : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 12

1.2.6.|KWIWALENTNYE BESKONE^NO MALYE WELI^INY : : : : : : : : : : : : : : 14

1.3.wY^ISLENIE PREDELOW.

rASKRYTIE NEOPREDELENNOSTEJ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 16

1.3.1.nEOPREDELENNOSTX WIDA 11! : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 17

1.3.2.nEOPREDELENNOSTX WIDA (1 ; 1) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 23

1.3.3.nEOPREDELENNOSTX WIDA 00! : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 25

1.3.4.nEOPREDELENNOSTX WIDA (0 1) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 35

1.3.5.nEOPREDELENNOSTX WIDA (11) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 36

1.4.nEPRERYWNOSTX FUNKCII

1.4.1.oDNOSTORONNIE PREDELY : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 40

1.4.2.pONQTIE NEPRERYWNOSTI FUNKCII : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 41

1.4.3.kLASSIFIKACIQ TO^EK RAZRYWA : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 42

1.4.4.iSSLEDOWANIE FUNKCIJ NA NEPRERYWNOSTX : : : : : : : : : : : : : : : : : 44

1.4.5.sWOJSTWA NEPRERYWNYH FUNKCIJ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 50

gLAWA 2. pROIZWODNAQ FUNKCII

2.1.dIFFERENCIROWANIE FUNKCIJ

2.1.1.pONQTIE PROIZWODNOJ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 52

2.1.2.oSNOWNYE PRAWILA DIFFERENCIROWANIQ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 55

2.1.3.oSNOWNYE FORMULY DIFFERENCIROWANIQ : : : : : : : : : : : : : : : : : : 55

2.1.4.tABLICA PROIZWODNYH SLOVNYH FUNKCIJ : : : : : : : : : : : : : : : : : 56

167

2.1.5.pRIMERY NAHOVDENIQ PROIZWODNYH : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 56

2.1.6.pRIEM LOGARIFMI^ESKOGO DIFFERENCIROWANIQ : : : : : : : : : : : : 62

2.1.7.pROIZWODNAQ POKAZATELXNO-STEPENNOJ FUNKCII : : : : : : : : : : : : 65

2.1.8.pROIZWODNAQ PARAMETRI^ESKOJ FUNKCIII : : : : : : : : : : : : : : : : : 66

2.1.9.dIFFERENCIROWANIE NEQWNOJ FUNKCII : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 67

2.1.10.dIFFERENCIAL FUNKCII : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 68

2.1.11.pROIZWODNYE I DIFFERENCIALY

WYS[IH PORQDKOW : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 70 2.1.12. zADA^I : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 74

gLAWA 3. pRILOVENIQ PROIZWODNOJ

3.1. pRAWILO lOPITALQ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 76

3.2.iSSLEDOWANIE I POSTROENIE GRAFIKOW FUNKCIJ : : : : : : : : 78

3.2.1.oBLASTX OPREDELENIQ FUNKCII : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 79

3.2.2.aSIMPTOTY : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 83

3.2.3.|KSTREMUM FUNKCII : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 93

3.2.4.wYPUKLOSTX, WOGNUTOSTX, TO^KI PEREGIBA : : : : : : : : : : : : : : : : 103

3.2.5.sHEMA POLNOGO ISSLEDOWANIQ FUNKCIJ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 107

3.2.6.nAIBOLX[EE I NAIMENX[EE ZNA^ENIQ FUNKCII : : : : : : : : : : : 118

3.2.7.wTOROE DOSTATO^NOE USLOWIE \KSTREMUMA : : : : : : : : : : : : : : : : : 119

3.2.8.zADA^I NA \KSTREMUM : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 120

3.3.kASATELXNAQ I NORMALX K KRIWOJ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 123

gLAWA 4. fUNKCII NESKOLXKIH PEREMENNYH

4.1.pONQTIE I OBLASTX OPREDELENIQ FUNKCII : : : : : : : : : : : : : 126

4.2.dIFFERENCIROWANIE FUNKCIJ

4.2.1.~ASTNYE PROIZWODNYE FUNKCII : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 129

4.2.2.dIFFERENCIROWANIE SLOVNYH FUNKCIJ : : : : : : : : : : : : : : : : : : 133

4.2.3.dIFFERENCIROWANIE NEQWNYH FUNKCIJ : : : : : : : : : : : : : : : : : : 136

4.2.4.pROIZWODNYE WYS[IH PORQDKOW : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 137

4.2.5.pOLNYJ I ^ASTNYE DIFFERENCIALY : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 139

4.2.6.dIFFERENCIALY WYS[IH PORQDKOW : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 141

168

4.3. pRILOVENIQ ^ASTNYH PROIZWODNYH

4.3.1. kASATELXNAQ PLOSKOSTX I NORMALX K POWERHNOSTI : : : : : : : : 142 4.3.2. |KSTREMUM FUNKCII DWUH PEREMENNYH : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 144 4.3.3. nAIBOLX[EE I NAIMENX[EE ZNA^ENIQ FUNKCII : : : : : : : : : : : 148

4.4. sKALQRNOE POLE

4.4.1.pONQTIE SKALQRNOGO POLQ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 151

4.4.2.lINII I POWERHNOSTI UROWNQ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 151

4.4.3.pROIZWODNAQ PO NAPRAWLENI@ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 153

4.4.4.wEKTOR-GRADIENT SKALQRNOGO POLQ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 156

169