Добавил:

menson13 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

Математический анализ

Файл:

Терехина Фикс ВМ 2

.PDF

Скачиваний:

Добавлен:

28.09.2022

Размер:

2.22 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 172 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

sLEDSTWIQ IZ WTOROGO "ZAME^ATELXNOGO PREDELA"
lim	ln(1 + (x))		= 1	lim	loga(1 + (x))		=	1
lim	(x)		= 1	lim	(x)		=	ln a
(x)!0	(x)			(x)!0	(x)			ln a
lim	e (x) ; 1	= 1		lim	a (x) ; 1	= ln a
(x)!0	(x)			(x)!0	(x)
1.2.5. sRAWNENIE BESKONE^NO MALYH WELI^IN
pUSTX DANY DWE BESKONE^NO MALYE PRI x ! x0 (ILI x ! 1) WELI-
^INY (x) I (x): dLQ NIH SPRAWEDLIWO
	lim (x) = 0			lim	(x) = 0
	x!x0			x!x0

tEM NE MENEE, HARAKTER (SKOROSTX) IH PRIBLIVENIQ K NUL@, WOOB]E GO- WORQ, MOVET BYTX RAZNYM. pO\TOMU GOWORQT O PORQDKE MALOSTI ODNOJ B.M.W. OTNOSITELXNO DRUGOJ.

~TOBY SRAWNITX DWE BESKONE^NO MALYE WELI^INY NUVNO NAJ- TI PREDEL IH OTNO[ENIQ.

rASSMOTRIM WOZMOVNYE SLU^AI.

1. pREDEL OTNO[ENIQ (x) K (x) RAWEN NUL@

lim (x) = 0

x!x0 (x)

TOGDA BESKONE^NO MALAQ (x) S^ITAETSQ WELI^INOJ BOLEE WYSOKOGO PO- RQDKA MALOSTI PO SRAWNENI@ S (x): w DANNOM SLU^AE B.M.W. (x) STRE- MITSQ K NUL@ "BYSTREE", ^EM (x):

2. pREDEL OTNO[ENIQ (x) K (x) RAWEN BESKONE^NOSTI

lim (x) = 1

x!x0 (x)

TOGDA BESKONE^NO MALAQ (x) S^ITAETSQ WELI^INOJ NIZ[EGO PORQDKA MA- LOSTI PO SRAWNENI@ S (x): (mOVNO SKAZATX,^TO : B.M.W. (x) WYS[EGO PORQDKA MALOSTI, ^EM B.M.W. (x)).

( (x))k

3. pREDEL OTNO[ENIQ (x) K (x) RAWEN POSTOQNNOMU ^ISLU, OTLI^- NOMU OT NULQ

lim (x) = C

x!x0 (x)

TOGDA BESKONE^NO MALYE (x) I (x) S^ITA@TSQ WELI^INAMI ODNOGO PORQDKA MALOSTI.

w ^ASTNOSTI, ESLI C=1, TO (x) I (x) NAZYWA@TSQ \KWIWALENTNYMI.

dLQ BOLEE TO^NOJ SRAWNITELXNOJ HARAKTERISTIKI POWEDENIQ B.M.W. ISPOLXZUETSQ ^ISLO { PORQDOK MALOSTI ODNOJ WELI^INY OTNOSITELX-

NO DRUGOJ:

4. bESKONE^NO MALAQ WELI^INA (x) NAZYWAETSQ BESKONE^NO MALOJ WELI^INOJ k { GO PORQDKA MALOSTI OTNOSITELXNO BESKONE^NO MALOJ WE- LI^INY (x) ESLI (x) I BUDUT WELI^INAMI ODNOGO PORQDKA,

T.E.	(x)
lim		= C:
	k(x)
x!x0

~ISLO k POKAZYWAET, W KAKU@ STEPENX NADO WOZWESTI B.M.W. (x) ^TOBY ONA STALA TAKOJ VE MALOJ, KAK I B.M.W. (x): ~A]E WSEGO W KA^ESTWE OS- NOWNOJ WELI^INY, OTNOSITELXNO KOTOROJ OPREDELQETSQ PORQDOK DRUGIH B.M.W., ISPOLXZUETSQ B.M.W. x ! 0:

1.2.6. |KWIWALENTNYE BESKONE^NO MALYE WELI^INY

bESKONE^NO MALYE WELI^INY (x) I (x) NAZYWA@TSQ \KWIWALENTNYMI, ESLI PREDEL IH OTNO[ENIQ RAWEN EDINICE

lim	(x)	= 1	=	(x)		(x):
x!x0	(x)		)

oTMETIM OSNOWNYE SWOJSTWA, \KWIWALENTNYH B.M.W.

1. pREDEL OTNO[ENIQ DWUH B.M.W. RAWEN PREDELU OTNO[ENIQ \KWIWALENT-

NYH IM B.M.W. T.E.					(x)			(x)
ESLI (x)	(x)	(x)	(x)	TO lim	(x)	=	lim	(x)	:
				x!x0	(x)		x!x0	(x)

dANNOE SWOJSTWO [IROKO PRIMENQETSQ PRI RASKRYTII NEOPREDELENNOS- TI WIDA 00! KOGDA ODNU BESKONE^NO MALU@, ILI OBE ZAMENQ@T BOLEE

PROSTYMI \KWIWALENTNYMI IM WELI^INAMI. pRI \TOM POLXZU@TSQ TAB- LICEJ \KWIWALENTNYH B.M.W., KOTORAQ W BOLX[INSTWE SLU^AEW POLU^AET- SQ IZ FORMUL DWUH ZAME^ATELXNYH PREDELOW I SLEDSTWIJ IZ NIH.

z A M E ^ A N I E. dLQ POSTROENIQ BESKONE^NO MALOJ WELI^INY, \K- WIWALENTNOJ SUMME, PROIZWEDENI@ ILI OTNO[ENI@ BESKONE^NO MALYH, TABLICY WPOLNE DOSTATO^NO. tAK,

sin x + x x + x = 2x		2		45
(1 ; cos 3x) tg5x	(3x)		5x =		x3
	2			2
ln(1 + 3x3 + 5x) ; x 3x2			+ 5x ; x = 3x2 + 4x 4x:

dLQ BESKONE^NO MALOJ WIDA MNOGO^LENA PRI x ! 0 \KWIWALENTOM SLU-
VIT MLAD[AQ STEPENX MNOGO^LENA
3x3 + 5x2 +27x x (3x2 + 5x + 7)	7x TAK KAK PRI x ! 0
WYRAVENIE 3x + 5x + 7 ! 7:

pRI POSTROENII \KWIWALENTA RAZNOSTI BESKONE^NO MALYH PRIWEDENNOJ TABLICY ^ASTO BYWAET NEDOSTATO^NO.

tABLICA \KWIWALENTNYH BESKONE^NO MALYH

1: sin (x) (x)

ln [1 + (x)] (x)

2: arcsin (x)

(x)

loga [1 + (x)]

(x)

ln a

3: tg (x) (x)

8: e (x) ; 1 (x)

4: arctg (x) (x)

a (x) ; 1 (x) ln a

5: 1 ; cos (x)

2(x)

(x)

10:

q1 + (x) ; 1

2. rAZNOSTX DWUH \KWIWALENTNYH BESKONE^NO MALYH WELI^IN ESTX WELI^I- NA BOLEE WYSOKOGO PORQDKA MALOSTI PO SRAWNENI@ S KAVDOJ IZ NIH.

~ISLO "0" NI PRI KAKIH OBSTOQTELXSTWAH NE MOVET SLUVITX \KWIWA- LENTOM BESKONE^NO MALOJ WELI^INY. pRAWYE ^ASTI ZAPISANNYH W TAB- LICE FORMUL WOWSE NE QWLQ@TSQ DOSTATO^NYMI I IH WSEGDA MOVNO DO- POLNITX, PRI NEOBHODIMOSTI, BOLEE WYSOKIMI STEPENQMI x, SWOIMI DLQ KAVDOGO PUNKTA TABLICY.

tAK, NAPRIMER, PRI x ! 0

sin 3x ; 5x

3x ; 5x = ;2x

ln(1 + x) ; tg5x x ; 5x = ;4x

4x3

; x

3x:

1 + 4x3

;

sin 2x

;

2x =

w PRIWEDENNYH SLU^AQH TABLI^NYH SOOTNO[ENIJ DOSTATO^NO.

nO ESLI DWE B.M.W. \KWIWALENTNY ODNOJ I TOJ VE WELI^INE, NAPRIMER x, (\TO ZNA^IT, ^TO ONI \KWIWALENTNY DRUG DRUGU), TO PRI SOSTAWLENII IH RAZNOSTI NELXZQ KAVDU@ ZAMENITX NA TABLI^NU@ \KWIWALENTNU@, TAK KAK MOVET POLU^ITXSQ 0 :

sin x ; x x

; x = 0 { NE WERNO,

; x = 0 { NE WERNO.

ln(1 + 3x) ; sin 2x ; tgx 3x ; 2x

w TAKIH SITUACIQH NEOBHODIMO PRIWLEKATX DLQ POSTROENIQ \KWIWA-

LENTNYH BOLEE WYSOKIE STEPENI x

sin x ; x 0x ; 6

; x = 6

sin x ; x 6

0x +

tgx ; sin x

; 0x + 6

= 2

;! tgx ; sin x

w NASTOQ]EM POSOBII MY NE BUDEM PRIWODITX DRUGOJ, BOLEE POLNOJ,

TABLICY \KWIWALENTNYH. w DALXNEJ[EM W TEORII RQDOW BUDET RASSMOT- REN WOPROS O PREDSTAWLENII FUNKCII BESKONE^NYM RQDOM. pOKA NEOBHO- DIMO UQSNITX, ^TO ESLI NEPOSREDSTWENNOE ISPOLXZOWANIE PRIWEDENNOJ TABLICY PRIWODIT K TOMU, ^TO W KA^ESTWE \KWIWALENTA RAZNOSTI BES- KONE^NO MALYH MY POLU^AEM ^ISLO 0, SLEDUET STROITX \KWIWALENTNYE DRUGIM SPOSOBOM.

1.3.wY^ISLENIE PREDELOW. rASKRYTIE NEOPREDELENNOSTEJ

pRI WY^ISLENII PREDELOW NEOBHODIMO PREVDE WSEGO W WYRAVENIE, STO- Q]EE POD ZNAKOM PREDELA, WMESTO PEREMENNOJ PODSTAWITX EE PREDELXNOE ZNA^ENIE. wOZMOVNY DWE SITUACII:

1)w REZULXTATE PODSTANOWKI I PROWEDENIQ NEOBHODIMYH WY^ISLENIJ POLU^ILOSX OPREDELENNOE ^ISLO (W ^ASTNOSTI, NOLX ILI BESKONE^NOSTX), KOTOROE I QWLQETSQ OTWETOM.

2)w REZULXTATE PODSTANOWKI PREDELXNOGO ZNA^ENIQ PEREMENNOJ POLU- ^A@TSQ NEOPREDELENNOSTI. rAZLI^A@T SEMX WIDOW NEOPREDELENNOSTEJ:

00!	11!	(0 1) (1 ; 1) 11 00 10 :
dLQ POLU^ENIQ REZULXTATA NEOBHODIMO RASKRYTX NEOPREDELENNOSTX mE-
TODY RASKRYTIQ NEOPREDELENNOSTEJ MY RASSMOTRIM DALEE NA PRIMERAH.

rASSMOTRIM SNA^ALA PRIMERY, W KOTORYH NET NEOPREDELENNYH WYRA- VENIJ.

lim

3x2 + 7 =

12 + 7 =

3 + 7

x!1

5 ; 2x

;

5 ; 2

px2 + 5

lim

4 + 5

2 sin x

2 sin

lim

;

4 ;

= 0:

x!2 ln(1 + 3x2)

ln(1 + 3

ln 13

x3 + 1

0 3 + 1

1 2

x + 1

0 + 1

lim

2x3 + 8

03 + 83

x + 6

xlim!;1 "

#(x + 1)

= 5+1 = 1:

4x + 5

lim arctg

;

= arctg

;

= arctg

(4 ; 4)4

(0)4

x!4

;

4)4

= arctg (+1) =

2 :

7: x!;1lim px2 + 2 ; x = q(;1)2 + 2 ; (;1) = p+1 + 1 = 1:

1.3.1. nEOPREDELENNOSTX WIDA

rASSMOTRIM PRIMERY RASKRYTIQ NEOPREDELENNOSTEJ RAZLI^NYH WIDOW.

11!

wO WSQKOJ BESKONE^NO BOLX[OJ WELI^INE, SOSTOQ]EJ IZ KOMBINACII PE- REMENNYH WELI^IN, STREMQ]IHSQ K BESKONE^NOSTI, I POSTOQNNYH SLA- GAEMYH, MOVET BYTX WYDELENY GLAWNAQ ^ASTX, DA@]AQ OSNOWNOJ WKLAD W ISHODNU@ B.B.W., I WTOROSTEPENNAQ ^ASTX.

tAK, W MNOGO^LENE

y = 5x3 +3x2

;3x+6

PRI x ! +1 5x3 - GLAWNAQ

^ASTX, 3x2 ; 3x + 6 { WTOROSTEPENNAQ, TAK KAK

5x3

3x2 ; 3x + 6 W

SILU BOLX[EJ STEPENI ^LENA

5x3:

w WYRAVENII y =

+ 3n ; 1

PRI

n ! 1 O^EWIDNO,

n + 2 +

GLAWNYM BUDET ^LEN S BOLX[EJ STEPENX@ n, T.E.

p3 8n3 = 2n:

oSTALXNYE ^LENY

{ WTOROSTEPENNYE.

w WYRAVENII

PRI n ! 1 O^E-

y = p5n + n2 ; p6n5 + 3n2 ; 1

WIDNO, GLAWNYM TAKVE BUDET ^LEN S BOLX[EJ STEPENX@ n T.E. ; p6n5 =

(5=4)

: oSTALXNYE ^LENY

- WTOROSTEPENNYE.

; p6 n

;

w WYRAVENII

y = 2x

3x PRI x

GLAWNYJ ^LEN (

3x)

WTOROSTEPENNYJ 2 , TAK KAK 3

2 :

w WYRAVENII y = 12 x

GLAWNOJ ^ASTX@ BUDET 0 01

+ 0 01

TAK KAK L@BAQ POKAZATELXNAQ FUNKCIQ (S OSNOWANIEM, BOLX[IM EDINI-

CY) RASTET GORAZDO BYSTREE, ^EM L@BAQ STEPENNAQ.

pRI NAHOVDENII PREDELOW OTNO[ENIQ BESKONE^NO BOLX[IH WELI^IN MOVNO PRENEBRE^X WTOROSTEPENNYMI ^LENAMI W ^ISLITELE I ZNAMENA- TELE, TOGDA PREDEL OTNO[ENIQ SWEDETSQ K PREDELU OTNO[ENIQ GLAWNYH ^ASTEJ \TIH WELI^IN, I WY^ISLENIE PREDELA ZNA^ITELXNO UPRO]AETSQ. pRI NAHOVDENII PREDELA RAZNOSTI DWUH BESKONE^NO BOLX[IH WELI- ^IN OPREDELQ@]IMI MOGUT OKAZATXSQ WTOROSTEPENNYE ^LENY, TAK KAK

GLAWNYE MOGUT UNI^TOVITXSQ, NAPRIMER

(n + 1)2 ; (n ; 2)2 = n2 + 2n + 1 ; n2 + 4n ; 4 = 6n ; 3

T.E. GLAWNU@ ROLX IGRAET ^LEN S PERWOJ STEPENX@ n:

1:	lim 5n2 + 3n + 4	=	1	!	= lim	5n2	=	5	:
								;9
	n!1 1 ; 7n ; 9n2		1		n!1 ;9n2

w ^ISLITELE I ZNAMENATELE MY PRENEBREGLI WSEMI ^LENAMI SO STEPENQ- MI MENX[E 2-OJ.

lim 6n3 + 4n + 2 =

n!16n13;

;

9n62n

16!

= lim

lim n

n!1 ;9n2

n!1 ;9

;9 n!1

A W ZNA-

w ^ISLITELE OSTAWILI GLAWNYJ ^LEN S WYS[EJ STEPENX@ 6n

MENATELE ;9n2:

lim

3n + 2

= lim

lim 1

= 0:

;

n!1

7n2

n!1 7n2

7 n!1 n

w ^ISLITELE OSTAWLQEM GLAWNYJ ^LEN 3n

A W ZNAMENATELE 7n

+ 5

4: lim

n pn + 2 + p16n

1 = lim

p16n

n!1

(9n

n!1

p3n2

pn)p3n2 + n + 1

2n2

;

2n2

= lim

p3n

9p3

n!1 9n

n!1 9p3n2

lim

(2n + 1)4

;

(n + 2)4

n!1 (2n + 2)4

+ (n

;

3)4

rASKRYW SKOBKI W ^ISLITELE I ZNAME-

NATELE S POMO]X@ FORMUL

(a b)4 =

= a4 4a3b + 6a2b2

4ab3 + b4

WYPI[EM TOLXKO ^LENY S WYS[EJ STE-

PENX@ n

lim 16n4

; n4

= lim

15n4

= 15:

n!1 16n4

+ n4

n!1 17n4

6: nlim

(2n + 1)3

;

(2n + 2)3

1 ; 1! =

+ 1)3

;

3)3

;

1 ; 1

;12

= lim 8n

+ 12n

; 8n

;

24n

= lim

;12n

;

n!1

n3 + 3n2

; n3 + 9n2

n!1

12n2

w DANNOM PRIMERE, W OTLI^IE OT PREDYDU]EGO, ESLI RASKRYTX SKOB- KI W ^ISLITELE I ZNAMENATELE S POMO]X@ FORMUL

(a b)3 = a3 3a2b + 3ab2 b3

TO STAR[IE ^LENY S WYS[IMI STEPENQMI n UNI^TOVA@TSQ, TAK KAK IME@T ODINAKOWYE KO\FFICIENTY, PO\TOMU MY PRIWLEKLI ^LENY S MENX- [IMI STEPENQMI.

	7:	lim 3 2n ; 7 6n	=	1	!	= lim	;7 6n	=	7	:
		n!1 2 6n + 5 2n		1	!	n!1	2 6n		;2

gLAWNYMI ^LENAMI ^ISLITELQ I ZNAMENATELQ QWLQ@TSQ SLAGAEMYE S BOLX[IM OSNOWANIEM STEPENI, T.E. 6n.

8: lim

5n+2

; 8 3n;1

= lim

5n 52

n!1

5n;1

+ 21

n!1 4

5;1

125

4 :

4 5;1

gLAWNYMI ^LENAMI ^ISLITELQ I ZNAMENATELQ QWLQ@TSQ SLAGAEMYE S BOLX[IM OSNOWANIEM STEPENI, T.E. 5n, WYRAVENIQ c POKAZATELQMI STE-

PENI (n + 2) I (n ;

1) NEOBHODIMO SWESTI K WYRAVENIQM, SODERVA]IM

TOLXKO STEPENI n

^TOBY OPREDELITX KO\FFICIENTY PRI 5n:

tO ESTX

n+2

= 5 5

5 ; = 5 5;

: 5

lim 1 + 3 + 5 + ::: + 2n ; 1

n!1

(2n + 5)

(3n ; 1)

wYRAVENIE, STOQ]EE W ^ISLITELE DROBI, PREDSTAWLQET SOBOJ SUMMU n ^LENOW ARIFMETI^ESKOJ PROGRESSII, KOTORU@ MOVNO NAJTI PO IZWEST-

NOJ FORMULE

Sn = (a1 +2an) n:

w NA[EM SLU^AE a1 = 1 an = 2n ; 1 ^ISLO ^LENOW PRORESSII n: u^I- TYWAQ \TO, I, OSTAWLQQ W ZNAMENATELE TOLXKO STAR[IE ^LENY, POLU^IM

		(1 + 2n ; 1) n		(2n) n
lim		2	= lim	2

n!1		(2n) (3n)	n!1	(2n) (3n)
10: nlim	1 + 2 + 4 + 8 + ::: + 2n			1! :
		2n+3 + n2	=
!1				1

= lim	n2	=	1	:

n!1 6n2			6

wYRAVENIE, STOQ]EE W ^ISLITELE DROBI, PREDSTAWLQET SOBOJ SUMMU n ^LENOW GEOMETRI^ESKOJ PROGRESSII, KOTORU@ MOVNO NAJTI PO IZWESTNOJ FORMULE

Sn = a1 (1		; qn)
1	; q
20

W NA[EM SLU^AE a1 = 1 q = 2: tOGDA POLU^AEM

lim

1 (1 ;

2n)

= lim

1 ; 2n

n!1 (1 ; 2)(2n+3 + n2)

n!1 (;1)(2n+3 + n2)

oSTAWLQEM TOLXKO GLAWNYE ^LENY

lim

;2n

= lim

n!1

(;1)2n+3

n!1 2n 23

1 +

+ 9

+ ::: +

11: nlim

1 +

+ ::: +

= lim

1 "1 ; 31

!n#

; 51

= lim

"1 ; 31

!n#

# 1 ; 31

"1 ; 51

n!1 1 "1 ; 51

n!1

1 ;

31!n

nlim!1 1 ;

51!n =

45! =

23!

wYRAVENIQ, STOQ]IE W ^ISLITELE I ZNAMENATELE DROBI, PREDSTAWLQ- @T SOBOJ SUMMU n ^LENOW GEOMETRI^ESKOJ PROGRESSII, KOTORU@ MOVNO NAJTI PO PRIWEDENNOJ WY[E FORMULE.

w ^ISLITELE a1 = 1				q = 1=3 W ZNAMENATELE a1			= 1 q = 1=5: dALEE
U^ITYWAEM, ^TO PRI n				! 1 WELI^INY (1=3)n I			(1=5)n QWLQ@TSQ BES-
KONE^NO MALYMI, T.E. STREMQTSQ K NUL@.
	12:	lim	n!	= 1	!	:

		n!1 (n + 1)! ; n!		1
sIMWOL n!			( n; FAKTORIAL)		ESTX KRATKAQ ZAPISX PROIZWEDENIQ NATU-
RALXNYH ^ISEL OT 1 DO n WKL@^ITELXNO, T.E.

n! = 1 2 3 4 (n ; 1) n:

nAPRIMER, 3! = 1 2 3 = 6 5! = 1 2 3 4 5 = 120:

I lim OTDELXNO I ZAPISYWATX DWA REZULXTATA.

x!+1

dLQ RE[ENIQ PRIMEROW POLEZNO ISPOLXZOWATX SLEDU@]IE SOOTNO[ENIQ

(n + 1)! = 1 2 3 4 n (n + 1) = n! (n + 1) n! = 1 2 3 4 (n ; 1) n = (n ; 1)! n

(n + 2)! = 1 2 3 4 n (n + 1) (n + 2) =

= n! (n + 1)(n + 2) = (n + 1)! (n + 2) = (n ; 1)! n(n + 1)(n + 2):

w DANNOM PRIMERE ISPOLXZUEM (n + 1)! = n!(n + 1) WYNOSIM W ZNAMENA- TELE n! ZA SKOBKI, SOKRA]AEM S n! W ^ISLITELE. tOGDA

lim

= lim

1 = 0:

n!1 n![(n + 1) ; 1]

n!1 (n + 1) ;

n!1 n

13:

lim

(2n + 2)! ; (2n)!

n!1 5(2n + 2)! ; 3(2n + 1)!

iSPOLXZUEM SLEDU@]IE SOOTNO[ENIQ

(2n)! = 1

3 (2n ;

1)(2n):

(2n + 1)!=1

2 (2n

;

1)(2n)(2n + 1)=(2n)!(2n + 1):

(2n + 2)! = (2n)!(2n + 1)(2n + 2):

lim

(2n)!(2n + 1)(2n + 2)

;

(2n)!

n!1 5(2n)!(2n + 1)(2n + 2) ; 3(2n)!(2n + 1)

= lim

(2n)![(2n + 1)(2n + 2)

; 1]

n!1 (2n)![5(2n + 1)(2n + 2)

; 3(2n + 1)]

= lim

(2n + 1)(2n + 2) ;

= lim

2n 2n

n!1 5(2n + 1)(2n + 2) ; 3(2n + 1)

n!1 5 2n 2n

dO SIH POR MY RASSMATRIWALI PRIMERY WY^ISLENIQ PREDELA ^ISLO- WOJ POSLEDOWATELXNOSTI, W KOTORYH PEREMENNAQ WELI^INA n PRINIMAET TOLXKO CELYE POLOVITELXNYE ZNA^ENIQ (T.E. n ! +1). pRI WY^ISLE- NII PREDELA FUNKCII NEPRERYWNOGO ARGUMENTA x WYRAVENIE x ! 1 SLEDUET PONIMATX KAK DWA:

x ! ;1 I x ! +1: w TEH PRIMERAH, GDE REZULXTAT WY^ISLENIQ PRE- DELA NE BUDET ZAWISETX OT TOGO, STREMITSQ x K ;1 ILI K +1 MOVNO ISPOLXZOWATX SIMWOL x ! 1 A W PRIMERAH, GDE REZULXTAT WY^ISLENIQ PREDELA OKAZYWAETSQ ZAWISQ]IM OT TOGO, K POLOVITELXNOJ ILI OTRICA-

TELXNOJ BESKONE^NOSTI STREMITSQ x SLEDUET WY^ISLQTX PREDELY x!;1lim

<<< < Предыдущая 12 / 172 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математический анализ

#
28.09.20221.01 Mб4glv_1.pdf
#
28.09.2022954.28 Кб2glv_2.pdf
#
28.09.2022136.73 Кб3Таблица интегралов.pdf
#
28.09.202268.01 Кб2Таблица производных.pdf
#
28.09.20222.22 Mб9Терехина Фикс ВМ 2.PDF