Добавил:

menson13 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

Математический анализ

Файл:

Терехина Фикс ВМ 2

.PDF

Скачиваний:

Добавлен:

28.09.2022

Размер:

2.22 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 1715 16 17 > Следующая >>>

iZ RAWENSTWA

= 0

NAHODIM PROIZWODNU@ FUNKCII y(x) ZADANNOJ NEQWNO

@F=@x

ILI

y0 =

F 0

;@F=@y

x :

;Fy0

tAKIM OBRAZOM, PROIZWODNU@ NEQWNOJ FUNKCII ODNOJ PEREMENNOJ MOV- NO NAHODITX, ISPOLXZUQ ^ASTNYE PROIZWODNYE FUNKCII F (x y): rASSMOTRIM PRIMER.

1: x4 ; 2 sin x + 3y3 ; ln(x ; 2y) + xy = e2y:

o^EWIDNO, ^TO FUNKCIQ

F (x y) = x4 ;

2 sin x + 3y3

; ln(x

; 2y) + xy ; e2y:

nAHODIM ^ASTNYE PROIZWODNYE \TOJ FUNKCII KAK FUNKCII DWUH NEZA-

WISIMYH PEREMENNYH

F 0

= 4x3

2 cos x

+ y

F 0

= 9y2

+ x

e2y 2:

; x ; 2y

pODSTAWLQEM;W FORMULU; x ; 2y

;

F 0

4x3

2 cos x

+ y

;

; x

= y0

;F 0

;

x ; 2y + x ; 2e

+ 9y

aNALOGI^NO MOVNO POLU^ITX WYRAVENIQ DLQ ^ASTNYH PROIZWODNYH NE-

QWNOJ FUNKCII DWUH PEREMENNYH.

pUSTX z

z(x y) { NEQWNAQ FUNKCIQ DWUH PEREMENNYH, UDOWLETWO-

RQ@]AQ URAWNENI@

F (x y z) = 0, GDE z = z(x

T.E. F (x

y z(x y)) 0:

tOGDA ^ASTNYE PROIZWODNYE FUNKCII z = z(x y) NAHODQTSQ S POMO]X@

^ASTNYH PROIZWODNYH FUNKCII F (x

y z) TREH NEZAWISIMYH PEREMEN-

NYH PO FORMULAM

F 0

@F=@x

ILI z0

;@F=@z

;Fz0

;

@F=@y

ILI z0

Fy0

@F=@z

;Fz0

rASMOTRIM PRIMER.

143

2: sin(x + 3zy2) ; px3 + 7z ;

= 6 ln y + 2:

3x + 5y

) ;

+ 7z ; 3x

; 6

ln y ; 2:

fUNKCIQ F (x y z) = sin(x + 3zy

+ 5y

nAHODIM ^ASTNYE PROIZWODNYE \TOJ FUNKCII PO WSEM TREM NEZAWISI-

MYM PEREMENNYM

F 0

= cos(x + 3zy2)

3x2

; 2px3 + 7z

(3x + 5y)2

F 0

= cos(x + 3zy2)

2y +

5 6

(3x + 5y)2

; y

F 0

= cos(x + 3zy2)

3y2

; 2px3 + 7z

pODSTAWLQEM POLU^ENNYE WYRAVENIQ W FORMULY DLQ ^ASTNYH PROIZ- WODNYH NEQWNOJ FUNKCII

3x2

F 0

cos(x + 3zy

)

; 2

+ 7z

(3x + 5y)2

x =

;F 0

;

) 3y

; 2px3 + 7z

cos(x + 3zy

Fy0

cos(x + 3zy

) 6zy +

(3x + 5y)2 ; y

;F 0

;

) 3y

;

2px3 + 7z

cos(x + 3zy

4.2.4.

pROIZWODNYE WYS[IH PORQDKOW

pUSTX DANA FUNKCIQ z = z(x y) I PUSTX SU]ESTWU@T EE ^ASTNYE PROIZ- WODNYE @x@z I @z@y KOTORYE NAZYWA@TSQ PROIZWODNYMI PERWOGO PORQDKA.

|TI PROIZWODNYE TAKVE QWLQ@TSQ FUNKCIQMI NEZAWISIMYH PEREMEN- NYH x I y I, SLEDOWATELXNO, KAVDU@ IZ NIH MOVNO DIFFERENCIROWATX KAK PO x TAK I PO y: pOLU^AEM ^ASTNYE PROIZWODNYE WTOROGO PORQDKA

@2z

= (z0 )0

@x!

z00

= (z0

@y!

x x

@x2

@y2

@2z

z00

= (z0 )0

@x!

z00

= (z0

@y!

@x@y

@y@x

x y

pROIZWODNYE

@2z

NAZYWA@TSQ SME[ANNYMI PROIZWODNYMI,

@x@y

@y@x

ONI OTLI^A@TSQ POSLEDOWATELXNOSTX@ DIFFERENCIROWANIQ. mOVNO DO-

KAZATX, ^TO, ESLI SAMA FUNKCIQ z = z(x y) I WSE EE ^ASTNYE PROIZWOD-

144

NYE NEPRERYWNY, TO SME[ANNYE PROIZWODNYE RAWNY MEVDU SOBOJ

@2z @2z @x@y = @y@x:

dIFFERENCIRUQ PO PEREMENNYM x I y WSE PROIZWODNYE WTOROGO PORQD- KA, BUDEM POLU^ATX PROIZWODNYE TRETXEGO PORQDKA

z000

@3z

z000

@ @2z

@3z

2 1

xxx

yyy

@x @@x

@y @

@ @2z

@3z

@ @

@3z

z000

2 1

z00

2 1

xxy

yyx

dIFFERENCIRUQ PO x

ILI PO y SME[ANNYE PROIZWODNYE 2-GO PORQDKA,

POLU^IM

1 =

@ z

@@x@yA

@y@xA

@x @y

i T.P.

DLQ DRUGIH POSLEDOWATELXNOSTEJ WZQTIQ PROIZWODNYH. nO W ITO-

GE POLU^IM WSEGO ^ETYRE TIPA PROIZWODNYH 3-GO PORQDKA, KOTORYE MY

ZAPISALI.

z =

2x + 3y

; y

nAJTI WSE ^ASTNYE PROIZWODNYE 2-GO PORQDKA.

= 2(x ; y) ;

(2x + 3y)

1 =

;5y

y)2

;

y)2

= 0

;5y

10 =

;

y);2

x0 =

;

10y

= ;5y (;2) (x ; y);3 =

;

y)3

= 0

;5y

10 = ;5 (x;y)

;(;5y) 42

(x;y) (;1) =

@x@y

(x ; y)

(x;y)

;5 (x

; y)

; 10y

;5x ;

(x ; y)3

3(x ; y) ;

(2x + 3y)

(;1)

(x ; y)2

145

@2z

= 0

1y = 5x (x ; y);2 y0 =

@y2

;

y)2

10x

= 5x (;2) (x ; y);3 (;1) =

(x y)3

@2z

10 =

5 (x ; y)2

; 5x 42; (x ; y) =

@y@x

@(x ; y)

(x ; y)

5 (x

; y) ; 10x

= ;5x ; 5y

(x ; y)3

oTMETIM 2 O^ENX WAVNYH WYWODA:

{ SME[ANNYE PROIZWODNYE WTOROGO PORQDKA FUNKCII DWUH NEZAWISI- MYH PEREMENNYH WSEGDA RAWNY MEVDU SOBOJ, ESLI ONI NEPRERYWNY

{SME[ANNYE PROIZWODNYE FUNKCII L@BOGO PORQDKA RAWNY, ESLI ONI NEPRERYWNY I POLU^ENY PUTEM DIFFERENCIROWANIQ FUNKCII PO ODNIM I TEM VE PEREMENNYM ODINAKOWOE ^ISLO RAZ.

4.2.5. pOLNYJ I ^ASTNYE DIFFERENCIALY

pUSTX DANA FUNKCIQ DWUH PEREMENNYH z = z(x y). rASSMATRIWAQ ^ASTNYE PROIZWODNYE FUNKCII NESKOLXKIH PEREMENNYH, MY WWODILI PONQTIE ^ASTNYH PRIRA]ENIJ FUNKCII, KOGDA PRIRA]ENIE POLU^ALA TOLXKO ODNA PEREMENNAQ. eSLI PRIRA]ENIE POLU^A@T OBE NEZAWISIMYE PEREMENNYE, TO PRIRA]ENIE, KOTOROE PRI \TOM POLU^IT FUNKCIQ, NA- ZYWAETSQ POLNYM PRIRA]ENIEM

z = z(x + x y + y) ; z(x y):

mOVNO POKAZATX, ^TO, ESLI SU]ESTWU@T ^ASTNYE PROIZWODNYE FUNKCII z = z(x y) TO POLNOE PRIRA]ENIE FUNKCII MOVET BYTX ZAPISANO W WIDE SUMMY

z = @x@z x + @z@y y + !( x y)

GDE !( x y) - BESKONE^NO MALAQ WELI^INA BOLEE WYSOKOGO PORQDKA MALOSTI PO SRAWNENI@ S RASSTOQNIEM MEVDU TO^KAMI P (x y) I P1(x +x y + y)

o P R E D E L E N I E. gLAWNAQ, LINEJNAQ OTNOSITELXNO PRIRA]ENIJ ARGUMENTOW, ^ASTX POLNOGO PRIRA]ENIQ FUNKCII z(x y) NAZYWAETSQ POL- NYM DIFFERENCIALOM FUNKCII I OBOZNA^AETSQ dz.

146

iTAK, dz = @x@z x + @y@z y:

tAK KAK DIFFERENCIALY NEZAWISIMYH PEREMENNYH RAWNY IH PRIRA- ]ENIQM ( x = dx y = dy), MOVNO ZAPISATX FURMULU POLNOGO DIF- FERENCIALA W WIDE

@z @z

dz = @x dx + @y dy:

mOVNO WWESTI PONQTIE ^ASTNYH DIFFERENCIALOW : dxz = @x@z dx dyz = @z@y dy:

pOLNYJ DIFFERENCIAL RAWEN SUMME ^ASTNYH DIFFERENCIALOW dz = dxz + dyz:

wY^ISLENIE POLNOGO DIFFERENCIALA SWODITSQ K WY^ISLENI@ ^ASTNYH PROIZWODNYH I UMNOVENI@ IH NA SOOTWETSTWU@]IE DIFFERENCIALY NE- ZAWISIMYH PEREMENNYH.

1: ln(x2 + py): nAJTI dz.

nAHODIM ^ASTNYE PROIZWODNYE

@x =

x2 + p

pODSTAWLQEM W FORMULU POLNOGO DIFFERENCIALA

dz = @x

dx + @y dy =

dx +

dy:

(x2 + p

)

(x2 + p

)

2: u = (z + 2x) e3y: nAJTI du W TO^KE M0(1 ;1 3).

zAPI[EM FORMULU POLNOGO DIFFERENCIALA FUNKCII TREH PEREMENNYH

KAK SUMMU TREH ^ASTNYH DIFFERENCIALOW du = @u@x dx + @u@y dy + @u@z dz:

nAJDEM ^ASTNYE PROIZWODNYE
@x@u = 2 e3y	@u@y = (z + 2x) e3y 3	@u@z = 1 e3y:

pODSTAWLQEM W WYRAVENIE DLQ POLNOGO DIFFERENCIALA

du = e3y (2 dx + 3(z + 2x) dy + dz) :

pODSTAWLQEM KOORDINATY TO^KI M0 WMESTO x, y I z du = e;3(2 dx + 15 dy + dz):

147

4.2.6. dIFFERENCIALY WYS[IH PORQDKOW

dIFFERENCIAL PERWOGO PORQDKA dz FUNKCII z = z(x y) QWLQETSQ FUNKCIEJ TEH VE PEREMENNYH x I y ^TO I SAMA FUNKCIQ, PRI^EM OT x I y ZAWISQT TOLXKO WYRAVENIQ ^ASTNYH PROIZWODNYH. pO\TOMU MOV- NO NAHODITX DIFFERENCIAL OT DIFFERENCIALA PERWOGO PORQDKA, T.E. DIFFERENCIAL WTOROGO PORQDKA

	@z			@z
d2z = d(dz) = d	@x dx +			@y dy! :
pRIWEDEM BEZ WYWODA OKON^ATELXNOE WYRAVENIE DLQ WTOROGO DIFFEREN-
CIALA
@2z		@2z		@2z
d2z = @x2 dx2 + 2			dxdy + @y2		dy2.
d2z = @x2 dx2 + 2		@x@y	dxdy + @y2		dy2.

dLQ NAHOVDENIQ DIFFERENCIALA NEOBHODIMO, TAKIM OBRAZOM, NAJTI WSE ^ASTNYE PROIZWODNYE WTOROGO PORQDKA.

z = (2y + 1)cos 3x. nAJTI dz:

nAHODIM SNA^ALA ^ASTNYE PROIZWODNYE PERWOGO PORQDKA

@x@z = (2y + 1)cos 3x ln(2y + 1) (;3 sin 3x) @z@y = cos 3x (2y + 1)cos 3x;1 2:

zAPI[EM DIFFERENCIAL PERWOGO PORQDKA dz =

= (2y + 1)cos 3x ln(2y + 1) (;3 sin 3x) dx + 2 cos 3x (2y + 1)cos 3x;1 dy: nAHODIM PROIZWODNYE WTOROGO PORQDKA

@2z

h(2y + 1)cos 3x ln(2y + 1) (;3 sin 3x)i =

@x2 =

= ln(2y+1)cos

3hx(2y+1)cos 3x

ln(2y+1)

(;3 sin 3x) (;3 sin 3x)+

+(2y + 1)

(

;

9 cos 3x)

cos 3x

= 9 ln(2y + 1) (2y + 1)

hln(2y + 1) sin 3x ; cos 3xi

@2z

h2 cos 3x (2y + 1)cos 3x;1i

@y2 =

= 2 cos 3x (cos 3x ; 1) (2y + 1)cos 3x;2 2:

@2z

@x@y = @y (2y + 1)cos 3x ln(2y + 1) (;3 sin 3x) =

148

d2z =

SOGLASNO KWADRAT,

= (;3 sin 3x) h(2y + 1)cos 3x ln(2y + 1)iy0 ==					2(2y+1)cos 3x
= (;3 sin 3x) 22 cos 3x(2y+1)cos 3x;1 ln(2y+1)+					2y+1	3=
4					(2y + 1)	5
= (;6 sin 3x) (2y + 1)cos 3x;1				2cos 3x ln(2y + 1)+ 2y + 1		3=
= (;6 sin 3x) (2y + 1)	cos 3x	;	1	4		5
				[cos 3x ln(2y + 1) + 1] :

pODSTAWLQEM \TI PROIZWODYE W WYRAVENIE DLQ d2z

d2z = 9 ln(2y + 1) (2y + 1)cos 3x hln(2y + 1) sin2 3x ; cos 3xi dx2+ +2 (;6 sin 3x) (2y + 1)cos 3x;1 [cos 3x ln(2y + 1) + 1] dxdy+ +4 cos 3x (cos 3x ; 1) (2y + 1)cos 3x;2 dy2:

dIFFERENCIAL WTOROGO PORQDKA MOVET BYTX ZAPISAN I W TAKOJ FORME

@x@ dx + @y@ dy!2 z

KOTOROJ SIMWOLI^ESKOE WYRAVENIE W SKOBKAH WOZWODITSQ W A ZATEM FUNKCIQ WNOSITSQ POD ZNAK WTORYH PROIZWODNYH I

POLU^AETSQ TA VE FORMULA, KOTOROJ MY UVE POLXZOWALISX. aNALOGI^NO MOVNO ZAPISATX I FORMULU WY^ISLENIQ DIFFERENNCIALA

3-GO PORQDKA				3
	@		@
d2z =		dx +		dy! z:

	@x		@y

4.3. pRILOVENIQ ^ASTNYH PROIZWODNYH

4.3.1. kASATELXNAQ PLOSKOSTX I NORMALX K POWERHNOSTI

pUSTX ZADANA POWERHNOSTX, OPREDELQEMAQ NEQWNYM URAWNENIEM

	F (x y :	z) = 0 GDE z = z(x y)
I TO^KA M0(x0 y0		z0) NA \TOJ POWERHNOSTI, PRI^EM FUNKCIQ
F (x y	z) DIFFERENCIRUEMA PO WSEM NEZAWISIMYM PEREMENNYM W TO^KE
M0(x0	y0 z0). dADIM OPREDELENIE KASATELXNOJ PLOSKOSTI.

o P R E D E L E N I E. kASATELXNOJ PLOSKOSTX@ K DANNOJ POWERHNOSTI W TO^KE M0(x0 y0 z0) NAZYWAETSQ PLOSKOSTX, W KOTOROJ LEVAT WSE KA- SATELXNYE, PROWEDENNYE K L@BOJ KRIWOJ, PRINADLEVA]EJ POWERHNOSTI I PROHODQ]EJ ^EREZ \TU TO^KU.

149

Fx0(M0) (x ; x0) + Fy0(M0) (y ; y0) + Fz0(M0) (z ; z0) = 0

uRAWNENIE KASATELXNOJ PLOSKOSTI IMEET WID

kOORDINATAMI WEKTORA NORMALI KASATELXNOJ PLOSKOSTI QWLQ@TSQ ZNA-

^ENIQ ^ASTNYH PROIZWODNYH FUNKCII F (x y z) W TO^KE M0(x0

y0 z0) :

0(M0)

F 0(M0)

0(M0)

N =

eSLI POWERHNOSTX ZADANA W QWNOM WIDE z = z(x y) TO WEKTOR NORMALI

KASATELXNOJ PLOSKOSTI BUDET IMETX KOORDINATY

z0 (M0)

N =

;

I URAWNENIE KASATELXNOJ PLOSKOSTI

z0 (M0)

;

x0) + z0 (M0)

;

y0) = (z

;

z0):

o P R E D E L E N I E.

nORMALX@

K POWERHNOSTI W TO^KE M0(x0

y0 z0)

NAZYWAETSQ PRQMAQ, PROHODQ]AQ ^EREZ TO^KU KASANIQ, PERPENDIKULQRNO KA-

SATELXNOJ PLOSKOSTI.

nAPRAWLQ@]IM WEKTOROM NORMALI QWLQETSQ WEKTOR NORMALI KASA-

TELXNOJ PLOSKOSTI. nORMALX K POWERHNOSTI, ZADANNOJ NEQWNO, OPRE- DELQETSQ URAWNENIEM

x ; x0

; y0

; z0

Fy0

Fz0

Fx0 (M0)

(M0)

A W SLU^AE QWNOGO ZADANIQ POWERHNOSTI URAWNENIE NORMALI

; x0

; y0

= z

; z0 :

zx0

zy0

(M0)

	sOSTAWITX URAWNENIE KASATELXNOJ PLOSKOSTI I NORMALI K POWERH-
NOSTI 3x2 + 5y2 + 2z2 = 41 W TO^KE M0(1 2 3):
nAHODIM ^ASTNYE PROIZWODNYE FUNKCII

F (x y z) = 3x		2	+ 5y	2	+ 2z	2	; 41	I WY^ISLQEM IH W TO^KE		M0:
F (x y z) = 3x			+ 5y		+ 2z		; 41	I WY^ISLQEM IH W TO^KE		M0:
F 0	= 6x F 0 (M0) = 6						F 0 = 10y F 0(M0) = 20
x		x						y	y
Fz0	= 4z Fz0		(M0) = 12:
tAKIM OBRAZOM, WEKTOR NORMALI IMEET KOORDINATY
	~							~
	N = f6 20 12g						ILI N = f3 10 6g:
zAPISYWAEM URAWNENIE KASATELXNOJ PLOSKOSTI
	3 (x ;1) + 10 (y ;2) +6 (z ;3) = 0 ) 3x + 10y + 6z ;41 = 0:
uRAWNENIE NORMALI					x ;		1 = y ; 2		= z ; 3:
					3			10	6

150

4.3.2. |KSTREMUM FUNKCII DWUH PEREMENNYH

pUSTX FUNKCIQ z = f(x y) OPREDELENA W NEKOTOROJ OBLASTI (D), A

M0(x0 y0) - WNUTRENNQQ TO^KA \TOJ OBLASTI.

o P R E D E L E N I E. tO^KA M0(x0 y0) NAZYWAETSQ TO^KOJ MAK-

SIMUMA FUNKCII z =				f(x	y),	ESLI ZNA^ENIE FUNKCII W \TOJ TO^KE
QWLQETSQ NAIBOLX[IM ZNA^ENIEM FUNKCII W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI
M0(x0 y0) :		f(x0 y0) f(x y):
o P R E D E L E N I E.				tO^KA M0(x0 y0) NAZYWAETSQ TO^KOJ MINI-
MUMA FUNKCII z = f(x y),					ESLI ZNA^ENIE FUNKCII W \TOJ TO^KE QW-
LQETSQ NAIMENX[IM ZNA^ENIEM FUNKCII W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI
M0(x0 y0):		f(x0 y0) f(x y):
oTMETIM, ^TO W OKRESTNOSTI TO^EK \KSTREMUMA POLNOE PRIRA]ENIE
FUNKCII SOHRANQET SWOJ ZNAK.
nEOBHODIMYJ PRIZNAK \KSTREMUMA
dLQ TOGO, ^TOBY FUNKCIQ z = f(x						y) IMELA W TO^KE M0(x0 y0) \KSTRE-
MUM, NEOBHODIMO, ^TOBY EE ^ASTNYE PROIZWODNYE PERWOGO PORQDKA LIBO
RAWNQLISX NUL@, LIBO NE SU]ESTWOWALI W \TOJ TO^KE

	8	@x@z !M0	= 0	(1	NE	SU]ESTWUET )
	>					(?)
	<	@y@z !	= 0	(1	NE	SU]ESTWUET:)
	>
		M0

, : , - tO^KI W KOTORYH WYPOLNQ@TSQ NEOBHODIMYE USLOWIQ \KSTREMUMA NA

ZYWA@TSQ KRITI^ESKIMI TO^KAMI FUNKCII I TOLXKO W NIH FUNKCIQ MOVET PRINIMATX \KSTREMALXNYE ZNA^ENIQ.

dOSTATO^NYE USLOWIQ \KSTREMUMA

pUSTX W TO^KE M0(x0 y0) WYPOLNENY NEOBHODIMYE USLOWIQ \KSTREMUMA (?): nAJDEM WSE WTORYE ^ASTNYE PROIZWODNYE FUNKCII I OBOZNA^IM IH ZNA^ENIQ W \TOJ TO^KE

a11

= 0

@2z

a12

= 0

@2z

a22

= 0

@2z

AM0

@x@yAM0

AM0

151

sFORMULIRUEM DOSTATO^NYE USLOWIQ \KSTREMUMA.

	eSLI		2		TO FUNKCIQ IMEET W TO^KE
1:	eSLI	a11a22 ; a12 > 0			TO FUNKCIQ IMEET W TO^KE
1:		a11a22 ; a12 > 0
	M0(x0 y0) \KSTREMUM PRI^EM :
	a)	ESLI	a11 < 0	; W		TO^KE	max
	b)	ESLI	a11 > 0 ; W			TO^KE	min:
2: eSLI		a11a22 ; a122 < 0 TO FUNKCIQ NE IMEET W TO^KE
	M0(x0 y0) \KSTREMUMA:
3: eSLI		a11a22 ; a122		= 0 TO WOPROS O SU]ESTWOWANII

\KSTREMUMA NE RE[EN TREBU@TSQ DOPOLNITELXNYE ISSLEDOWANIQ:

zADA^A 5. iSSLEDOWATX NA \KSTREMUM FUNKCII

1: z = x2 + xy + y2 ; 4x + y ; 6:

1)fUNKCIQ OPREDELENA DLQ WSEH ZNA^ENIJ PEREMENNYH x I y:

2)nAHODIM ^ASTNYE PROIZWODNYE PERWOGO PORQDKA I SOSTAWLQEM SISTE- MU DLQ OPREDELENIQ KOORDINAT TO^EK, W KOTORYH WOZMOVEN \KSTREMUM

= 2x + y 4

= x + 2y

+ 1:

z0 = 0

;2x + y 4 = 0

x = 3

;

8 z0 = 0

8 y = 2

8 x + 2y + 1 = 0

;

tAKIM OBRAZOM,

NAJDENA KRITI^ESKAQ (ILI STACIONARNAQ) TO^KA

M0(3

;2):

3) nAHODIM ^ASTNYE PROIZWODNYE WTOROGO PORQDKA I WY^ISLQEM IH W

TO^KE

M0(3 ;2)

a11 = 0

@2z

= 2 a12

= 0

@2z

= 1 a22

= 0

@2z

= 2:

AM0

@x@yAM0

AM0

w DANNOM SLU^AE KOORDINATY TO^KI NE PONADOBILISX, TAK KAK PROIZ-

WODNYE WTOROGO PORQDKA { POSTOQNNYE ^ISLA.

sOSTAWLQEM WYRAVENIE a11a22

; a122 = 2 2 ; 12 = 3 > 0:

oTME^AEM, ^TO \KSTREMUM SU]ESTWUET I, TAK KAK, PRI \TOM a11 > 0

{ W TO^KE M0(3

;2) ; min:

zNA^ENIE FUNKCII W TO^KE: zmin = z(3 ;2) = ;13:

152

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 1715 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математический анализ

#
28.09.20221.01 Mб4glv_1.pdf
#
28.09.2022954.28 Кб2glv_2.pdf
#
28.09.2022136.73 Кб3Таблица интегралов.pdf
#
28.09.202268.01 Кб2Таблица производных.pdf
#
28.09.20222.22 Mб9Терехина Фикс ВМ 2.PDF