Терехина Фикс ВМ 2

tAK KAK k = +1 TO FUNKCIQ NE IMEET NAKLONNOJ ASIMPTOTY.

oTMETIM, ^TO W DWUH POSLEDNIH PRIMERAH MY IMELI PRAWO WY^ISLQTX PREDELY TOLXKO PRI x ! +1 I x ! +0 TAK KAK FUNKCIQ NE OPRE- DELENA DLQ OTRICATELXNYH ZNA^ENIJ x:

6: y = ln x ; 1: x + 1

a) wERTIKALXNYE ASIMPTOTY.

oBLASTX OPREDELENIQ FUNKCII D(y) : x 2 (;1 ;1) [ (+1 +1): iSSLEDUEM POWEDENIE FUNKCII NA GRANICAH OBLASTI OPREDELENIQ. nAJ- DEM ODNOSTORONNIE PREDELY

tAK KAK k = 0 b = 0 TO GORIZONTALXNOJ ASIMPTOTOJ DANNOJ FUNKCII QWLQETSQ OSX OX.

7: y = p3 x3 + 9x2:

a) wERTIKALXNYH ASIMPTOT KRIWAQ NE IMEET, TAK KAK FUNKCIQ NEPRE- RYWNA NA WSEJ ^ISLOWOJ OSI.

93

a) wERTIKALXNYH ASIMPTOT KRIWAQ NE IMEET, TAK KAK FUNKCIQ NEPRE- RYWNA NA WSEJ ^ISLOWOJ OSI.

rASSMOTRIM PRIMERY, W KOTORYH SLEDUET RAZLI^ATX LEWYE I PRAWYE ASIMPTOTY.

9: y = px2 + 1:

a)wERTIKALXNYH ASIMPTOT NET, T.K. D(y) : x 2 (;1 +1).

b)nAKLONNYE ASIMPTOTY y = kx + b:

94

11: y = (x + 1) e;3x:

a)wERTIKALXNYH ASIMPTOT NET, T.K. OBLASTX OPREDELENIQ FUNKCII

D(y) : x 2 (;1 +1):

wYWOD: W TO^KE x = 0 FUNKCIQ TERPIT BESKONE^NYJ RAZRYW, I x = 0 ; URAWNENIE WERTIKALXNOJ ASIMPTOTY.

b) nAKLONNYE ASIMPTOTY y = kx + b:

96

iSSLEDUEM POWEDENIE FUNKCII NA GRANICAH OBLASTI OPREDELENIQ. nAJ- DEM ODNOSTORONNIE PREDELY

wYWOD: ODNOSTORONNIE PREDELY NE RAWNY BESKONE^NOSTI, PO\TOMU WER- TIKALXNYH ASIMPTOT NET.

b) nAKLONNYE ASIMPTOTY SWQZANY S NAHOVDENIEM PREDELA PRI

x ! 1 ^EGO MY NE IMEEM PRAWA DLQ DANNOJ FUNKCII DELATX, PO\TOMU NAKLONNOJ ASIMPTOTY NE SU]ESTWUET. tAKIM OBRAZOM, DANNAQ FUNKCIQ NE IMEET ASIMPTOT.

97

3.2.3. |KSTREMUM FUNKCII

mONOTONNOSTX FUNKCII NA INTERWALE

oDNOJ IZ HARAKTERISTIK POWEDENIQ FUNKCII NA INTERWALE QWLQETSQ EE MONOTONNOSTX, T.E. WOZRASTANIE ILI UBYWANIE FUNKCII W \TOM INTER- WALE.

nAPOMNIM, ^TO FUNKCIQ y = f(x) NAZYWAETSQ WOZRASTA@]EJ NA INTERWALE [a b], ESLI BOLX[EMU ZNA^ENI@ ARGUMENTA SOOTWETSTWU- ET BOLX[EE ZNA^ENIE FUNKCII, T.E. DLQ x1 > x2 IMEEM f(x1) > f(x2): fUNKCIQ y = f(x) NAZYWAETSQ UBYWA@]EJ NA INTERWALE [a b], ES- LI BOLX[EMU ZNA^ENI@ ARGUMENTA SOOTWETSTWUET MENX[EE ZNA^ENIE FUNKCII, T.E. DLQ x1 > x2 IMEEM

mONOTONNOSTX FUNKCII OPREDELQETSQ ZNAKOM PERWOJ PROIZWODNOJ FUNK- CII W \TOM INTERWALE.

uSLOWIQ MONOTONNOSTI FUNKCII

dLQ TOGO, ^TOBY DIFFERENCIRUEMAQ W INTERWALE (a b) FUNKCIQ y = f(x) BYLA W \TOM INTERWALE MONOTONNOJ, NEOBHODIMO I DOSTA- TO^NO, ^TOBY W \TOM INTERWALE EE PERWAQ PROIZWODNAQ SOHRANQLA SWOJ ZNAK, A IMENNO:

gEOMETRI^ESKAQ ILL@STRACIQ

rIS. 3.18.

nA U^ASTKAH WOZRASTANIQ KASATELXNYE K GRAFIKU FUNKCII OBRAZU@T OSTRYJ UGOL S POLOVITELXNYM NAPRAWLENIEM OSI OX I UGLOWOJ KO- \FFICIENT KASATELXNOJ POLOVITELXNYJ, A, ZNA^IT, I PROIZWODNAQ NA \TOM U^ASTKE POLOVITELXNA, TAK KAK y0(x) = k = tg > 0:

98

nA U^ASTKAH UBYWANIQ KASATELXNYE K GRAFIKU FUNKCII OBRAZU@T TU- POJ UGOL S POLOVITELXNYM NAPRAWLENIEM OSI OX I UGLOWOJ KO\F- FICIENT KASATELXNOJ OTRICATELXNYJ, A, ZNA^IT, I PROIZWODNAQ NA \TOM U^ASTKE OTRICATELXNAQ, TAK KAK y0(x) = k = tg < 0:

pONQTIE \KSTREMUMA

pUSTX DANA FUNKCIQ y = f(x) I TO^KA x = x0 { NEKOTORAQ WNUTREN- NQQ TO^KA OBLASTI OPREDELENIQ FUNKCII D(y):

o P R E D E L E N I E. fUNKCIQ IMEET W TO^KE x= x0 M A K S I MUM,

ESLI ZNA^ENIE FUNKCII W \TOJ TO^KE QWLQETSQ NAIBOLX[IM PO SRAWNENI@

SO ZNA^ENIQMI FUNKCII W SOSEDNIH TO^KAH, T.E. f(x0) f(x):

o P R E D E L E N I E. fUNKCIQ IMEET W TO^KE x = x0 M I N I M U M, ESLI ZNA^ENIE FUNKCII W \TOJ TO^KE QWLQETSQ NAIMENX[IM PO SRAWNENI@

SO ZNA^ENIQMI FUNKCII W SOSEDNIH TO^KAH, T.E. f(x0) f(x):

o P R E D E L E N I E. fUNKCIQ IMEET W TO^KE x = x0 \ K S T R E M U M , ESLI ONA IMEET W \TOJ TO^KE MAKSIMUM (max) ILI MINIMUM

nA RISUNKE 3.19 PREDSTAWLEN GRAFIK NEKOTOROJ NEPRERYWNOJ FUNKCII, IME@]EJ W TO^KAH x1 x3 x5 { MAKSIMUM, A W TO^KAH x4 x6 { MINI- MUM.

iZ RISUNKA 3.19 WIDNO, ^TO W TO^KAH \KSTREMUMA KASATELXNAQ K GRA- FIKU FUNKCII PROHODIT LIBO GORIZONTALXNO, W \TOM SLU^AE UGLOWOJ KO\FFICIENT KASATELXNOJ RAWEN NUL@ (k = y0(x4) = y0(x5) = 0),

LIBO WERTIKALXNO, TOGDA UGLOWOJ KO\FFICIENT KASATELXNOJ RAWEN BESKONE^NOSTI (k = y0(x3) = y0(x6) = 1),

LIBO KASATELXNAQ NE OPREDELENA (y0(x1) { NE SU]ESTWUET).

rIS. 3.19.

99

iZ RISUNKA TAKVE WIDNO, ^TO GORIZONTALXNOE ILI WERTIKALXNOE RAS- POLOVENIE KASATELXNOJ K GRAFIKU FUNKCII W KAKOJ-LIBO TO^KE E]E NE OZNA^AET, ^TO W TO^KE OBQZATELXNO BUDET \KSTREMUM.

tAK, W TO^KE x2 KASATELXNAQ PROHODIT GORIZONTALXNO I

NO \KSTREMUMA NET. w TO^KE x7 KASATELXNAQ PROHODIT WERTIKALXNO I

y0(x7) = 1 NO \KSTREMUMA TAKVE NET.

oBRATIM WNIMANIE, ^TO W TO^KAH \KSTREMUMA x1 x3 x4 x5 x6 FUNKCIQ MENQET SWOE POWEDENIE:

SLEWA OT TO^KI max FUNKCIQ WOZRASTAET I y0 > 0 SPRAWA { UBYWAET I y0 < 0

SLEWA OT TO^KI min FUNKCIQ UBYWAET I y0 < 0,

SPRAWA { WOZRASTAET I y0 > 0.

w TO^KAH GDE \KSTREMUMA NET, POWEDENIE FUNKCII NE MENQETSQ. pROHODQ ^EREZ \TI TO^KI, FUNKCIQ OSTAETSQ LIBO WOZRASTA@]EJ, LIBO UBYWA@]EJ. nE MENQETSQ I ZNAK PROIZWODNOJ.

nEOBHODIMOE I DOSTATO^NOE USLOWIQ SU]ESTWOWANIQ \KSTREMUMA

dLQ TOGO, ^TOBY NEPRERYWNAQ W TO^KE x0 I EE OKRESTNOSTI FUNKCIQ y = f(x) IMELA W \TOJ TO^KE \KSTREMUM,

N E O B H O D I M O, ^TOBY PERWAQ PROIZWODNAQ FUNKCII TO^KE {LIBO OBRA]ALASX W NOLX y0(x0) = 0,

{LIBO W BESKONE^NOSTX, ILI NE SU]ESTWOWALA y0(x0) = 1

D O S T A T O ^ N O, ^TOBY PRI PEREHODE ^EREZ TO^KU x0 PERWAQ PROIZ- WODNAQ FUNKCII y0(x) MENQLA SWOJ ZNAK.

pRI \TOM: ESLI PRI PEREHODE ^EREZ TO^KU x0 PERWAQ PROIZWODNAQ MENQET ZNAK S NA , TO W \TOJ TO^KE max,

S NA TO W TO^KE min.

tO^KI IZ OBLASTI OPREDELENIQ FUNKCII, W KOTORYH y0 = 0 y0 = 1 y0 NE SU]ESTWUET, NAZYWA@TSQ KRITI^ESKIMI.

(eSLI ZNAK PROIZWODNOJ W KRITI^ESKOJ TO^KE NE MENQETSQ, TO \KSTRE- MUMA W \TOJ TO^KE NET.)

100

sHEMA ISSLEDOWANIQ FUNKCII y = f(x) NA \KSTREMUM

1)nAHODIM OBLASTX OPREDELENIQ FUNKCII S CELX@ WYQWLENIQ TO^EK RAZRYWA.

2)nAHODIM PERWU@ PROIZWODNU@ FUNKCII y0(x) I IZ USLOWIJ

y0 = 0 y0 = 1 y0 { NE SU]ESTWUET NAHODIM KOORDINATY KRITI^ESKIH TO^EK (TO^EK WOZMOVNOGO \KSTREMUMA FUNKCII).

3)nANOSIM KRITI^ESKIE TO^KI I TO^KI RAZRYWA FUNKCII (ESLI ONI ESTX) NA ^ISLOWU@ PRQMU@ I OPREDELQEM ZNAK PERWOJ PROIZWODNOJ y0(x) W OKRESTNOSTI KAVDOJ KRITI^ESKOJ TO^KI (STROIM GRAFIK ZNAKOW PER- WOJ PROIZWODNOJ). pRI \TOM OPREDELQTSQ INTERWALY WOZRASTANIQ I UBY- WANIQ FUNKCII.

4)dELAEM WYWOD O NALI^II \KSTREMUMA W KAVDOJ KRITI^ESKOJ TO^KE PO SMENE ZNAKA PERWOJ PROIZWODNOJ.

5)wY^ISLQEM ZNA^ENIE FUNKCII W KRITI^ESKIH TO^KAH, NANOSIM IH NA KOORDINATNU@ PLOSKOSTX I UKAZYWAEM HARAKTER POWEDENIQ FUNKCII (WID \KSTREMUMA).

zADA^A 3. iSSLEDOWATX FUNKCII NA \KSTREMUM.

1: y = (1 ; x2)3:

1)oBLASTX OPREDELENIQ FUNKCII D(y) : x 2 (;1 +1):

2)nAHODIM PERWU@ PROIZWODNU@

y0 = (1 ; x2)3 0 = 3 (1 ; x2)2 (;2x) = ;6x(1 ; x2)2: nAHODIM KRITI^ESKIE TO^KI

101

iNTERWAL WOZRASTANIQ FUNKCII: x 2 (;1 0): iNTERWAL UBYWANIQ FUNKCII: x 2 (0 +1):

rIS. 3.20.

rIS. 3.21.

5) wY^ISLQEM ZNA^ENIE FUNKCII WO WSEH KRITI^ESKIH TO^KAH:

y(;1) = 0 y(0) = 1 y(1) = 0

I NANOSIM \TI TO^KI NA KOORDINATNU@ PLOSKOSTX. pOSKOLXKU PROIZ- WODNAQ W KRITI^ESKIH TO^KAH y0 = 0 KASATELXNAQ K GRAFIKU FUNKCII PROHODIT GORIZONTALXNO I W TO^KE x = 0 \KSTREMUM "GLADKIJ."

2: y = x3 ex:

1)D(y) : x 2 (;1 +1):

2)nAHODIM PERWU@ PROIZWODNU@

y0 = 3x2 ex + x3 ex = x2 ex (x + 3): oPREDELQEM KRITI^ESKIE TO^KI

102