Математика Лабораторный практикум часть 2

Примеры выполнения работы

Проверка гипотезы о нормальном распределении

Загрузим пакет stats и подпакеты transform, describe.

> restart:with(stats):with(transform):with(describe):

Вводим реализацию выборки (см. данные своего варианта): > Y:=[15.41,13.32,14.28,12.26,12.70,13.97,10.89,13.46,12.79, 13.96,15.83,13.27,14.19,14.78,13.35,16.56,14.22,13.26,13.46, 14.98,14.30,14.23,14.99,11.90,15.34,13.80,12.13,13.06,13.37,

61

13.69,12.15,14.50,13.34,13.37,14.06,15.82,11.85,12.30,11.86,

12.86,13.87,16.39,12.49,13.93,15.33,14.44,13.96,14.74,16.09,

12.65,13.40,13.44,14.54,13.23,12.86,15.91,14.54,12.16,14.42,

14.76,13.60,12.86,13.60,13.58,13.91,13.49,13.82,15.51,13.92,

15.59,12.44,15.70,14.71,15.61,12.88,11.79,13.23,11.79,16.06,

12.29];

Y := [15.41, 13.32, 14.28, 12.26, 12.70, 13.97, 10.89, 13.46, 12.79, 13.96, 15.83, 13.27, 14.19, 14.78, 13.35, 16.56, 14.22, 13.26, 13.46, 14.98, 14.30, 14.23, 14.99, 11.90, 15.34, 13.80, 12.13, 13.06, 13.37, 13.69, 12.15, 14.50, 13.34, 13.37, 14.06, 15.82, 11.85, 12.30, 11.86, 12.86, 13.87, 16.39, 12.49, 13.93, 15.33, 14.44, 13.96, 14.74, 16.09, 12.65, 13.40, 13.44, 14.54, 13.23, 12.86, 15.91, 14.54, 12.16, 14.42, 14.76,

13.60 , 12.86 , 13.60 , 13.58 , 13.91 , 13.49 , 13.82 , 15.51 , 13.92 , 15.59 , 12.44 , 15.70 , 14.71 , 15.61 , 12.88 , 11.79 , 13.23 , 11.79 , 16.06 , 12.29 ]

Определим объём выборки (подсчитаем количество значений в выборке) и рассчитаем количество интервалов разбиения k:

> n:=count(Y);k:=round(1+1.4*ln(n)); n := 80

k :=7

Проведём сортировку выборки (варианты расположим в порядке возрастания):

> Y1:=statsort(Y);

Y1 := [10.89, 11.79, 11.79, 11.85, 11.86, 11.90, 12.13, 12.15, 12.16, 12.26, 12.29, 12.30, 12.44, 12.49, 12.65, 12.70, 12.79, 12.86, 12.86, 12.86, 12.88, 13.06, 13.23, 13.23, 13.26, 13.27, 13.32, 13.34, 13.35, 13.37, 13.37, 13.40, 13.44, 13.46, 13.46, 13.49, 13.58, 13.60, 13.60, 13.69, 13.80, 13.82, 13.87, 13.91, 13.92, 13.93, 13.96, 13.96, 13.97, 14.06, 14.19, 14.22, 14.23, 14.28, 14.30, 14.42, 14.44, 14.50, 14.54,

14.54 , 14.71 , 14.74 , 14.76 , 14.78 , 14.98 , 14.99 , 15.33 , 15.34 , 15.41 , 15.51 , 15.59 , 15.61 , 15.70 , 15.82 , 15.83 , 15.91 , 16.06 , 16.09 , 16.39 , 16.56 ]

Находим минимальное и максимальное значения выборки и длину интервала разбиения:

> ymin:=Y1[1];ymax:=Y1[n];h:=(ymax-ymin)/k; ymin :=10.89

ymax:=16.56 h :=.8100000000

Вычислим границы интервалов разбиения:

> Y2:=[seq(ymin+(i-1)*(h+0.0001)..ymin+i*(h+0.0001),i=1..k)];

62

Находим вектор точек разбиения:

> Z:=[seq(ymin+(i-1)*(h+0.0001),i=1..k+1)];

Z := [10.89, 11.70010000 , 12.51020000 , 13.32030000 , 14.13040000 , 14.94050000 , 15.75060000 , 16.56070000 ]

Составляем интервальный ряд частот Y3 (каждому интервалу поставим в соответствие частоту ni, т.е. число элементов выборки, попадающих в данный интервал) и вектор частот Y3f:

> Y3:=statsort(transform[tallyinto](Y1,Y2));

Y3 := [10.89 .. 11.70010000 , Weight(11.70010000 .. 12.51020000 , 13),

> Y3f:=transform[frequency](Y3);

Y3f:=[1, 13, 13, 23, 14, 9, 7]

Получим интервальный ряд относительных частот (каждому интервалу поставим в соответствие относительную частоту, т.е. частоту, делённую на объём выборки):

> Y4:=transform[scaleweight[1/n]](Y3);

Строим гистограмму относительных частот:

>Hist:=statplots[histogram](Y4,color=green):

>plots[display](Hist);

63

Находим точечные оценки математического ожидания a (выборочное среднее значение), дисперсии S и среднего квадратического отклонения s:

> a:=mean(Y);

a :=13.81737500

> S:=variance(Y);

S:=1.557266860

>s:=standarddeviation(Y1);

s :=1.247904988.

Находим исправленные оценки дисперсии (несмещённая оценка дисперсии) и среднего квадратического отклонения:

> S1:=S*n/(n-1);

S1 :=1.576979099

> s1:=sqrt(S1);

s1 :=1.255778284.

Вычислим вероятности попадания значения случайной величины в первый и последний (k-ый) интервалы:

> p[1]:=evalf(1/(sqrt(2*Pi)*s1)*int(exp(-(t-a)^2/(2*S1)),t=-infinity..Z[2])); p1 := .04589538332.

> p[k]:=evalf(1/(sqrt(2*Pi)*s1)*int(exp(-(t-a)^2/(2*S1)),t=Z[k]..infinity)); p7 := .06184557472.

Вычислим вероятности попадания значения случайной величи-

где в s1, 2в S1:

> for i from 2 to k-1 do p[i]:=evalf(1/(sqrt(2*Pi)*s1)*int(exp(-(t-

a)^2/(2*S1)),t=Z[i]..Z[i+1])) od;

p2 := .1030590583 p3 := .1971606974 p4 := .2523080145 p5 := .2160137122 p6 := .1237175594

Находим теоретические частоты npi:

> for i from 1 to k do n*p[i] od;

3.671630666

8.244724664

15.77285579

20.18464116

65

17.28109698

9.897404752

4.947645978

Так как на первом и последнем интервалах npi < 5, то объединим 1-й со 2-м и 6-й с 7-м интервалы и пересчитаем соответствующие вероятности и частоты:

> p[2]:=p[1]+p[2]; Y3f[2]:=Y3f[1]+Y3f[2]; p[6]:=p[6]+p[7]; Y3f[6]:=

Y3f[6] +Y3f[7];

p2 := .1489544416

Y3f2 := 14 p6 := .1855631341

Y3f6 := 16.

Сравним эмпирические ni и теоретические npi частоты, для этого

где i = 2,3,…,6, так как два первых и два последних интервала объединили.

> chi2:=sum((Y3f[j]-n*p[j])^2/(n*p[j]),j=2..6);

:=1.957315305.

По таблице критических точек распределения 2, по заданному уровню значимости и числу степеней свободы ν = s-l-1 (s – число интервалов после пересчёта, l – число параметров в гипотетической функции распределения) находят критическую точку 2кр ( , ). В на-

шем случае = 0,01(см. задание), s = 5, l = 2, т.е. ν = 5-2-1=2, тогда2кр (0.01,2) 9.2.

Так как набл2 2кр , то гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности принимается.

Запишем гипотетическую функцию плотности распределения

тельных частот и график плотности гипотетического распределения. > f:=evalf(1/(sqrt(2*Pi)*s1)*exp(-(x-a)^2/(2*S1)));

f := .3176852836 e( .3170619068 (x 13.81737500 )2)

>f1:=plot(f,x=ymin-2..ymax+2):

>plots[display](Hist,f1);

66

Проверка гипотезы о равномерном распределении

Загрузим пакет stats и подпакеты transform, describe.

> restart:with(stats):with(transform):with(describe):

Вводим реализацию выборки (см. данные своего варианта): > Y:=[10.63,26.04,6.09,23.42,5.25,24.87,3.24,6.24,4.96,13.74, 13.25,21.71,20.96,34.72,8.71,9.06,19.12,20.02,8.58,34.52, 14.29,32.13,13.40,26.62,20.13,6.48,30.30,9.16,12.39,21.48, 5.28,13.82,21.77,32.26,21.70,7.87,29.74,21.11,17.79,17.67, 27.76,27.34,5.87,5.02,12.32,25.43,31.07,24.85,15.14,25.85, 7.14,12.78,24.99,27.51,22.59,29.00,34.62,17.65,9.02,21.51, 11.24,22.13,10.48,13.20,12.34,25.25,31.73,28.72,14.11,9.62,

17.54,12.87,27.15,18.08,19.94,29.86,30.53,10.30,33.13,23.41];

Y := [10.63, 26.04, 6.09, 23.42, 5.25, 24.87, 3.24, 6.24, 4.96, 13.74, 13.25, 21.71, 20.96, 34.72, 8.71, 9.06, 19.12, 20.02, 8.58, 34.52, 14.29, 32.13, 13.40, 26.62, 20.13, 6.48, 30.30, 9.16, 12.39, 21.48, 5.28, 13.82, 21.77, 32.26, 21.70, 7.87, 29.74, 21.11, 17.79, 17.67, 27.76, 27.34, 5.87, 5.02, 12.32, 25.43, 31.07, 24.85, 15.14, 25.85, 7.14, 12.78, 24.99, 27.51, 22.59, 29.00, 34.62, 17.65, 9.02, 21.51, 11.24, 22.13,

10.48 , 13.20 , 12.34 , 25.25 , 31.73 , 28.72 , 14.11 , 9.62 , 17.54 , 12.87 , 27.15 , 18.08 , 19.94 , 29.86 , 30.53 , 10.30 , 33.13 , 23.41 ]

Определим объём выборки (подсчитаем количество значений в выборке) и рассчитаем количество интервалов разбиения k:

> n:=count(Y);k:=round(1+1.4*ln(n)); n:=80 k :=7

Проведём сортировку выборки (варианты расположим в порядке возрастания):

> Y1:=statsort(Y);

Y1 := [3.24, 4.96, 5.02, 5.25, 5.28, 5.87, 6.09, 6.24, 6.48, 7.14, 7.87, 8.58, 8.71, 9.02, 9.06, 9.16, 9.62, 10.30, 10.48, 10.63, 11.24, 12.32, 12.34, 12.39, 12.78, 12.87, 13.20, 13.25, 13.40, 13.74, 13.82, 14.11, 14.29, 15.14, 17.54, 17.65, 17.67, 17.79, 18.08, 19.12, 19.94, 20.02, 20.13, 20.96, 21.11, 21.48, 21.51, 21.70, 21.71, 21.77, 22.13, 22.59, 23.41, 23.42, 24.85, 24.87, 24.99, 25.25, 25.43, 25.85, 26.04, 26.62,

27.15 , 27.34 , 27.51 , 27.76 , 28.72 , 29.00 , 29.74 , 29.86 , 30.30 , 30.53 , 31.07 , 31.73 , 32.13 , 32.26 , 33.13 , 34.52 , 34.62 , 34.72 ]

Находим минимальное и максимальное значения выборки и длину интервала разбиения:

> ymin:=Y1[1];ymax:=Y1[n];h:=(ymax-ymin)/k; ymin :=3.24

ymax:=34.72 h :=4.497142857

68

Вычислим границы интервалов разбиения:

> Y2:=[seq(ymin+(i-1)*(h+0.0001)..ymin+i*(h+0.0001),i=1..k)];

Y2 := [3.24 .. 7.737242857 , 7.737242857 .. 12.23448571 , 12.23448571 .. 16.73172857 , 16.73172857 .. 21.22897143 , 21.22897143 .. 25.72621428 , 25.72621428 .. 30.22345714 , 30.22345714 .. 34.72070000 ]

Находим вектор точек разбиения:

> Z:=[seq(ymin+(i-1)*(h+0.0001),i=1..k+1)];

Z := [ 3.24 , 7.737242857 , 12.23448571 , 16.73172857 , 21.22897143 , 25.72621428 ,

30.22345714 , 34.72070000 ]

Составляем интервальный ряд частот Y3 (каждому интервалу поставим в соответствие частоту ni, т.е. число элементов выборки, попадающих в данный интервал) и вектор частот Y3f:

> Y3:=statsort(transform[tallyinto](Y1,Y2));

Y3 := [Weight(3.24 .. 7.737242857 , 10 ), Weight(7.737242857 .. 12.23448571 , 11), Weight(12.23448571 .. 16.73172857 , 13 ),

Weight(16.73172857 .. 21.22897143 , 11 ),

Weight(21.22897143 .. 25.72621428 , 14 ),

Weight(25.72621428 .. 30.22345714 , 11 ),

> Y3f:=transform[frequency](Y3);

Y3f :=[10, 11, 13, 11, 14, 11, 10]

Получим интервальный ряд относительных частот (каждому интервалу поставим в соответствие относительную частоту, т.е. частоту, делённую на объём выборки):

> Y4:=transform[scaleweight[1/n]](Y3);

Строим гистограмму относительных частот:

>Hist:=statplots[histogram](Y4,color=green):

>plots[display](Hist);

69