1.3 Прямая на плоскости
Справедливо следующее утверждение: если на плоскости фиксирована произвольная декартова прямоугольная система координат , то всякое уравнение первой степени с двумя переменными и (линейное уравнение) определяет относительно этой системы координат прямую линию.
Уравнение
(10)
с произвольными коэффициентами и таким, что и не равны нулю одновременно, называется общим уравнением прямой.
В курсе аналитической геометрии доказывается, что прямая, определяемая общим уравнением (10), перпендикулярна вектору . Этот вектор называется нормальным вектором прямой (10).
Каноническим уравнением прямой называется уравнение вида
, (11)
или
, (12)
Уравнение (11) – уравнение прямой, проходящей через заданную точку , параллельно некоторому вектору , который называется направляющим вектором прямой.
Уравнение (12) – уравнение прямой, проходящей через две данные точки и .
Уравнением прямой с угловым коэффициентом называется уравнение
, (13)
где угловой коэффициент, равный тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси ордината точки , в которой прямая, не параллельная оси , пересекает эту ось.
Уравнение прямой, не проходящей через начало координат и пересекающей оси координат в точках и , может быть записано в виде (уравнение в отрезках на осях):
. (14)
Если заданы произвольная точка и произвольный вектор , то параметрические уравнения прямой, проходящей через данную точку, параллельно данному вектору, имеют вид:
(15)
где .
Уравнение прямой, проходящей через заданную точку , перпендикулярно вектору , имеет вид:
. (16)
Пусть угол от положительного направления оси до луча , проходящего через начало координат, перпендикулярного к прямой и пересекающего эту прямую, а расстояние от начала координат до прямой. Тогда уравнение прямой может быть записано в виде:
. (17)
Уравнение (17) называется нормальным уравнением прямой.
Общее уравнение прямой (10) приводится к виду (17) путём умножения на нормирующий множитель
.
В результате получается
.
Знак нормирующего множителя противоположен знаку в уравнении (10). Если в общем уравнении , то знак выбирается произвольным образом.
Расстояние от точки до прямой, заданной общим уравнением (10) определяется по формуле:
. (18)
Если две прямые и заданы уравнениями:
то косинус угла между ними определяется по формуле:
. (19)
Условие параллельности прямых и , если известны координаты нормальных векторов и , эквивалентно условию коллинеарности векторов и , заключается в пропорциональности координат этих векторов, то есть имеет вид:
. (20)
Условие перпендикулярности прямых и выражается равенством нулю скалярного произведения . Оно имеет вид:
. (21)
Если известны координаты направляющих векторов и , то условия параллельности и перпендикулярности прямых записываются аналогично условиям (20) и (21) соответственно.
Если прямые и заданы уравнениями с угловым коэффициентом вида (13), то угол между этими прямыми можно определить по формуле:
. (22)
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 1. Записать уравнение прямой, проходящей через точку , параллельно вектору .
Решение. Воспользуемся уравнением (11), тогда уравнение прямой будет иметь вид:
.
Задача 2. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки и .
Решение. Воспользуемся каноническим уравнением прямой (12):
.
Подставляя вместо и координаты точек и соответственно, получим:
Уравнение прямой можно записать в общем виде:
.
Задача 3. Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат и наклонённой к оси под углом 300.
Решение. Так как прямая проходит через начало координат, то в уравнении (13), . Уравнение прямой будет иметь вид . Так как , то окончательно получаем:
.
Задача 4. Написать уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору .
Решение. Уравнение прямой запишем в виде (16):
.
По условию задачи
.
.
Раскрыв скобки, получим общее уравнение прямой:
.
Задача 5. Написать параметрические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно вектору .
Решение. Воспользуемся формулами (15):
,
.
Задача 6. Составить уравнение прямой, отсекающей на осях координат отрезки 3 и 5.
Решение. Воспользуемся формулой (14). Уравнение прямой в отрезках на осях:
.
Задача 7. Записать уравнение прямой в отрезках на осях.
Решение. Разделим обе части уравнения на (-5):
,
.
Здесь .
Задача 8. Определить площадь треугольника, заключённого между осями координат и прямой .
Решение. Данный треугольник – прямоугольный, катеты которого представляют собой отрезки, отсекаемые прямой на координатных осях. Запишем уравнение в отрезках на осях:
Здесь .
Задача 9. Заданы прямая : и точка . Требуется:
вычислить расстояние от точки до прямой ;
написать уравнение прямой , проходящей через точку перпендикулярно заданной прямой ;
написать уравнение прямой , проходящей через точку параллельно заданной прямой .
Решение.
1) Расстояние от точки до прямой можно вычислить по формуле (18). По условию задачи имеем, что . Подставляя эти значения в данную формулу, получим:
.
2) Нормальный вектор заданной прямой : . Так как прямая проходит через точку перпендикулярно заданной прямой , то направляющий вектор прямой равен нормальному вектору прямой , т.е. .
Подставляя координаты точки и вектора в уравнение (11), получаем
: ;
;
;
.
3) По условию задачи прямая проходит через точку параллельно заданной прямой , следовательно, прямые и имеют один и тот же вектор нормали, т.е.
.
Подставляя координаты точки и вектора в уравнение 916), получим
: ;
;
;
.
Ответ. 1) ; 2) : ; 3) : .
Задача 10. Установить взаимное расположение прямых и . Если прямые пересекаются, найти их точку пересечения.
Решение. Условия параллельности и перпендикулярности прямых не выполняются.
Вектор нормали первой прямой имеет координаты , второй прямой – .
и .
Следовательно, прямые пересекаются. Точка пересечения принадлежит и первой и второй прямой. Её координаты найдём из системы уравнений:
Отсюда получаем , . Точка пересечения имеет координаты .
Задача 11. Треугольник задан координатами своих вершин: , и . Требуется:
1) Написать уравнение стороны ;
2) Написать уравнение высоты , опущенной из вершины на сторону и вычислить её длину ;
3) Найти угол между высотой и медианой .
Решение.
1) Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две заданные точки (12):
;
; ;
.
2) Уравнение высоты есть уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно .
Нормальный вектор прямой , имеющий координаты можно взять в качестве направляющего вектора искомой прямой, так как он будет ей перпендикулярен. Подставляя координаты вектора и точки в уравнение (11), получаем:
: ;
.
Раскрыв скобки, получим уравнение высоты в общем виде:
.
Длина это расстояние от точки до прямой . Вычислим его по формуле (18).
.
3) По определению медианы точка середина отрезка . Её координаты находятся по следующим формулам: . Подставляя координаты точек и , получаем:
.
Таким образом, .
Составим уравнение медианы как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки (12).
: ;
;
;
;
.
Чтобы найти угол между высотой и медианой , достаточно найти угол между нормальными векторами этих прямых.
.
Подставим координаты данных векторов в уравнение (7):
.
.
Ответ. 1) : ; 2) : , ;
3) .
Задача 12. Определить положение точки относительно прямой .
Решение. Подставим координаты точки в уравнение прямой :
. Следовательно, пара чисел не является решением уравнения и точка не принадлежит прямой.
Задача 13. Написать уравнение прямой, проходящей через точку под углом к прямой : .
Решение. Прямая задана параметрическими уравнениями. Приведём уравнение прямой сначала к общему виду, а затем к виду (13). По условию задачи , . Подставим данные значения в (11):
;
.
Раскрывая скобки и приводя подобные, получаем:
.
Таким образом, . Подставим значение угла и в формулу (22) для определения :
Отсюда:
. (*)
Для нахождения необходимо решить уравнение, содержащее переменную под знаком модуля.
Рассмотрим 3 случая:
1)
2)
3) нет решений.
Таким образом, получили 2 значения , которые являются решением данного уравнения (*): или .
По условию задачи прямая проходит через точку . Подставим найденные значения в уравнение (13) и определим значение .
1) : подставим в это уравнение координаты точки
.
Следовательно, : ;
2) : подставим в это уравнение координаты точки
.
Ответ. или .