Учебники / Акуленок М.В. Шикула О.С. Статистическое управление процессами, Контрольные карты управляемости процессов

рации точек. Кроме того, применение на практике большого числа сигнальных признаков

(или введение новых) ведет к увеличению вероятности ошибки первого рода, т.е. к увеличе-

нию вероятности «ложной тревоги».

Обнаружение любой из перечисленных конфигураций на графике ККУ, т.е. сигнала о действии особой причины, требует до принятия решений о КД или ПД незамедлительного и тщательного анализа, поскольку наличие ошибки первого рода может привести к невер-

ным выводам о действии неслучайных причин.

Так, точка, вышедшая за любую из контрольных границ, например, точка на графике карты размахов, расположенная выше верхней контрольной границы (см. рис.1.6,а),

обычно рассматриваемая как признак увеличения изменчивости (ухудшения процесса),

может также означать:

-неправильный расчет контрольных границ или неверное нанесение точки;

-смещение процесса (либо в одной точке, либо как часть тренда);

-изменение измерительной системы или потерю надлежащей разрешающей способ-

ности.

Другой пример - серия значений ниже среднего значения или убывающая серия точек на карте размахов может являться, с одной стороны, признаком уменьшения разброса данных и указывать на улучшение состояния процесса, а с другой стороны - признаком изменения изме-

рительной системы, за которым может скрываться изменение в настройке процесса.

Важно отметить, что чем меньше объем подгруппы (5 и менее), тем выше вероятность появления серии точек, поэтому для дальнейшего анализа изменчивости необходимо рас-

сматривать серии из 8 или более точек.

Любое выявленное улучшение процесса требует дополнительного исследования для более широкого использования и дальнейшего совершенствования процесса. Так, при проведении анализа контрольных карт по альтернативному признаку следует обращать особое внимание на появление точки вблизи или ниже нижней контрольной границы. Та-

кое расположение точки может означать, что процесс налажен, но его ход под действием неслучайной причины изменился в лучшую сторону. Эту ситуацию необходимо проанали-

зировать и использовать для последующего совершенствования процесса.

Анализ вероятности возникновения перечисленных конфигураций точек на карте средних проводят исходя из представления, что распределение случайным образом изме-

няющейся непрерывной величины соответствует нормальному закону распределения (см.

табл.П3 и рис.1.4).

Задача 1.1. Определите вероятность появления на КК одной или большего числа точек за пределами любой из контрольных границ.

Решение. Вероятность выхода значений выборочной характеристики за трехсигмовые контрольные границы равна 0,0027 и, следовательно, выход точки за пределы контрольных границ при воздействии на процесс исключительно случайных причин изменчивости возмо-

жен только в трех случаях из тысячи (см. рис.1.6,а). Поэтому, как правило, каждая точка вне контрольных границ указывает на наличие неслучайных причин изменчивости и нарушение статистически управляемого состояния процесса.

Задача 1.2. Рассчитайте вероятность возникновения конфигурации точек на КК,

включающей семь точек подряд в зоне С или по одну сторону от центральной линии (см.

рис.1.6,б).

Решение. В соответствии с табл.П3 вероятность того, что конкретное значение выбо-

рочной характеристики находится по одну или другую сторону от CL, равна 0,5. Вероят-

ность того, что семь последовательных значений будут находиться по одну из сторон от

CL, равна 2·(0,5)7 = 0,0156 (что маловероятно при случайном характере вариаций). Поэто-

му серия из семи точек, расположенных выше CL, может являться признаком увеличения изменчивости процесса и его среднего значения или ухудшения пригодности процесса.

Серия из семи точек ниже CL может служить признаком уменьшения изменчивости про-

цесса и его среднего значения.

Задача 1.3. Проанализируйте вероятность случайного возникновения конфигурации то-

чек на КК, где две из трех последовательных точек в зоне А или вне ее (см. рис.1.6,д).

Решение. В соответствии с табл.П3 вероятность того, что две из трех последова-

тельных точек окажутся за пределами двухсигмовых (предупреждающих) границ состав-

ляет 0,003. Поэтому появление двух из трех последовательных точек за пределами предупре-

ждающих границ может рассматриваться как сигнал нарушения статистически управляемого состояния процесса.

Задача 1.4. Проанализируйте вероятность случайного возникновения конфигурации то-

чек на КК, где четыре из пяти последовательных точек расположены вне зоны В (см.

рис.1.6,е).

Решение. В соответствии с табл.П3 вероятность расположения одной точки за пре-

делами односигмовых границ составляет 0,3173, а вероятность размещения четырех из пяти последовательных точек за этими пределами равна 0,0043, т.е. достаточно мала. Поэтому появление четырех из пяти последовательных точек за пределами односигмовых границ,

как правило, служит сигналом воздействия на процесс неслучайных причин изменчиво-

сти.

Задача 1.5. Проанализируйте вероятность случайного возникновения конфигурации то-

чек на КК, где пятнадцать последовательных точек в зоне С выше или ниже CL (см.

рис.1.6,ж).

Решение. В соответствии с табл.П3 вероятность попадания одной точки в пределы односигмовых границ (зону С) равна 0,6827, а вероятность расположения пятнадцати по-

следовательных точек в этих границах составляет 0,0033. Такая незначительная величина вероятности может указывать на присутствие неслучайных причин изменчивости. Кроме того, следует иметь в виду, что большое количество точек вблизи CL может быть обусловле-

но тем, что контрольные границы или нанесенные точки неправильно определены, нанесе-

ны или неверно пересчитаны, а также тем, что используемые для построения контрольных карт выборки не являются представительными.

Задача 1.6. Проанализируйте вероятность случайного возникновения конфигурации то-

чек на КК, где восемь последовательных точек располагаются по обеим сторонам CL , при этом нет ни одной в зоне С (см. рис.1.6,з).

Решение. В соответствии с табл.П3 вероятность расположения одной точки за преде-

лами односигмовых границ составляет 0,3173, а вероятность размещения восьми последо-

вательных точек за пределами этих границ равна 0,0001, т.е. пренебрежимо мала. Появ-

ление восьми последовательных точек за пределами односигмовых границ может быть обусловлено либо воздействием на процесс неслучайных причин изменчивости, либо ошибками в расчете или нанесении контрольных границ и выборочных характеристик, ли-

бо тем, что при построении контрольных карт использованы непредставительные выборки.

1.5.2. Оценка стабильности процесса и его возможностей

Контрольные карты позволяют проанализировать, насколько стабильным или управ-

ляемым является рассматриваемый процесс. Обычно процесс называют статистически стабильным, если из него устранены все особые причины изменчивости.

Оценка возможностей стабильного процесса с учетом собственной изменчивости процесса проводится на основе индексов воспроизводимости процессов Cp и Cpk. Под воз-

можностью процесса понимается его способность обеспечивать соответствие заданным требованиям (допускам). При этом возможности процесса считаются:

- высокими, если C p 1,33 и C p C pk 0,1 C p ;

- достаточными, но требующими постоянного наблюдения, если 1 C p 1,33 и

C p C pk 0,1 C p ;

- неудовлетворительными и свидетельствуют о необходимости разработки мероприя-

тий по улучшению процесса, если Cp 1 .

Для контрольных карт по количественному признаку индексы воспроизводимости рассчитывают по формулам

дены в табл.П2.

Для процессов, стабильность которых не подтверждена, используют индексы пригод-

ности, которые рассчитывают по формулам

где σT - полная изменчивость процесса, определяемая по формуле

Индексы Pp и Ppk также имеют положительные значения и должны быть не менее еди-

ницы.

Более подробно индикаторные показатели процесса рассмотрены в части 2 данного пособия.

Задачи

Задача 1.7. Рассчитайте вероятность возникновения конфигурации точек на КК,

описанной в ГОСТ Р 50779.42, в которой девять точек подряд располагаются в зоне С или по одну сторону от центральной линии.

Задача 1.8. Рассчитайте вероятность возникновения конфигурации точек на КК,

представленной на рис.1.6,в, т.е. шесть точек подряд располагаются в зоне С или по одну сторону от центральной линии, что соответствует требованиям ГОСТ Р 50779.42.

Сравните требования этого стандарта с требованиями к данному сигн альному призна-

ку ГОСТ Р 51814.

Задача 1.9. Рассчитайте вероятность возникновения конфигурации точек на КК, в ко-

торой из двух последовательных точек вторая располагается, по крайней мере, на четыре

σ выше (ниже) первой.

строенности процесса. Такие карты пригодны при небольших объемах выборки. С исполь-

зованием КК средних арифметических и размахов ( Х -R-карт) управление процессом осу-

ществляется как по среднему значению контролируемого показателя (т.е. по уровню на-

строенности процесса), так и по рассеянию значений контролируемого показателя относительно этого среднего значения, в качестве характеристики рассеяния в которых используют значения размаха.

Карта средних арифметических значений и размахов по сравнению с картой медиан и размахов требует большего времени на построение, но имеет высокую чувствительность к отклонениям процесса от заданного уровня.

Выделяют несколько основных этапов работы с КК средних арифметических и разма-

хов.

Сбор данных. Х -R-карты строят по результатам измерений конкретной характеристи-

ки на выходе процесса. Данные собирают небольшими подгруппами постоянного объема

(от двух до пяти последовательных измерений признака продукции) с периодическим от-

бором подгрупп (например, каждые 15 минут, дважды за смену и т.д.) в соответствии с разработанным планом сбора данных.

Построение контрольных карт. Традиционно Х -R-карты строят одну над другой:

Х -карта над R-картой, ниже располагается блок данных. Значения Х и R откладывают на вертикальных осях, номера подгрупп - на горизонтальной оси. Наносимые на карту харак-

теристики (средние выборок Х и размахи выборок R для каждой подгруппы) демонстри-

руют поведение среднего для всего процесса и его разброс соответственно.

Каждая карта содержит блок данных, т.е. место для записи индивидуальных результа-

тов измерений, сумм результатов измерений, средних, размахов по подгруппам, а также даты, времени или другой важной информации о каждой подгруппе (см. рис.1.3).

Расчет средних арифметических (далее - средних) значений и размахов осуществля-

ют по формулам, приведенным в табл.1.1. Для каждой подгруппы вычисляют среднее и размах:

Х1 n Xi ;

n i 1

R = Хmax – Хmin,

где Хi - индивидуальные значения в подгруппе; n - объем подгруппы.

На основе полученных значений средних и размахов по подгруппам рассчитывают среднее размахов R и среднее процесса Х :

где k - число подгрупп; Rj и Х j - размах и среднее j-й подгруппы.

Расчет положения контрольных границ также проводят по формулам табл.1.1 с уче-

том того, заданы или нет стандартные значения.

Если стандартные значения заданы (Х0, σ0), положение центральной линии соответст-

Для карты размахов при заданных стандартных значениях центральная линия опреде-

ляется как R0 или d2σ0.

При расчете положения контрольных границ используют коэффициенты D1 или D2,

приведенные в табл.П1:

UCLR = D1σ0;

LCLR = D2σ0.

При этом карты, используемые для первоначальной оценки стабильности процесса

(предварительного анализа) или после проведения усовершенствования процесса (внесе-

ния изменений), могут быть разрешены к применению без нанесенных контрольных гра-

ниц и отмечены, например, словами «начало обследования».

Положение контрольных границ рассчитывают в первую очередь для карты размахов,

а во вторую - для карты средних.

Следует учитывать, что положение контрольных границ зависит от объемов подгрупп и изменчивости внутри них, что отражают значения размахов. Для того чтобы не допус-

тить ошибки как первого, так и второго рода, рекомендуется вводить специальный индекс,

учитывающий объем выборки, для которого проведен расчет контрольных границ.

Кроме контрольных границ на карты наносят центральные линии - проводят сплош-

ные горизонтальные линии со значениями R и Х соответственно. Контрольные границы наносят штриховыми горизонтальными линиями и соответственно обозначают (UCLR,

LCLR, UCL Х , LCL Х ). На период предварительного анализа их рассматривают как пробные контрольные границы.

Выбор масштаба контрольных карт. Шкалы на вертикальных осях двух частей кар-

ты предназначены для значений Х и R соответственно. Желательно, чтобы разность меж-

ду верхним и нижним значениями шкалы Х -карты была, по крайней мере, вдвое больше разности между наибольшим и наименьшим рассчитанными значениями средних под-

групп Х . Поскольку размах принципиально не может иметь отрицательное значение, для

R-карты шкала должна иметь значения от нуля до двукратного наибольшего размаха R,

наблюдавшегося в период предварительного анализа.

Цену деления шкалы размахов рекомендуется выбирать вдвое большей, чем шкалы средних. При этом расстояния между контрольными границами для средних и размахов будут примерно равны, что удобно при анализе.

Нанесение значений средних и размахов на графическую часть контрольной карты.

После выбора масштаба шкал наносят значения средних и размахов на соответствующие части карты и соединяют соседние точки сплошными линиями, чтобы были наглядно видны ход процесса и тренды.

Если некоторые точки располагаются значительно выше или ниже других, следует проверить правильность вычислений и нанесения точек. Все необычные конфигурации точек на графиках КК отмечают одним из известных способов - стрелками, обводят в квадрат, круг и т.п.

Анализ и улучшение процесса. Различают предварительный анализ процесса и после-

дующее управление процессом по количественным данным.

Предварительный анализ процесса позволяет установить, находится ли процесс в ста-

тистически управляемом состоянии, выявить основные дестабилизирующие факторы, оп-

ределить ключевые характеристики процесса, например, установить положение контроль-

ных границ для последующей работы и т.д.

Применение Х -R-карт для управления процессом предполагает постоянный монито-

ринг количественных данных, выявление возникающих особых причин вариаций и разра-

ботку корректирующих и предупреждающих действий. Построение ККУ обеспечивает возможность своевременного обнаружения появления неслучайных причин изменчивости,

под действием которых процесс переходит в статистически неуправляемое состояние.

Оценку степени изменчивости процесса проводят путем анализа (интерпретации) кон-

трольных карт с учетом перечисленных выше сигнальных признаков (см. рис.1.6).

Оценка статистически управляемого состояния процесса. Если изменчивость про-

цесса (средний размах R ) от единицы к единице и среднее процесса Х остаются постоян-

ными, то для отдельных подгрупп размахи R и средние Х могут меняться только случай-

но. В этих условиях точки КК редко выходят за контрольные границы, так же редко появля-

ются очевидные тренды или другие неслучайные конфигурации.

Обе части ККУ (R- и Х -карты) строят одновременно, но анализируют отдельно. Их сравнение позволяет получить дополнительную информацию об особых причинах, воз-

действующих на процесс. Процесс можно считать стабильным, или статистически управ-

ляемым, если об этом свидетельствуют обе части ККУ.

Анализ R-карты проводят в первую очередь, поскольку R-карта отражает внутригруп-

повую изменчивость и первой демонстрирует появление отклонений.

Анализ данных на карте размахов включает:

1) анализ расположения точек на карте - положение точек на карте сравнивают с кон-

трольными границами для выявления точек, расположенных за этими границами, опреде-

ления необычного поведения процесса или наличия тренда;

2) выявление признаков действия особых причин - при каждом сигнале об особой причине на карте размахов проводят анализ работы процесса, чтобы определить причину,

исправить положение и предотвратить повторение. Следует учитывать, что не все особые причины имеют негативное значение, некоторые из них могут привести к улучшению процесса (например, уменьшению вариации размахов). Такие особые причины также должны быть учтены для возможного использования в процессе. Своевременность анали-

за позволяет, с одной стороны, установить факты возникновения неслучайных отклонений в процессе, с другой стороны, минимизировать потери от производства несоответствую-

щей продукции. Например, появление одной точки вне контрольных границ - это повод для начала немедленного анализа причин, для чего полезны такие методы, как Парето-

анализ, построение причинно-следственных диаграмм, а также другие графические сред-

ства, способствующие объяснению поведения процесса;

3) пересчет контрольных границ - после проведения предварительного обследования или оценки стабильности процесса положение контрольных границ должно быть пересчи-

тано. Для этого исключают все подгруппы, на которые повлияли особые причины, затем пересчитывают и наносят на карту новые линии среднего размаха R и контрольных гра-

ниц, проверяют, достигнуто ли состояние статистической управляемости в новых грани-

цах. При необходимости действия повторяют в той же последовательности: идентифика-

ция - коррекция - пересчет.

Если некоторые подгруппы были исключены из R-карты в силу установленных осо-

бых причин вариаций, то они должны быть также исключены из Х -карты. Пересмотрен-

ные значения R и Х должны быть использованы для пересчета положения контрольных границ на карте средних.

Анализ данных на карте средних предполагает:

1) анализ расположения точек на карте - положение точек на карте сравнивают с кон-

трольными границами для выявления точек за этими границами, определения другого не-

случайного поведения процесса. Положение контрольных границ на Х -карте определяет-

ся величиной средней вариации индивидуальных значений Х внутри подгрупп, т.е. R . Для карты средних процесса, находящегося в статистически управляемом состоянии, вариации связаны с размахами. Изменение средних означает, что некоторые особые причины влия-

ют на настройку процесса, что приводит к нестабильности;

2) выявление признаков действия особых причин - при обнаружении сигнала об осо-

бой причине на карте средних проводят анализ работы процесса, чтобы определить ее ис-

точник, исправить положение и предотвратить повторение. Своевременность анализа важна как для выявления причины, так и для минимизации потерь при производстве несо-

ответствующей продукции. При этом следует учитывать, что не все особые причины дают негативный результат. Для такого анализа применяют Парето-анализ, причинно-

следственные диаграммы и метод расслоения данных;

3) пересчет контрольных границ - при проведении начального обследования или оценке возможностей процесса следует исключить точки, для которых были выявлены (и

устранены) особые причины, затем пересчитать, нанести на карту среднее процесса и кон-

трольные границы, убедиться, что достигнуто состояние статистической управляемости в новых границах и при необходимости повторить действия идентификация - коррекция -

пересчет.

Для постоянного мониторинга процесса после предварительного обследования уста-

навливают стандартные значения Х0, σ0.

Следует учитывать, что при пересчете изменение объема выборки приводит к измене-

нию положения контрольных границ. Во избежание ошибочных выводов о состоянии процесса рекомендуется вводить дополнительные индексы, соответствующие объему рассмотренной выборки (например R120 , UCL120 и т.п.).

Для быстрого обнаружения больших смещений процесса без увеличения общего чис-

ла единиц продукции, отбираемых за день, рекомендуется изменять объем подгрупп, ко-

торый влияет на ожидаемый средний размах, для чего отбирать меньшие выборки с большей частотой.

Для определения положения центральной линии и контрольных границ для нового объема выборки необходимо:

- оценить стандартное отклонение процесса I . При существующем объеме подгруп-

пы I вычисляют по формуле