Примеры линейных осцилляторов
•Пример №1. Пружинный маятник –
материальная точка массой m, подвешенная на пружине жесткостью k.
•Возвращающая мила – сила упругости (закон Гука).
•Дифференциальное уравнение движения:
Пружинный маятник (ПМ)
λст – статическая деформация в состоянии равновесия при отсутствии колебаний.
Амплитуда и начальная фаза определяются с помощью начальных условий
max mg k( ст x) kx
|
k |
|
|
|
|
|
x |
x 0 |
0 |
k |
|
||
m |
m |
|
||||
|
|
|
|
|
||
Математический маятник (ММ)
•представляет собой материальную точку, подвешенную на длинной невесомой нити.
•Диф. ур-е движения:
ma mg sin , |
sin |
s |
, v |
ds |
|||||||
|
|||||||||||
|
|
|
l |
|
|
|
dt |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
g |
|
|
|
|
|
|
||||
s |
s 0 |
s Acos , 0 |
|
|
g |
|
|||||
|
|
|
l |
||||||||
|
l |
|
|
|
|
|
|
||||
Математический маятник (ММ)
F mg sin mg sl ks k mgl
эта сила называется
квазиупругой (от лат. quasi – якобы, как будто).
Причиной появления возвращающей силы могут быть не только силы упругости.
Например, сила тяжести при наличии связи в виде длинной нити.
Вопросы на засыпку:
Какие колебания математического маятника можно считать гармоническими?
Какие допущения были сделаны при записи уравнения колебаний математического маятника?
Физический маятник (ФМ)
•Опр. Физическим маятником называется твердое тело. имеющее неподвижную
горизонтальную ось вращения, к-я не проходит через его центр тяжести, и находящееся под действием только силы тяжести (и реакции опоры – оси О).
•Рассмотрим малые колебания (sin ) ФМ на основе основного ур-я ВД
относительно горизонтальной оси вращения x.
Физический маятник
Ix d mg h mgl0 sin dt
d dt
Его решение :
Acos , 0
mgl0 0 Ix
mgl0 Ix
Вывод: при малых отклонениях от равновесия ФМ совершает гармонические колебания с
|
|
|
|
|
периодом |
2 |
Ix |
|
|
T0 |
|
|
||
mgl0 |
|
|||
|
|
|
|
|
Приведенная длина ФМ
•Опр. Приведенная длина ФМ – длина L0 такого ММ, к-й совершает колебания с той же частотой, что и ФМ.
Приравнивая частоты получаем:
g |
mgl0 |
|
|
|
|
||||
L |
|
|
|
|
|||||
|
I |
x |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
Ix |
|
|
ICx ml02 |
l |
0 |
|
ICx |
|
|
|
|
|
||||||
0 |
|
ml0 |
|
ml0 |
|
|
ml0 |
||
|
|
|
|
|
|
||||
Центр качаний
Точка О1 на линии ОС, отстоящая от оси вращения на расстояние приведенной длины ФМ (лежит ниже центра масс, т.к. L0>l0), называется
центром качаний
маятника.
Если сделать точку О1 новой точкой подвеса, то период колебаний не изменится.
Затухающие колебания (ЗК)
•Собственные колебания линейного осциллятора происходят в отсутствии внешних диссипативных сил (трения, сопротивления среды) они не затухающие.
•Колебания при наличии трения становятся затухающими. При этом меняются амплитуда, период и частота.
•Сила трения действует против скорости это эквивалентно уменьшению возвращающей силы изменение k, т.е. уменьшение частоты и увеличение периода.