978-5-7996-1814-8_2016

1.4. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость

Теорема (достаточный признак сходимости знакопеременно

го ряда).

Пусть дан знакопеременный ряд

составленный из абсолютных величин данного ряда, то сходится и сам знакопеременный ряд.

Доказательство

Пусть Sn и G n — суммы первых n членов ряда (1.21) и (1.22); Snў — сумма всех положительных членов ряда (1.21); Snўў — сум-

ма абсолютных величин всех отрицательных первых n членов ряда (1.21).

Тогда

По условию Gn имеет предел G.

Snў, Snўў — положительные возрастающие величины, меньшие G, следовательно, они имеют пределы Sў, Sўў.

Из соотношенияSn = Snў - Snўў следует, чтоSn имеет предел и он равен Sў - Sўў, то есть знакопеременный ряд (1.21) сходится.

Пример. Исследовать на сходимость ряд

29

вию ряд сходится.

Данный признак является достаточным, но не необходимым.

Абсолютная и условная сходимость

называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов:

Если же знакопеременный ряд (1.23) сходится, а ряд (1.24) расходится, то ряд (1.23) называется условно сходящимся.

Пример. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ряд

Решение

Данный ряд сходится по признаку Лейбница. Ряд, составленный из абсолютных величин

Ґ 1

еn=1 n

расходится (как гармоничный). Данный по условию ряд является условно сходящимся.

30

1.4. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость

Пример. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ряд

Решение

Трудно проверить условия теоремы Лейбница. Исследуем на сходимость ряд, составленный из абсолютных величин

Ґ 2n-1

еn=1 n .

Используем признак Даламбера:

Значит ряд, составленный из абсолютных величин, сходится. Поэтому данный по условию ряд сходится, причем абсолютно.

Свойства абсолютно сходящихся рядов

1.Если ряд абсолютно сходится и имеет сумму S, то ряд, полученный из данного ряда перестановкой членов, так же сходится и имеет ту же сумму S, что и исходный ряд.

2.Абсолютно сходящиеся ряды с суммами S1 иS2 можно поч-

ленно складывать (вычитать). В результате получится абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна S1 + S2 (S1 - S2 ).

3. Под произведением двух рядов

u1 + u2 + u3 + ... и v1 + v2 + v3 + ...

понимают ряд вида

u1v1 + (u1v2 + u2v1)+ (u1v3 + u2v2 + u3v1)+ ...+ (u1vn + u2vn-1 + ...+ unv1)+ ...

31

1. Числовые ряды

Произведение двух абсолютно сходящихся рядов с суммамиS1 и S2 есть абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна S1S2.

Замечание

В случае условно сходящихся рядов соответствующие свойства не имеют места.

Задачи для самостоятельного решения

1. Исследовать на сходимость и установить сумму ряда

Ответ. Ряд расходится.

Ґ 2n -1

5. Исследовать числовой ряд на сходимость е .

n=1 n!

Ответ. Ряд сходится.

32

1.4. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость

6. Исследовать на сходимость ряд Ґ (-1)n n .

е

n=1 4n -1

Ответ. Ряд расходится.

Ответ. Ряд сходится условно.

33

2.1. Определение функционального ряда. Область сходимости функционального ряда

Представим S(x) в виде

S(x) = Sn (x)+ Rn (x),

где Sn (x) = u1(x)+ ...+ un (x), Rn (x) = un+1(x)+ ....

Rn (x) называется остатком функционального ряда.

Пример. Исследовать сходимость ряда

Решим неравенство x + 2 >1. Получим x О(-Ґ;-3)И(-1;+Ґ). Исследуем точки: x = -1, x = -3.

Пусть x = -1. Получим гармонический ряд Ґ 1.

еn=1 n

Данный ряд расходится.

35

2. Функциональные ряды

По признаку Лейбница данный ряд сходится.

Таким образом, область сходимости данного по условию ряда

(-Ґ;-3]И (-1;+Ґ).

Пример. Найти область сходимости функционального ряда

Ґ (-1)n x2n-1 еn=1 n!(2n -1) .

Решение

Используем признак Даламбера:

Поэтому область сходимости (-Ґ;+Ґ).

2.2. Равномерная сходимость функционального ряда

Сходящийся функциональный ряд

Ґ

еun (x)

n=1

называется равномерно сходящимся в некоторой области X, если для каждого сколь угодно малого e > 0 найдется такое N О , что при n і N

Rn (x) < e "x О X .

36

2.2. Равномерная сходимость функционального ряда

Ґ

При этом сумма S(x) равномерно сходящегося ряда еun (x)

n=1

в области X, где un (x) (n =1, 2,...) — непрерывные функции, есть непрерывная функция.

Признаки равномерной сходимости рядов

1. Признак Вейерштрасса

Если функции u1(x),u2(x),...,un (x),... по абсолютной вели-

чине не превосходят в некоторой области X положительных чисел a1,a2,..., an,..., причем числовой ряд

a1 + a2 + a3 + ...+ an + ...

сходится, то функциональный ряд

u1(x)+ u2(x)+ ...+ un (x)+ ...

в этой области сходится равномерно.

2. Признак Абеля

Рассмотрим ряд

Ґ

еan (x)bn (x) = a1(x)b1(x)+a2(x)b2(x)+ ...+ an (x)bn (x)+ ... (2.1)

n=1

Ґ

Пусть ряд еbn (x) сходится равномерно в области D, а функ-

n=1

цииan (x) (при каждом х) образуют монотонную последовательность и в совокупности (при любых x, n) ограничены:

an (x) Ј K.

Тогда ряд (2.1) сходится равномерно в области D.

37

2. Функциональные ряды

3. Признак Дирихле

Ґ

Пусть частичные суммы Bn (x) ряда еbn (x) в совокупности

n=1

(при любом x, n) ограничены:

Bn (x) Ј M,

а функции an (x) (при каждом x) образуют монотонную после-

довательность, которая сходится к 0 равномерно в области D. Тогда и ряд (2.1) сходится равномерно в этой области.

Пример. С помощью признака Вейерштрасса показать, что ряд

Ґ 1 sinn nx

еn=1 n2

сходится равномерно на промежутке (-Ґ;+Ґ).

Решение

Так как

n12 sinn nx Ј n12

Ґ1

иряд еn=1 n2 сходится, то данный по условию ряд сходится равномерно при любых значениях x.

Мажорируемые ряды

Функциональный ряд

n=1

называется мажорируемым в некоторой области изменения х, если существует такой сходящийся числовой ряд

n=1

38